Формула полной вероятности. 2 страница

Дисперсия величины Х равна

Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону на заданный участок.

Во многих задачах , связанных с нормально распределенными случайными величинами , приходится определять вероятность попадания случайной величины Х , подчиненной нормальному закону с параметрами

m, s,на участок от a до b .

Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой.

R (a < C< b) = F( b) – F( a) (1)

где F(b) - функция распределения величины Х в точке b

F(a)-функция распределения величины Х в точке a

Найдем функцию распределения F(x) случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами m, s. Плотность

распределения величины Х равна:

Отсюда находим функцию распределения :

:

Сделаем в интеграле замену переменной:

И приведем его к виду:

Этот интеграл не выражается через элементарные функции , но для него

составлены таблицы.

Табличная функция распределения (так называемая таблица интеграла вероятностей) обозначается:

Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное , как функцию распределения для нормально распределенной случайной

величины с параметрами m=0; s=1

Функция распределения Ф*(х) называется также нормальной функцией распределения .

Выразим функцию распределения величины Х с параметрами m,s через нормальную функцию распределения:

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины Х на участок от a до b .

Согласно формуле (1):

Таким образом , мы выразим вероятность попадания на участок от a до

b случайной величины, распределенной по нормальному закону распределения с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения Ф*(х) , соответствующую нормальному закону с параметрами m=0 и s=1. Заметим , что аргументы функции Ф* в последней формуле имеет простой смысл:

есть расстояние от правого конца участка b до центра рассеяния , выраженное в средних квадратических отклонениях;

- есть такое же расстояние для левого конца участка , причем что расстояние считается положительным , если конец расположен справа от центра рассеяния , и отрицательным, если слева.

Как и всякая функция распределения , функция Ф*(х) обладает свойствами:

1.Ф*(- ¥ )=0

2.Ф*(+¥ )=1

3.Ф*(х)- неубывающая функция.

Кроме того, из симметричности нормального распределения с параметрами m=0 и s=1 относительно начала координат следует, что

4.Ф*(-х)=1-Ф*(х).

Рассмотрим следующий пример.

Случайная величина Х , распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния .

При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2(м); среднее квадратическое отклонение ошибки измерения равно 0,8(м).

Найти вероятность того , что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6(м).

Решение.

Ошибка измерения есть случайная величина Х , подчиненная нормальному закону с параметрами m=12 , s=0,8.

Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от

a=--1,б до b= +1,6.

По формуле имеем:

Пользуясь таблицами функции Ф*(0,5)=0,6915 и Ф*(-3,5)=0,0002

Отсюда

Р(-1,6<х<1,6)=0,6915-0,0002=0,6913

Задача 5.48.

Браковка шариков для подшибников производится следующим образом:

если шарик не проходит через отверстие диаметром d2>d1, то его размер считается приемлемым . Если какое- нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется . Известно, что диаметр шарика Д есть нормально распределенная случайная величина с характеристиками

Определить вероятность q того, что шарик будет забракован.

Решение.

q= 1- p(d1< d < d2);

Известно, что размер D шарика для подшипника является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Браковка шарика производится так же, как указанно в предыдущей задаче. При этом известно, что средний размер шарика равен

а брак составляет 10% от всего выпуска.Определить среднее квадратическое отклонение диаметра шарика sd.

Решение

Аналогично предыдущей задаче вероятность брака

Откуда

Задача 5-54

Случайная величина х подчинена нормальному закону с математическим мх=0.Вероятность показания этой случайной величины на участках от -1 до 1 равна 0.5.

Найти среднее квадратичное отклонение и написать выражение нормального закона

Откуда четность распределения

Построим график функции четность распределения

x	-5	-4	-3	-2	-1
	-5,68	-3,64	-2,05	-0,91	-0,22		-0,22	-0,91	-2,05	-3,64	-5,68
	0,003	0,026	0,129	0,403	0,803		0,803	0,403	0,129	0,026	0,003
	0,001	0,01	0,03	0,11	0,22	0,3	0,22	0,11	0,03	0,01	0,001

Здесь должен быть график

Задача 5-58.

Имеется случайная величина х , подчиненная нормальному закону е математическим ожиданием мх, а средним квадратичным отклонением сигма от х . Требуется приближенно

Заменить нормальный закон законом постоянной плотности в интервале альфа, бета; границы альфа, бета подобрать так, чтобы сохранить неизменными основные характеристики случайной величины х: математическое ожидание и дисперсию.

Решение

Решая эту систему уравнений относительно альфа и бета

Ответ

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Х ПОДЧИНЕНА НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ С МАТЕМАТИ-ЧЕСКИМ ОЖИДАНИЕМ Мх=3. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИ-НЫ НА УЧАСТОК ОТ 2 ДО 4 РАВНА 0,5. НАЙТИ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТ-КЛОНЕНИЕ И НАПИСАТЬ ВЫРАЖЕНИЕ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА. ПОСТРОИТЬ ГРА-ФИК ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

ОТКУДА ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПОСТРОИМ ГРАФИК ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Х	-2	-1
	-5,68	-3,64	-2,05	-0,91	-0,22		-0,22	-0,91	-2,05	-3,64	-5,68
	0,0033	0,0262	0,1287	0,4025	0,8025		0,8025	0,4025	0,1287	0,0262	0,033
	0,001	0,01	0,03	0,11	0,22	0,270	0,22	0,11	0,03	0,01	0,001

Вариант 2

Случайная величина Х подчинена нормальному закону с математиче-ским ожиданием Мх=6. Вероятность попадания этой случайной величины на участок от 4 до8 равна 0,6. Найти среднее квадратичное отклонение и написать выражение нормального закона. Построить график плотности распределения.

Откуда плотность распределения

Построим график плотности распределения.

х	-1
	-4,36	-3,04	-2,20	-1,35	-0,76	-0,34	-0,08		-0,08	-0,34	-0,76	-1,35	-2,20	-3,04	-4,36

ПРАВИЛО ТРЕХ s

Пусть нормальная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами М и s. Ппокажем что с точностью до 03% случается величина подчиненная закону принимает возможные значения не отклоняющиеся от центра рассеяния на ± 3s.

Мы хотим найти что

Не превысит 0003

Правило 3s в статистике имеет большое значение.

Одно из самых распространенных правил 3s - это отсеивающий экспери-мент. При отсеивающем эксперименте производят отсеивание выбросов.

Основные задачи математической статистики

Математические законы теории вероятностей не являются безпретендентными абстракциями , лишенными физического содержания ; они представляют собой

математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в массовых случайных явлениях природы .

До сих пор , говоря о законах распределения случайных величин ,мы не затрагивали вопросы о том , откуда берутся , на каком основании устанавливаются эти законы распределения. Ответ на вопрос определен в ответе всех этих характеристик лежит опыт ; каждое исследование случайных явлений , выполненное методами теории вероятностей , прямо или косвенно опирается на экспериментальные данные .Каждое исследование в области случайных явлений ,как бы отмечено но не было , корнями своими всегда уходит в эксперимент , в основные данные , в систему наблюдений .

Разработка методов описания и анализа статистических экспериментальных данных , получаемых в результате наблюдений массовых случайных явлений , составляет предмет специальной науки – математической статистики .

Все задачи математической статистики касаются вопросов обработки наблюдений над массовыми случайными явлениями , но в зависимости от характера решаемого практического вопроса и от объема имеющегося экспериментального материала эти задачи могут принимать ту или иную форму .Характеризуя вкратце некоторые типичные задачи математической статистики, часто встречаемы на практике .

1.Задачи определения закона распределения случайных величин (или системы случайных величин ) по статистическим данным .

При обработке обширных по своему объему статистических данных часто возникает вопрос об определении законов распределения тех или иных малых случайных величин .Теоретически при достаточном количестве опытов свойственные этим случайным величинам закономерности будут осуществляется сколь угодно точно . На практике нам не всегда приходится иметь дело с большим количеством данных , зачастую количество данных ограниченно .Вместе с этим результаты наших наблюдений и их обработки всегда содержат большой или меньший элемент случайности .Возникает вопрос о том ,какие черты наблюдаемого явления относят к постоянным ,устойчивым и действительно присущим ему ,а какие являются случайными и проявляются в данной серии наблюдений только за счет ограниченного объема эксперементальных данных .

Естественно ,к методике обработки эксперементальных данных следует предьявить такие требования ,чтобы она по возможности ,сохраняла типичные характерные черты наблюдаемого явления и отрабатывала все несущественное ,второстепенное ,связанное с недостаточным объемом опытного материала .В связи с этим возникает характерная для математической статистики задача сглаживания или выранивания статистических данных ,представляя их в наиболее компактном виде с помощью простых аналитических зависимостей .

2 . Задачи проверки правдоподобных гипотез .

Эта задача тесно связана с предыдущей : при решении такого рода задач мы обычно не распологаем настолько обширными статистическими данными ,чтобы выявляющиеся статистические закономерности были в достаточной мере свободны от элементов случайности .Статистический материал может с большим или меньшим правдоподобием подтверждать или не подтверждать справедливость этой или иной гипотезы .

Например ,может возникнуть такой вопрос :согласуются ли результаты эксперемента с гипотезой о том ,что данная случайная величина подчинена нормальному закону распределения ?

Другой подобный вопрос : указывает не наблюдая в опыте тенденция к зависимости между двумя случайными величинами на наличие действительной объективной зависимости между ними или же она объясняется с недостаточным объемом наблюдений?

Простая статистическая совокупность.

Статистическая функция распределения.

Предположим, что изучается некоторая случайная величина Х, закон распределения, который в точности неизвестен и требуется определить этот закон из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина Х подчинена тому или иному закону. С этой целью под случайной величиной Х производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов случайная величина Х принимает определенное значение. Совокупность наблюдаемых значений величины и представляет собой первичный статистический материал, надлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью» или «простым статистическим рядом». Обычно простая статистическая совокупность оформляется в виде таблицы с одним входом, в первом столбце которого стоит номер опыта I, а во втором – наблюденное значение случайной величины.

Пример.

Пусть произведено 20 наблюдений случайной величины.

N N n/n	Xi	N N n/n	Xi	N N n/n	XI
	-20
	-60		-100		-80
	-10		-80
			-60
	-10		-10
	-30

Простая статистическая совокупность представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработан различными способами.

Одним из способов такой обработки является построение статистической функции распределения случайной величины.

Статистической функцией распределения случайной величины Х называется частота события Х< x в данном статистическом материале

F*(x) = P*(X<x)

Для того, чтобы найти значение статистической функции распределения при данном х,

Достаточно подсчитать число опытов, в которых величина Х приняла значение, меньше чем х, и разделить на общее число опытов.

Пример.

Построить статистическую функцию распределения для случайной величины Х, рассмотренной в предыдущем примере.

Решение.

Так как наименьшее наблюденное значение величены равно -100, то F(-100) = 0. Значение -100 наблюдено один раз, его частота равна 1/20; следовательно в точке -100 F*(X) имеет значение 1/20, в точке -80 происходит скачек функции F*(х) на 2/20, т. к. значение -80 наблюдено дважды, и т. д.

График статистической функции распределения имеет вид:

Статистическая функция распределения любой случайной величины – прерывной или непрерывной – представляет собой прерывную дискретную функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины найдено только один раз, скачок статистической функции распределения F*(х), в каждом наблюденном значении равен 1/n, где n – число наблюдений.

При увеличении числа опытов и, согласно теоремы Бернулли, при любом х частота события Х<x приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения F(x) случайной величины Х.

Если Х- непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений и число скачков функции F*(x) увеличивается, сами скачки уменьшаются и график функции F*(x) неограниченно приближается к плавной кривой F(x) – функции распределения величины X.

В принципе построение статистической функции распределения уже решает задачу описания экспериментального материала. Однако при большом числе опытов и построение F*(x) описанным выше способом весьма трудоемко. Кроме того, часто бывает удобно – в смысле наглядности – пользоваться другими характеристиками распределений, аналогичными не функции распределения F(x), а плотности f(x).

Статистический ряд. Гистограмма.

Статистическая функция распределения.

При большом числе наблюдений ( порядка сотен или тысяч) простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи статистического материала – она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке – строится так называемый “статистический ряд”.

Предположим, что в нашем распоряжении результаты наблюдений над непрерывной случайной величиной Х, оформленные в виде простой статистической совокупности. Разделим весь диапазон наблюденных значений Х на интервалы или разряды и подсчитаем количество значений mI, приходящееся на каждый I-тый разряд. Это число разделим на общее число наблюдений и найдем частоту, соответствующую данному разряду:

PI* = mI/n

Сумма частот всех разрядов, ………………………..

Построим таблицу,в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс

разряды	Штриховые отметки значений	Количество значений
Х1,Х2	½
Х2,Х3
…..
Хi,Xi+1	¾ ½½½
…..
Xk,Xk+1

.

Такая таблица называется штриховой.Видно равна еденице.

Построим таблицу, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие частоты. Эта таблица называется статистическим рядом.

разряды	Х1,Х 2	Х 2, Х 3	…	Х i , Х i+1	…	Хk,Х k+1
mi	M1	M2	…	mi	…	mk
Pi	P1	P2	…	Pi	…	Pk

Где Хi ,Хi+1-его границы; Рi- соответствующая частота;k-число разрядов.

Лекция 11.

Пример 2.

Крепость нити	120-140	140-160	160-180	180-200	200-220	220-240	240-260	260-280
Pi	0,02	0,08	0,20	0,28	0,24	0,12	0,04	0,02

Число разрядов, на которые следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим ( тогда ряд распределения становится невыразительным, и частоты в нем

Обнаруживают незакономерные колебания); с другой стороны, оно не должно быть слишком

Пример1.

Произведено 500 измерений ошибки измерения случайной величины. Результаты измерения

Случайной величины сведены в статистический ряд.

Ii	-4;-3	-3;-2	-2;-1	-1;0	0;1	1;2	2;3	3;4
mi
Pi	0,012	0,050	0,144	0,266	0,240	0,176	0,092	0,020

Малым ( при малом числе разрядов свойства распределения описываются статистическим

Рядом слишком грубо. Практика показывает, что в большенстве случаев рационально выбирать

Число разрядов порядка 7-20. Некоторые авторы предлогают число разрядов выбирать равным 12.

Лекция.

Статистический ряд часто оформляется графически в виде так называемой гистограммы.

Пример.

Построим гистограмму испытания крепости нити.

P*(x)

		0,32 0,30 0,28 0,26 0,24 0,22 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
		Xi

Очевидно, при увеличении числа опытов можно выбирать все более и более мелкие разряды,

При этом гистограмма все более и более будет приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, равную единице.

Нетрудно убедится, что эта кривая представляет собой график плотности распределения величины Х .

Пользуясь данными статистического ряда, можно приближенно построить и статистическую функцию распределения величины Х .

Статистическую функцию распределения строят, пользуясь данными статистического…

Значение статистической функций распределения в кратких точках разрядов будут Соединяя полученные точки ломанной линией или главной кривой, получим приближоный график статистической функций распределения . Таблица статистической функций распределения для измерения ошибки случаиной величены имеит вид:

xi	-4	-3	-2	-1
F*(x)		0,012	0,062	0,206	0,472	0,712	0,888	0,980	1,000