Типові біфуркації нелінійних динамічних систем

Біфуркація зміни стійкості.Розглянемо динамічну систему з фазовим простором розмірності одиниця, еволюція якої описується рівнянням

(2.6)

і нехай – стан рівноваги, тобто

(2.7)

Тоді, якщо і функція неперервна по µ, так, що рівняння (2.7) має розв’язок в околі точки µ, то особлива точка є структурно стійкою, оскільки малі зміни параметра не призводять до якісних змін фазового портрета системи – точка рівноваги не зникає і нових точок не з'являється.

Лінеаризація рівняння (2.6) має вигляд

,

і стійкість точки визначається знаком першої похідної: при – рівновага стійка, а при – нестійка. Якщо ж при деякому значенні µ₀ параметра µ похідна дорівнює нулю: , то при переході через точку µ =µ₀ виникає зміна стійкого режиму не нестійкий, тобто в точці µ =µ₀ має місце біфуркація зміни стійкості.

Наприклад, для динамічної системи біфуркація зміни стійкості відбувається за µ =0. При µ >0 точка =0 задає грубий стійкий стан рівноваги, при µ <0 вказана точка є нестійким станом рівноваги.

Біфуркація «сідло – вузол». Нехай в рівнянні (2.6) праву частину задано в такий спосіб

,

і для визначеності . Тоді при в системі існують два стани рівноваги – стійкий і нестійкий; при вони збігаються в один, а при – зникають. В комбінованому просторі фазової координати і параметрів біфуркаційна діаграма виглядає як складка (рис. 2.4) . Тут координата точки поверхні, відкладена по вертикальній осі, задає положення особливої точки системи. Біфуркація називається біфуркацією зриву рівноваги або сідло-вузловою біфуркацією (в точці стійкий і нестійкий вузли зливаються в одну точку рівноваги і зникають при подальшій зміні параметра ). Ситуація, коли за одним напрямком збурень система є стійкою, а за другим – нестійкою, називається сідловою. Вона також називається біфуркацією ковимірності одиниця, тому що визначається одною умовою: в точці біфуркації

Рис. 2.4. Біфуркаційна діаграма у вигляді складки

Рис. 2.5. Біфуркаційна діаграма у вигляді зборки

Зборка. Розглянемо рівняння

,

яке задає еволюцію системи, причому . Залежно від значення параметра в системі можуть існувати або три, або один стан рівноваги. На рис. 2.5 така ситуація зображується поверхнею типа зборки. Зміна параметрів і вздовж кривих , що йдуть під нульовим кутом до границі заштрихованої області – біфуркаційним лініям (трансверсально до ), характеризується гистерезісом: рухаючись справа наліво система стрибком змінює свій стійкий стан при значеннях параметрів, відповідних точці А₁ на площині параметрів , а при поверненні за тією ж лінією стрибкоподібна зміна стійкої рівноваги відбувається в точці А₂. В точці В виконуються дві рівності , тому кажуть, що при значеннях параметрів, відповідних точці В, здійснюється біфуркація ковимірності два.

Складка і зборка – це елементарні особливості поверхонь, з яких може бути скомбінована будь-яка особливість поверхонь у тривимірному просторі .

Біфуркація народження циклу. Нехай вимірність фазового простору дорівнює двом, і еволюційне рівняння має вигляд

Стійкість траєкторії визначається власними числами матриці . Їх дійсні частини дають ляпуновські характеристичні показники динамічної системи. Запишемо вектор в комплексній формі і задамо еволюційне рівняння в комплексному вигляді, наприклад:

. (2.8)

Особлива точка системи: – фокус, стійкий при і нестійкий при . Введемо полярні координати:

. (2.9)

Помножимо (2.8) на і складемо з комплексно спряженим рівнянням. Отримаємо:

Крім положення рівноваги І₀=0 (що відповідає рівновазі ), існує ще один рівноважне значення

(2.10)

Згідно (2.9), Тому воно існує тільки тоді, коли параметри та мають різні знаки. При змінна може змінюватися з часом, таким чином в (2.10) визначає граничний цикл. В околі

При граничний цикл існує і стійкий при . Якщо ж , то граничний цикл відсутній; таким чином здійснюється народження граничного циклу із стійкого фокуса при переході параметру через нуль із зміною від від’ємних до додатних значень. При ситуація протилежна.

Рис. 2.6. Фазові траєкторії, що ілюструють народження стійкого граничного циклу

Рис. 2.7. Фазові траєкторії, що ілюструють зникнення нестійкого граничного циклу

При переході від додатних до від’ємних значень через нуль здійснюється зникнення нестійкого граничного циклу. На рис. 2.6, а, б зображені фазові траєкторії перед, а на рис. 2.6, в – після народження граничного циклу. На рис. 2.7, а,б зображені траєкторії до зникнення циклу, а на рис. 2.7, в – після нього.

Таким чином, проблема дослідження динамічних систем пов'язана з розв’язанням кількох класів завдань:

· розв’язанням окремих задач Коші для звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) при фіксованих параметрах проводиться за допомогою алгоритмів Рунге-Кутта, Адамса або ін.

· пошуком особливих точок системи ЗДР, що зводиться до розв’язання (найчастіше, чисельного) відповідної системи алгебраїчних рівнянь, тобто системи з правими частинами вихідної системи ЗДР, які прирівняні до нуля.

· Спираючись на теорему Гробманна – Хартмана, необхідно лінеаризувати вихідну систему в безпосередньому околі особливої точки, розклавши функції правих частин в ряд Тейлора і залишивши в ньому тільки лінійні члени.

· для лінеаризованої системи можна обчислити характеристичні значення, визначивши одразу тип і стійкість нерухомих точок. Тут знову виникають задачі чисельного розв’язання алгебраїчних рівнянь.

· описаним способом можна проаналізувати залежність положення атракторів та їх стійкість від параметрів моделі, тим самим одержавши дані про біфуркації.