Алгоритм графического метода решения ЗЛП
Если задача линейного программирования содержит только две переменные, то ее можно решить графическим методом, выполняя следующие операции:
1) Строим все полуплоскости, соответствующие ограничениям системы.
2) Находим область допустимых решений (ОДР), как множество точек, в котором пересекаются все построенные полуплоскости.
3) Строим вектор 
, выходящий из начала координат, где 
и 
– это коэффициенты при неизвестных в целевой функции 
. Этот вектор указывает направление возрастания целевой функции.
4) Перпендикулярно вектору 
проводим так называемую линию уровня 
(т.е. прямую 
, проходящую через начало координат).
5) Перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора (если задача на максимум (max)) или в противоположном направлении (если задача на минимум (min)) до тех пор, пока линия уровня имеет хотя бы одну общую точку с ОДР.
6) Находим координаты 
этой общей крайней точки, решая систему уравнений прямых, на пересечении которых она находится.
7) Подставляем эти координаты в целевую функцию и находим ее max (или min).
Пример. Решить задачу линейного программирования графическим методом
max
Решение. Третье и четвертое ограничения системы – двойные неравенства, преобразуем их к более привычному для подобных задач виду 
, это 
и 
, т.о. первое из полученных неравенств (или 
) относится к условию неотрицательности, а второе к системе ограничений. Аналогично, 
это 
и 
.
Т.о. задача примет вид
max
, 
Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область допустимых решений по уравнениям прямых:
; 
; 
; 
(рис.5).
Областью решений неравенств является пятиугольник ABCDE.
Построим вектор 
.Через начало координат перпендикулярно вектору 
проведем линию уровня 
. И затем будем перемещать ее параллельно самой себе в направлении вектора до точки выхода из области допустимых решений. Это будет точка С. Найдем координаты этой точки, решив систему, состоящую из уравнений первой и четвертой прямых:
.
Подставим координаты точки С в целевую функцию и найдем ее максимальное значение 
Пример. Построить линии уровня 
и 
для задачи линейного программирования:
max (min)
Решение. Область допустимых решений – открытая область (рис.6). Линия уровня проходит через точку В. Функция Z имеет минимум в этой точке. Линию уровня построить нельзя, так как нет точки выхода из области допустимых решений, это значит, что 
.
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти область решений системы неравенств:
а) 
б) 
2. Решить графически задачу линейного программирования
min
3. Составить экономико-математическую модель и решить графически задачу линейного программирования
Фирма выпускает изделия двух видов А и В. Изделия каждого вида обрабатывают на двух станках (I и II). Время обработки одного изделия каждого вида на станках, время работы станков за рабочую смену, прибыль фирмы от реализации одного изделия вида А и вида В занесены в таблицу:
| Станки | Время обработки одного изделия, мин. | Время работы станка за смену, мин. | |
| А | В | ||
| I | |||
| II | |||
| Прибыль от одного изделия, грн. | 0,3 | 0,9 |
Изучение рынка сбыта показало, что ежедневный спрос на изделия вида В никогда не превышает спрос на изделия вида А более чем на 40 единиц, а спрос на изделия вида А не превышает 90 единиц в день.
Определить план производства изделий, обеспечивающий наибольшую прибыль.