Вместо коэффициента фондоемкости в экономике часто пользуются понятием коэффициента фондоотдачи , который характеризует эффективность использования основных фондов

(10.1.2)

по определению, количество ОПФ и поток ОПФ связаны выражением

(10.1.3)

где – скорость прироста (поток) количества ОПФ на производственном объекте. Она складывается из потока поступающих на объект U и потока выбывающих U_В из объекта ОПФ:

(10.1.4)

Если принять величину потока выбытия U_В пропорциональным количеству ОПФ на рассматриваемом предприятии

(10.1.5)

где β – коэффициент пропорциональности, то уравнение (10.1.3) можно записать в следующем виде:

(10.1.6)

Уравнение (10.1.6) характеризует развитие основных производственных фондов предприятия.

Примем гипотезу, что поток выбывающих основных фондов U_В пропорционален мощности рассматриваемого предприятия:

U_В (t) = α Р(t) , (10.1.7)

где α – коэффициент выбытия или старения ОПФ.

С учетом (10.1.1), (10.1.4)и (10.1.7) запишем уравнение (10.1.3) в форме

(10.1.8)

Дифференциальное уравнение (10.1.8) называется уравнением мощности ППО.

Из равенства соотношений (10.1.5) и (10.1.7) следует связь между коэффициентами α и β :

(10.1.9)

В практических задачах часто принимается, что в рассматриваемом диапазоне времени коэффициенты

Частные случаи уравнения мощности.Рассмотрим некоторые частные случаи для уравнения мощности ППО (10.1.8)

1. Примем, что коэффициент фондоемкости , (т.е. не учитываем НТП и развитие технологий на предприятии), коэффициент выбытия , U(t)=0 (на предприятие не поступают ОПФ).

В этом случае уравнение мощности примет следующий вид:

(10.1.10)

Запишем решение этого однородного дифференциального уравнения:

(10.1.11)

Если убывающие ОПФ не восполняются, то мощность предприятия падает и оно «умирает».Время жизни предприятия tк – это время, за которое располагаемая мощность заходит в 5% трубку от начального значения. Получим расчетную формулу для tк.

На рис 44 представлены графики функции мощности (10.1.11) при различных значениях коэффициента выбытия α .

Рис.44

Примем для упрощения, что t₀ = 0. Решая уравнение

найдем:

. (10.1.12)

2.Пусть , , (на предприятие поступают ОПФ). При t₀ = 0 решение уравнения мощности (10.1.8) получим в виде

(10.1.13)

На рис.45 представлены графики функции мощности (10.1.13) для трех случаев А,В и С, поведение которых зависит от соотношения потока выбывающих U_В = α Р₀ и потока поступающих U на предприятие ОПФ.

		A) В начальный момент B) В начальный момент C) В начальный момент

Рис.45

Во всех случаях, с течением времени, на предприятии мощность сходится к значению U/α. Но надо учитывать, что в рассматриваемой модели мы не учитываем влияние НТП.

3.Если U =0, α = 0, т.е. на предприятие не поступают и с него не выбывают ОПФ, а коэффициент фондоемкости переменный: m = m(t), то уравнение мощности принимает вид

(10.1.14)

Следовательно, , и

(10.1.15)

Отсюда очевидно, что совершенствуя оборудование, внедряя прогрессивные технологии и другими способами снижая значение коэффициента фондоемкости m, можно повысить мощность предприятия без увеличения количества ОПФ.

4.если существует поток выбывающих ОПФ, т.е. а поток поступающих ОПФ U =0, то в случае, когда m = m(t), решение уравнения мощности

после некоторых преобразований записывается

Идентификация коэффициентов уравнения мощности. Для определения коэффициентов фондоемкости m(t) и выбытия α(t) решается задача их идентификации по статистическим данным на некотором выбранном базовом периоде работы предприятия.

1.Идентификация коэффициента фондоемкости m(t).

По определению (10.1.1): Для идентификации m(t) собирается статистика по количеству ОПФ и мощности на базовом периоде работы предприятия (рис.46, 47).

Рис.46 Рис.47

По статистическим точкам строятся функции Ф_ос(t) и Р_с(t). На рис.46, 47 эти функции заданы в простой линейной форме

(10.1.16)

где коэффициенты определяются методом наименьших квадратов. Подставляя (10.1.16) в формулу коэффициента фондоемкости (10.1.1) получим выражение m_с(t), идентифицирующеезначение m(t) на базе статистического материала:

(10.1.17)

Замечание. Если на предприятии не внедряются новые технологии и более современное и совершенное оборудование на базе НТП, то можно заметить, что по формуле (10.1.1) количественное изменение ОПФ приводит к пропорциональному изменению мощности и их частное m(t) остается практически постоянным. Действительно, для крупных объектов на небольших интервалах времени фондоемкость мало зависит от времени. В монографии Т.К.Сиразетдинова [22] приводится график коэффициента фондоемкости промышленности США за период с 1890 по 1960 годы. Из графика видно, что в 1890–1935 годы фондоемкость оставалась примерно на значении m=3,2 , а в 1945–1960 m=1,85. Очевидно, что существенное уменьшение коэффициента фондоемкости связано с интенсификацией промышленного производства в условиях военного времени.

2. Идентификация коэффициента выбытия ОПФ α(t). Для статистической идентификации α(t) можно воспользоваться выражением α(t) из формулы (10.1.7): α(t) = U_В (t) / Р (t).

Собрав статистику по выбытию ОПФ на базовом периоде и записав ее, например, в виде линейной регрессии

получим выражение для определения коэффициента выбытия

Коэффициенты модели объекта желательно ежегодно корректировать на основе новой поступающей информации о состоянии объекта.

Механический аналог уравнения мощности. Чтобы лучше понять природу экономических параметров и характеристик, используем широко применяемый в физике и технических науках метод аналогий.

Рассмотрим ППО работающий на полную мощность. Через обозначим общее (суммарное) количество продукции, произведенной объектом за рассматриваемый период времени. Тогда мощность объекта определяется как производная

и уравнение мощности (10.1.8) можно записать в следующем виде:

(10.1.18)

Запишем известное в механике одномерное уравнение движения материальной точки переменной массы M(t), движущейся по оси ОХ под действием силы F в среде с коэффициентом сопротивления (демпфирования) ξ :

(10.1.19)

Сравнивая уравнение мощности Ппо (10.1.18) и уравнение движения точки переменной массы (10.1.19) можно сделать вывод о наличии между ними математической аналогии. Обозначим скорость движения материальной точки и сведем видимые аналогии в таблицу 16.

Т а б л и ц а 16

А Н А Л О Г И И
Экономический объект	Механический объект
Р(t) - мощность Y(t) – полный объем выпуска m(t) - фондоемкость α(t) – коэффициент выбытия ОПФ U(t) – поток поступления ОПФ Ф(t) = mP – количество ОПФ	V(t) – скорость движения X(t) – пройденный путь M(t) - масса ξ(t) – коэффициент сопротивления F(t) – движущая сила K=MV – количество движения

Уравнение выпуска продукции.Воспользуемся введенными ранее понятиями потока поступающих на ППО оборотных фондов V(t) и потока выпускаемой ППО продукции у(t). Составим отношение

где – коэффициент мгновенной фондоемкости оборотных фондов по выпуску данной продукции. Он характеризует количество оборотных фондов, необходимых для выпуска единицы продукции.

Вместо мгновенной фондоемкости оборотных фондов будем пользоваться коэффициентом фондоотдачи оборотных фондов:

(10.1.20)

который также называется коэффициентом эффективности использования оборотных фондов и характеризует количество выпускаемой продукции на единицу оборотных фондов. Перечисленные коэффициенты определяются по результатам статистической обработки экспериментальных значений отношений V/y или y/V.

Очевидно, что поток выпуска продукции не может быть больше мощности предприятия и быть отрицательной величиной, т.е.:

(10.1.21)

Используя выражения (10.1.20) и (10.1.21), уравнение выпуска продукции для ППО запишем в виде

(10.1.22)

Поток выпускаемой продукции определяется количеством сырья, энергии, живого труда и т.д., потребляемыми в единицу времени производством для выпуска данной продукции. пока выполняется неравенство (10.1.21), при нормальных условиях производства поток выпуска пропорционален потоку оборотных фондов (рис.48).

		Из рис.48 следует: По структуре формулы (10.1.20) можно заметить, что на небольших отрезках времени величина коэффициента фондоотдачи практически не меняется, поэтому в практических расчетах можно полагать, что

Рис.48

Анализ системы динамических уравнений ППО. Будем считать, что на рассматриваемом диапазоне времени Тогда система уравнений, описывающая динамику простого производственного объекта примет вид:

(10.1.23)

Первое уравнение системы (10.1.23) описывает инфраструктуру ППО, а два последних — производственные возможности объекта. Система (10.1.23) должна рассматриваться совместно. Уравнения ППО существенно отличаются от уравнений механики, электродинамики, поскольку в них присутствует неравенство Это неравенство обеспечивает неоднозначность решения задачи определения потока выпуска продукции.

Пример. На рис.49 задан график развития мощности объекта во времени.

		Пусть в начальный момент времени t=t0 выполняется условие т.е. используются не все возможности ОПФ. Ясно, что для увеличения выпуска нет необходимости увеличивать количество ОПФ. Следует увеличить поток ОбФ V(t). При этом пропорционально возрастет поток выпуска у. В момент t = t1 выпуск становится равным мощности и дальнейшее увели-

Рис.49

чение ОбФ становится бесполезным. Для увеличения выпуска требуется повысить мощность объекта.

Таким образом, когда нет ограничений (дефицита) в потоке оборотных фондов, поток выпуска определяется уравнением мощности, а уравнение выпуска определяет необходимое количество потока оборотных фондов V(t). Если же имеется дефицит в каких-нибудь компонентах ОбФ, то выпуск определяется уравнением выпуска (10.1.22) и часть мощности не используется. В этом смысле неравенство вносит логический элемент в решение системы уравнений ППО (10.1.23).

В задачах планирования обычно предполагается полное использование мощности объекта, т.е. а уравнение выпуска служит для определения необходимого потока оборотных фондов.

Производственные фонды как вектора с пропорциональными компонентами.Потоки ОПФ U(t)и ОбФ V(t) имеют определенную структуру. Так поток V(t) включает поток сырья, материалов, полуфабрикатов, энергии, живого труда, комплектующих частей и агрегатов изделия и т.д. Компоненты потока V обозначим через v¹, v²,…, v^S и введем вектор

(10.1.24)

Для идеального производства между компонентами вектора должна существовать пропорциональность. Если мы изменяем величину одной компоненты, то все другие должны измениться во столько же раз, т.е.

(10.1.25)

где Коэффициенты показывают, какое количество компонент vⁱ необходимо для выпуска одного изделия. Можно полагать, что является аналогом коэффициента прямых затрат в задаче межотраслевого баланса

Вектор (10.1.24) с компонентами, удовлетворяющими соотношению (10.1.25) называется вектором (или вектор-функцией) с пропорциональными компонентами (вектор СПК).

Поток основных производственных фондов также является векторной величиной, т.е. имеет свои компоненты

(10.1.26)

для конкретного изделия технология изготовления имеет неизменную структуру. Значит, компоненты также меняются пропорционально:

(10.1.27)

где Коэффициенты показывают, какое количество компонент основных производственных фондов необходимо для обеспечения заданной мощности Р. следовательно, поток ОПФ (10.1.26) тоже является вектором СПК.

Производственный процесс с потоками основных и оборотных фондов, представляющими вектор-функции с пропорциональными компонентами, называется идеальным производством. Это производство, в котором полностью (без остатка) используются основные и оборотные фонды.

Наличие в исследуемой системе вектор-функций с пропорциональными компонентами значительно упрощает математический анализ процессов в этой системе, так как достаточно ограничиться рассмотрением поведения одной из компонент, а остальные изменяются пропорционально. Отсюда следует, что если параметры или переменные состояния системы представляют вектор-функции с пропорциональными компонентами, то развитие объекта можно записать одним скалярным уравнением и сильно снизить размерность задачи.

Задача наискорейшего выхода на заданную потребность.Рассмотрим простой производственный объект, описываемый системой уравнений (10.1.23) при ограничении на поток поступающих на предприятие опф и ОбФ:

(10.1.28)

где и – максимально допустимые вложения в основные и оборотные фонды.

На отрезке времени задана потребность в производимой продукции в единицу времени (рис.50). Эту потребность обозначим через Предприятию требуется наискорейшим образом выйти на заданную потребность и затем поддерживать выпуск продукции при заданных ограничениях (10.1.28).

		Пусть в начальный момент времени t=0 поток выпуска продукции меньше потребного Очевидно, что в этом случае, чтобы быстро выйти на заданную потребность, предприятие должно работать на полную мощность, т.е. . Для достижения потребности необходимо как можно быстрее

развивать мощность, а для этого поток вложений в ОПФ должен быть максимально допустимым, т.е. Мощность определяется уравнением

Интегрируя его, найдем зависимость . Такое развитие мощности производства продолжается до момента t=Т, при котором поток выпуска продукции (мощность) и потребность сравняются (рис.50). Время является временем наискорейшего выхода на заданную потребность.

Чтобы при t≥Т удерживать поток выхода на заданной потребности, из системы уравнений ППО (10.1.23) с учетом ограничения (10.1.28) определяем потребные потоки основных и оборотных фондов при условии идеального производства и работы предприятия на полную мощность :

10.2. Моделирование запаздывания процессов в экономике

Предпосылка о мгновенной реакции производства на изменение объема и качества используемых в нем ресурсов, которую принимают при построении кинематических производственных функций, не отвечает экономической реальности. Она не учитывает запаздываний между затратами и результатами, а также демпфирующих свойств экономической системы.

В динамической модели ППО (10.1.23) происходит учет инерционного запаздывания роста мощности объекта от момента ввода ОПФ. Однако в представленной модели не учитывается время освоения поступающих на предприятие ОПФ и время производства продукции на предприятии.

Процесс ввода и освоения ОПФ может занимать несколько лет, в течении которых они не влияют на мощность предприятия. Оборотные фонды участвуют в процессе производства, что не отражается в уравнении выпуска продукции . По этому уравнению поток оборотных фондов мгновенно превращается в поток продукции и не учитывается время цикла производства. При детальном рассмотрении развития предприятия и производства конкретного изделия обычно составляется сетевой график, который точно учитывает процессы освоения и производства.

Для учета этих процессов в укрупненном виде и уточнения динамической модели ППО рассмотрим два основных способа учета запаздывания, применяемых в теории управления.

Модель чистого запаздывания.Модель чистого запаздывания или задержки (лага) в математике носит название уравнения с запаздывающим аргументом. На выходе элемента, осуществляющего чистое запаздывание, идет входной сигнал, сдвинутый по времени на величину лага τ (рис.51).

xвх, xвых

(10.2.1)

Рис.51

Величина чистого запаздывания τ определяется экспериментально или из статистического анализа.

Если τ_v – длительность цикла производства, то оборотные фонды, вступившие в производство в момент времени (t–τ_v) перейдут в готовую продукцию в момент времени t. Таким образом, с учетом чистого запаздывания на цикл производства, уравнение выпуска продукции имеет вид

(10.2.2)

Учесть время освоения поступающих на предприятие ОПФ также можно с помощью модели чистого запаздывания. К уравнению мощности ППО (10.1.8), в котором :

(10.2.3)

следует добавить уравнение запаздывания освоения ОПФ:

(10.2.4)

где τ_u – время освоения ОПФ, – поток освоенных ОПФ, – поток поступающих на предприятие ОПФ.

В общем случае, когда потоки ОПФ и ОбФ состоят из множества различных компонент и vⁱ (см. (10.1.24) и (10.1.26)), причем каждая компонента характеризуется свои временем освоения, можно составить систему

Тогда величины запаздывания τ_u и τ_v, входящие в формулы (10.2.2) и (10.2.4) определяются как

Модель чистого запаздывания обладает большой наглядностью но при решении реальных производственных задач сильно загружает оперативную память вычислительной машины. Кроме того, во многих ситуациях модель чистого запаздывания имеет не совсем адекватный характер, так как в ней не учитывается инерционность реальных экономических процессов.

Модель инерционного запаздывания.В модели инерционного запаздывания осуществляется преобразование входного сигнала x_вх(t) в выходной x_вых(t) в соответствии с дифференциальным уравнением

(10.2.5)

где T – постоянная времени, связанная с величиной запаздывания τ определенным соотношением.

Если , то переходная функция уравнения (10.2.5) имеет вид

(10.2.6)

Для определения времени запаздывания τ подставим в (10.2.6) Из решения полученного уравнения, получим Следовательно, постоянная времени в уравнении инерционного запаздывания (10.2.5)

График функции (10.2.6) показан на рис.52. Время запаздывания τ соответствует времени регулирования, т.е. времени захода процесса в 5-и процентную трубку от установившегося значения x_вых(∞) = А.

Рис. 52