Области применения статистического моделирования
Статистическое моделирование широко применяется для решения задач из различных областей человеческого знания. Среди них такие актуальные области как биология, химия, физика, экономика и другие.
Среди задач, где может быть использован и часто используется этот подход, часто указывают следующие задачи:
- численное интегрирование,
- расчеты в системах массового обслуживания,
- расчеты качества и надежности изделий,
- расчеты прохождения нейтронов сквозь пластину,
- передача сообщений при наличии помех,
- задачи теории игр,
- задачи динамики разреженного газа,
- задачи дискретной оптимизации,
- задачи финансовой математики (оценивание опционов и др.)
и многие другие.
Глава 3. Вычисление интегралов методом Монте-Карло.
Способ усреднения подынтегральной функции.
В качестве оценки определённого интеграла принимают
,
где n – число испытаний; - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования
, их разыгрывают по формуле
, где
- случайное число.
Дисперсия усредняемой функции равна
,
где ,
. Если точное значение дисперсии вычислить трудно или невозможно, то находят выборочную дисперсию (при n>30)
, или исправленную дисперсию (при n<30)
, где
.
Эти формулы для вычисления дисперсии применяют и при других способах интегрирования, когда усредняемая функция не совпадает с подынтегральной функцией.
В качестве оценки интеграла , где область интегрирования D принадлежит единичному квадрату
,
, принимают
, (*)
где S – площадь области интегрирования; N – число случайных точек , принадлежащих области интегрирования.
Если вычислить площадь S трудно, то в качестве её оценки можно принять ; в этом случае формула (*) имеет вид
,
где n – число испытаний.
В качестве оценки интеграла , где область интегрирования V принадлежит единичному кубу
,
,
, принимают
, где V – объём области интегрирования, N – число случайных точек
, принадлежащих области интегрирования.
Если вычислить объём трудно, то в качестве его оценки можно принять , в этом случае формула (**) имеет вид
, где n – число испытаний.
Задача: найти оценку определённого интеграла
.
Решение. Используем формулу . По условию, a=1, b=3,
. Примем для простоты число испытаний n=10.Тогда оценка
, где возможные значения
разыгрывается по формуле
.
Результаты десяти испытаний приведены в таблице 1.
Случайные числа взяты из таблицы приложения.
Таблица 1.
Номер i | ![]() | ![]() | ![]() |
0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876 | 1,200 2,946 1,506 1,752 2,040 1,270 2,726 1,934 1,708 2,752 | 2,200 3,946 2,506 2,752 3,040 2,270 3,726 2,934 2,708 3,752 |
Из таблицы 1 находим . Искомая оценка