Обчислення абсолютних показників варіації

Назва показників варіації	Формули показників варіації:
Для не згрупованих даних	Для згрупованих даних
Розмах варіації
Середнє лінійне відхилення
Середній квадрат відхилень (дисперсія)
Середнє квадратичне відхилення

Відносні показники варіації

Відношення абсолютних характеристик варіації до середньої величини називаються коефіцієнтами варіації. Коефіцієнти варіації розраховують за формулами:

v лінійний коефіцієнт варіації

v квадратичний коефіцієнт варіації

v коефіцієнт осциляції

Всі перелічені абсолютні показники варіації є іменованими величинами, а коефіцієнти обчислюються у відсотках.

Коефіцієнти варіації дозволяють порівнювати варіацію різних ознак або варіацію однієї ознаки у різних сукупностях. Для порівняння варіацій найчастіше використовують квадратичний коефіцієнт варіації. Цей показник використовується для оцінки однорідності сукупності, тобто надійності І типовості середньої величини. Розрізняють такі значення відносних коливань:

V< 10% ^- незначне коливання

V= від 10% до 30% - середнє коливання

V> 30% - велике коливання

Вважають, що сукупність є однорідною, а середня - типовою, коли коефіцієнт не перевищує 33%.

Види дисперсій

Дисперсія для ознак метричної шкали - середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої.

Варіація ознаки формується під впливом різних факторів. При вивченні дисперсії досліджуваної ознаки в межах даної сукупності можна визначити три показники коливання ознаки:

v загальну дисперсію;

v міжгрупову дисперсію;

v середню із групових дисперсій.

Загальна дисперсія, яку вже було розглянуто, характеризує загальну варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумо­вили ЦЮ варіацію.

Для незгрупованих даних Для згрупованих даних

Групова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи. її можна обчислити як середню просту і як зважену за формулами:

спрощеним способом :

Ця дисперсія відображає варіацію ознаки лише за рахунок умов і причин, що діють всередині групи.

Середня з групових дисперсій - це середня арифметична зважена з групових дисперсій:

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх х, від загальної середньої

Де δ²- міжгрупова дисперсія;

X/ — середня кожної окремої групи;

X - загальна середня всієї сукупності;

F_і -частоти.

Розв’язок типових задач

Задача 1.Наведені такі дані про виробництво продукції А на двох підприємствах галузі за п’ятиденками звітного місяця (тис. грн):

	П’ятиденки
1-а	2-а	3-а	4-а	5-а	6-а
Завод№1
Завод№2

За допомогою показників варіації дати оцінку ритмічності виробництва продукції на кожному із підприємств.

Розв’язок:

Перш за все визначимо середній випуск продукції за п’ятиденку по кожному із підприємств. Обчислення середнього рівня здійснюємо за формулою середньої арифметичної простої:

Таким чином, у звітному місяці обсяг випуску продукції першого і другого підприємств становив 80 тис. грн.. і, відповідно, середній випуск продукції за п’ятиденку на обох підприємствах був однаковим – 13,3 тис. грн.. Для того, щоб зробити висновок, яке з підприємств працювало більш ритмічно, обчислимо для кожного підприємства окремо показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, квадрати ний коефіцієнт варіації.

Для здійснення обчислень побудуємо робочу таблицю в яку занесемо вихідні дані із умови задачі та передбачимо відповідні графи для розрахункових показників:

Розрахунок показників варіації випуску продукції Таблиця 5.1
П'ятиденка	Завод № 1	Завод № 2
Випуск продукції, тис. грн.			Випуск продукції, тис. грн. хі
		3,3	10,89		1,3	1,69
		1,3	1,69		0,3	0,09
		2,3	5,29		0,7	0,49
		0,7	0,49		1,3	1,69
		1,3	1,69		0,7	0,49
		7,7	59,29		1,7	2,89
Разом		16,6	79,34		6,0	7,34

1. Розмах варіації

R₁ = 21-10 =11 R₂ = 15 – 12 = 3 тис. грн.

2. Середнє лінійне відхилення

3. Дисперсія

1. Середнє квадратичне відхилення

5. Квадратичний коефіцієнт варіації

Таким чином, при однаковому випуску продукції за місяць і в середньому за п'ятиденку, друге підприємство працювало більш ритмічно, ніж перше підприємство, про що свідчать обчислені показники варіації. Так, різниця між максимальним і мінімальним п'ятиденним випуском продукції (розмах варіації) на першому підприємстві становила 11,0 тис. грн., а на другому підприємстві - тільки 3,0 мн.ірн. Фактичні показники п'ятиденного випуску продукції відрізняються від середнього показника за середнім квадратичним відхиленням на першому підприємстві на 3,6 тис. грн. або на 27,1%, а на другому підприємстві - відповідно на 1,1 тис. грн. або на 8,3%.

Задача 2. Наведені такі дані про розподіл робітників підприємства за стажем роботи:

Стаж роботи, років	До 5	5-10	10-15	15-20	Більше 20
Чисельність робітників

Визначити:

1. Середній стаж роботи робітників підприємства.

2. Показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, лінійний та квадратичні коефіцієнти варіації.

На підставі обчислених показників зробити висновки.

Розв'язок:

Оскільки нам відомі дані про знаменник, а про чисельник - и то для обчислення середнього стажу роботи обираємо формулу середньої арифметичної зваженої:

де х - стаж роботи,

ƒ - чисельність робітників,

Σхf - загальна кількість відпрацьованих людино-днів.

Відповідно для розрахунку показників варіації використовуємо .і формули показників варіації для згрупованих даних.

Розрахунок середнього стажу роботи та показників варіації оформимо у вигляді робочої таблиці 4.2.

Таблиця 5.2.

Групи робітників за стажем роботи. років	Чисельність робітників ƒ	Розрахункові показники
Центр інтервал xi	xf
1	2	3	4	5	6	7
До 5		2,5		8,5
5-Ю		7,5		3,5
10-15		12,5		1,5
15-20		17,5		6,5
Більше		22,5		11,5
Разом

Для обчислення середньої арифметичної в інтервальному ряді розподілу спочатку визначаємо центри заданих інтервалів стажу роботи (див.гр.З).

Оскільки у нас невідома нижня межа першого інтервалу і верхня межа п'ятого інтервалу, то ми їх умовно відкриваємо за розміром сусіднього інтервалу. За розрахунковими даними гр. 2 і 4 обчислюємо середній стаж роботи робітників підприємства:

Тобто, в середньому трудовий стаж робітника підприємства становить 11 років.

Для визначення міри коливання стажу роботи окремих робіт­ників по відношенню до середнього стажу роботи в цілому по підприємству обчислимо показники варіації:

1. Розмах варіації R = 22,5 - 2,5 = 20 років

2. Середнє лінійне відхилення

3.Дисперсія

4.Середнє квадратичне відхилення

Висновок: Стаж роботи робітників підприємства варіює в межах Jfl років, тобто від 2,5 до 22,5 років. Стаж роботи окремих робітників Відхиляється від середнього стажу роботи в цілому по підприємству в пііі чи інший бік на 4,54 роки або на 41,27% за середнім лінійним відхиленням, і на 5,59 років або на 50,82% за середнім квадратичним відхиленням. Квадратичний коефіцієнт варіації 50,82% свідчить про досить значні коливання стажу роботи окремих робітників по відно­шенню до середнього стажу в цілому по підприємству, а це означає, що сукупність робітників підприємства за стажем роботи є неодно­рідною і обчислена середня величина стажу роботи не є типовою характеристикою для цієї сукупності.

З А Д А Ч І

5.1. Наведені такі дані про продуктивність праці робітників однієї із бригад підприємства:

Табельний номер робітника	Виготовлено деталей, штук
в денну зміну	в нічну зміну
		зо

Визначити по кожній зміні показники варіації змінного виробітку продукції:

v розмах варіації;

v середнє лінійне відхилення;

v дисперсію;

v середнє квадратичне відхилення;

v квадратичний коефіцієнт варіації.

За обчисленими показниками зробити висновки.

5.2. Стаж роботи робітників підприємства розподіляється таким чином:

Стаж роботи на підприємстві, років	До 3	1-3	3-5	5-10	10-20	20 і більше
Кількість робітників

Визначити показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, лінійний та квадра­тичний коефіцієнти варіації, коефіцієнт осциляції. За обчисленими показниками зробити висновки.

5.3. Успішність студентів І курсу обліково-економічного факультету з статистики за результатами екзаменаційної сесії характеризується такими показниками:

Оцінка.	Кількість студентів
107 група	108 група
“5” "4" "3" “2”

За наведеними даними дати відповідь на питання: 1) в якій групі вищий бал успішності? 2) в якій групі більш рівна успішність?

5.4. Виконання плану товарообігу у 5 відділах універмагу характе­ризується такими даними у відсотках: квітень - 106,103, 97, 102, 101; травень-94, 105, 101, 104, 102. Довести за допомогою квадратичного коефіцієнта варіації, у якому місяці виконання плану товарообігу було більш рівномірним.

5.5. За результатами зимової екзаменаційної сесії середній бал успішності становив: 101 група - 4,2 бали, 102 група - 4,0 бали, і Дисперсія успішності відповідно становила 0,81 і 0,16. Визначити по кожній групі квадратичний коефіцієнт варіації та зробити висновок, у якій з груп успішність була більш сталою.

5.6. Середня величина ознаки дорівнює 20, а квадратичний коефі­цієнт варіації становить 25%. Визначити дисперсію.

5.7. Дисперсія ознаки дорівнює 360000, квадратичний коефіцієнт варіації" становить 50%. Визначити середнє значення ознаки.

Тема 6. Аналіз концентрації,