Простая вероятностная модель

При построении этой модели штрафы, связанные с дефицитом запасов, считаются конечными, и данная модель имеет следующие особенности:

1. Спрос и пополнение запасов оцениваются на основе опытных данных.

2. Рассматривается производство и потребление дискретного продукта.

3. Распределения по времени спроса и заказов на пополнение дискретные и неравномерные.

4. Известно и постоянно время выполнения заказов.

Здесь учитываются только расходы на приобретение запасных деталей, которые могут оказаться лишними, и убытки, возникающие при их нехватке.

Пусть спрос r является случайной величиной и задан закон (ряд) распределения j(r). Тогда запасу в s деталей будут соответствовать следующие затраты: (s –r)с₂, если r £ s , т.е. запас оказался чрезмерным, и (r – s)с₃, если s < r , т.е. запасных деталей не хватило. Тогда среднее значение суммарных затрат (математическое ожидание) имеет вид:

C(s) = с₂ s – r) j(r) + с₃ r – s)j(r). (2.5.11)

Задача управления запасами при вероятностном спросе состоит в отыскании такого запаса s*, при котором математическое ожидание суммарных затрат (2.5.11) принимает минимальное значение.

Опуская доказательство, получаем, что значение s* должно удовлетворять неравенствам

P(s* – 1) < с₃ /(с₂ + с₃) < P(s*), (2.5.12)

где P(s) = j(r) – эмпирическая функция распределения спроса (вероятность того, что спрос r £ s).

Пример 2.5.4. Пусть стоимость одной детали, если ее заказывать заранее, составляет 100 руб. Отсутствие этой детали в запасе при поломке приводит к простою оборудования и срочный заказ детали обходится в 200 руб. Опытные данные о частоте выхода этой детали из строя приведены в табл. 2.5.1.

Таблица 2.5.1.

Потребовалось запасных деталей (r)							Итого
Сколько случаев потребовало данное число деталей
Эмпирическая вероятность j(r)	0.10	0.20	0.25	0.20	0.15	0.10

Эмпирическая вероятность j(r) – это доля случаев, когда спрос равен r. Подсчитаем значение с₃ /(с₂ + с₃) = 200/(100 + 200) = 0.67.

Оптимальное решение получается в результате построения эмпирической функции распределения спроса, которая показывает долю случаев, когда спрос меньше либо равен r. (табл. 2.5.2).

Таблица 2.5.2

s
P(s)	0.10	0.30	0.55	0.75	0.90	1.00

Так как P(2) = 0.55 < 0.67 < 0.75 = P(3), то оптимальное значение s*= 3.

Полученным аналитическим решением можно воспользоваться для оценки потерь, возникающих при недостаточных запасах. Предположим, что нам неизвестна зависимость штрафа от размера дефицита, а уровень запасов, который предприниматель стремится поддерживать, равен трем деталям. Для какого штрафа этот уровень запасов будет оптимальным? Подставляя в (2.5.12) s* = 3, получим

P(2) < с₃ /(с₂ + с₃) < P(3),

0.55 < с₃ /(100 + с₃) < 0.75.

Определим минимальное значение с₃:

с₃/(100 + с₃) = 0.55, откуда с₃ = 122.

Определим максимальное значение с₃:

с₃ /(100 + с₃) = 0.75, откуда с₃ = 300.

Следовательно, предприниматель считает, что размер штрафа за дефицит заключен в пределах от 122 до 300 руб.

Заключение. Общее решение задачи выбора оптимальных размеров и сроков размещения заказов на запасаемую продукцию нельзя получить на основе одной модели. Мы рассмотрели некоторые простые частные случаи. В реальных условиях потери от дефицита обычно наиболее сложно оценить, так как они могут быть обусловлены нематериальными факторами, например, ухудшением репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этих расходов существенно усложняет математическое описание задачи.

Известные модели управления запасами редко точно описывают реальную систему. Поэтому решения, получаемые на основе моделей этого класса, следует рассматривать скорее как принципиальные выводы, а не конкретные рекомендации. В ряде сложных случаев приходится прибегать к методам динамического программирования и даже имитационного моделирования системы, чтобы получить достаточно надежное решение.