Одноцелевая детерминированная модель СПУ

Исходной информацией модели являются:

- детерминированная сеть с единственными исходным событием i₀ и завершающим событием i_w;

- продолжительности t_ij всех работ (i, j);

- момент начала выполнения комплекса T_i0=T₀, то есть момент наступления исходного события.

Кроме того, может задаваться (но не обязательно) директивный срок T_дир наступления завершающего события i_w, то есть директивный срок завершения всего комплекса работ.

На основе модели определяют следующие параметры.

1. Критическое время T_кр – минимальное время, в течение которого может быть выполнен комплекс работ. Определяется продолжительностью критического пути L_кр, максимального полного пути сетевого графика, который может быть в общем случае и не единственным:

.

Работы, лежащие на критическом пути, называются критическими. Составляя обычно небольшую часть всех работ комплекса, они определяют продолжительность выполнения комплекса в целом, а потому внимание руководства должно быть сосредоточено, в первую очередь, на критических работах.

2. Ранние и поздние сроки наступления всех событий.

Ранний срок наступления i-го события - это минимальный из возможных моментов наступления данного события при заданных продолжительностях работ (без учета директивного срока). Определяется продолжительностью максимального предшествующего событию i пути L₁(i):

.

Ранний срок наступления любого события может быть рассчитан через ранний срок наступления предшествующего ему события:

, (20.1)

где B(j) – множество событий i, соединенных с событием j работами (i,j).

Поздний срок наступления i-го события - это максимальный из допустимых моментов наступления данного события, при которых еще возможно наступление завершающего события в директивный (или ранний, если директивный не задан) срок. Определяется как разность продолжительностей критического пути L_кр и максимального последующего пути L₂(i) (от события i до завершающего i_w):

.

Поздний срок наступления любого события может рассчитываться через поздний срок наступления последующего за ним события:

, (20.2)

где C(i) – множество событий j, соединенных с i работами (i,j).

Для рассматриваемого примера и , на основе формул (20.1) и (20.2) рассчитаем основные параметры всех событий:

;

;

Продолжительность критического пути (критическое время):

.

3. Ранние и поздние сроки начала (окончания) всех работ.

Ранний срок начала работы - это минимальный из возможных моментов начала данной работы при заданных продолжительностях работ (без учета директивного срока).

Ранний срок окончания работы - это минимальный из возможных моментов окончания данной работы при заданных продолжительностях работ.

Поздний срок начала работы - это максимальный из допустимых моментов начала данной работы, при которых еще возможно наступление завершающего события в директивный (или ранний, если директивный не задан) срок.

Поздний срок окончания работы - это максимальный из допустимых моментов окончания данной работы, при которых еще возможно наступление завершающего события в директивный (или ранний, если директивный не задан) срок.

Очевидно, что ранний срок начала работы совпадает с ранним сроком наступления ее начального события, а поздний срок окончания работы – с поздним сроком наступления ее конечного события, поэтому:

(20.3)

(20.4)

(20.5)

(20.6)

Одной из основных задач, решаемых в системах СПУ, является составление плана работ. Допустимым планом будет лишь такой, при котором выполняются следующие соотношения для сроков наступления всех событий T_i, начала и окончания всех работ t^н(i,j) и t^о(i,j):

;

;

.

В рассматриваемом примере результаты расчета ранних и поздних сроков начала и окончания работ представлены в табл. 20.1.

Таблица 20.1

Ранние и поздние сроки начала и окончания работ

(i,j)
0, 1		0+0,5=0,5	0,5-0,5=0	0,5
1, 2	0,5	0,5+1,5=2,0	2,0-1,5=0,5	2,0
2, 3		2,0+1,0=3,0	7,0-1,0=6,0	7,0
3, 4		3,0+1,0=4,0	8,0-1,0=7,0	8,0
1, 5	0,5	0,5+3,0=3,5	8,0-3,0=5,0	8,0
2, 6		2,0+6,0=8,0	8,0-6,0=2,0	8,0
6, 7		8,0+2,0=10,0	10,0-2,0=8,0	10,0
7, 8		10,0+1,0=11,0	11,0-1,0=10,0	11,0

4. Резервы времени для событий и работ.

Резерв времени события определяется как разность позднего и раннего сроков наступления события. Резерв времени события показывает, на какое время может быть задержано наступление данного события без изменения срока выполнения всего комплекса работ:

. (20.7)

Для работ наиболее важными видами резервов являются:

1) полный резерв

, (20.8)

представляющий собой максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы (i,j), не изменяя директивный (или ранний, если директивный не задан) срок наступления завершающего события;

2) свободный резерв

, (20.9)

представляющий собой максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы (i,j) при условии, что все события сети наступают в свои ранние сроки. Использование свободного резерва на данной работе не влияет на сроки следующих работ.

Полный резерв времени любой работы не может превышать резерва времени максимального полного пути L_m, проходящего через данную работу. Поскольку резерв полного пути R_L равен разности продолжительностей критического и данного пути L, то

.

Если резерв пути использовать полностью на одной работе, то все остальные работы этого пути станут критическими.

Полные резервы времени на критических работах минимальны и равны нулю, если директивный срок не задан (в общем случае они равны разности ). Следовательно, для критического пути (если директивный срок не задан):

, , ,

= , = , .

На рис.20.1 критический путь выделен двойной линией.

При реализации комплекса работ помимо критических особое внимание заслуживают так называемые подкритические работы, лежащие на подкритических путях. Полный резерв таких работ не превышает определенной величины , выбираемой из условий реализации комплекса. При отклонении в сроках выполнения этих работ они легко могут стать критическими. Множество всех критических и подкритических работ называют критической зоной комплекса.

5. Коэффициенты напряженности К^н путей и работ, позволяющие наряду с резервами времени выделить критическую зону комплекса.

Коэффициент напряженности пути L определяется отношением продолжительностей несовпадающих участков пути L и критического пути L_кр:

, (20.10)

где - продолжительность критических работ на пути L, T_кр – продолжительность критического пути.

Коэффициент напряженности работы (i,j) равен коэффициенту напряженности пути максимальной продолжительности L_m, проходящему через работу (i,j):

. (20.11)

Величина коэффициентов напряженности лежит в пределах , достигая единицы только на критических работах. Чем больше величина К^н, тем более жесткие сроки имеют работы, тем больше опасность превращения их в критические.

Вычисленные коэффициенты напряженности позволяют дополнительно классифицировать работы по зонам. В зависимости от величины выделяют три зоны: критическую ( >0,8); подкритическую (0,6 0,8); резервную ( <0,6).

При равенстве полных резервов времени двух работ наибольшие шансы стать критической будет иметь та из них, коэффициент напряженности которой больше.

Основные параметры работ и событий для рассмотренной сети представлены в табл. 20.2, 20.3.

Таблица 20.2

Параметры работ

Работа (i,j)	Параметры событий
А
0, 1				0,5	0,5
1, 2	0,5	0,5		2,0	2,0
2, 3	2,0	2,0		3,0	7,0
3, 4	3,0	7,0	4,0	4,0	8,0
1, 5	0,5	0,5		3,5	8,0
2, 6	2,0	2,0		8,0	8,0
6, 7	8,0	8,0
7, 8

Таблица 20.3

Параметры событий

Работа (i,j)	Параметры работ
А
0, 1	0,5		0,5		0,5
1, 2	1,5	0,5	2,0	0,5	2,0
2, 3	1,0	2,0	3,0	6,0	7,0	4,0		0,33
3, 4	1,0	3,0	4,0	7,0	8,0	4,0		0,33
1, 5	3,0	0,5	3,5	5,0	8,0	4,5		0,4
2, 6	6,0	2,0	8,0	2,0	8,0
6, 7	2,0	8,0		8,0
7, 8	1,0

При ручном расчете сети информацию о параметрах событий и работ удобно представлять прямо на графике, для чего геометрическую фигуру, изображающую событие делят на части, в каждой из которых записывают соответствующую информацию. В этом случае расчет параметров сети ведут обычно прямо на графике (рис. 20.2).

Рис. 20.2. Представление параметров сети на графике