ТЕМА. Системи одночасних (симультативних) регресійних рівнянь

Ряд економічних процесів моделюється не одним, а декількома рівняннями, що містять як повторювані, так і власні змінні. Внаслідок цього виникає необхідність використання систем рівнянь. Крім того, в одних рівняннях певна змінна розглядається як пояснююча (незалежна), але в той же час вона входить в інше рівняння як залежна (пояснювальна) змінна.

При дослідженні систем одночасних рівнянь змінні діляться на два великі класи - ендогенні й екзогенні змінні. Ендогенні змінні- це змінні, значення яких визначаються всередині моделі. Екзогенні змінні- це зовнішні щодо моделі змінні. Їхні значення визначаються поза моделлю і тому вони вважаються фіксованими.

Якщо декілька змінних = ( ) - вектор ендогених (залежних) змінних є функціями від =( ) - екзогених (незалежних) зміних, а , в свою чергу, є функціями від , взаємозв’язок між Y та неможливо описати за допомогою лише одного регресійного рівняння. В такому випадку переходять від регресійної моделі з одним рівнянням до регресійної моделі з багатьма рівняннями, серед яких можуть бути рівняння, які включають Y та як ендогенні і пояснюючі змінні. Модель, що описує таку взаємну залежність між змінними, називається системою одночасних або симультативних регресійних рівнянь. Системи симультативних рівнянь задаються двома формами: структурною і зведеною.

Приклад.

Y₁ - курс гривні до американського долара,

Y₂ - обсяг імпорту,

X₁ - національний прибуток,

Х₂ - середній рівень заробітної плати,

Х₃ - обсяг імпорту, Х₄ - ціни енергоносіїв, що купуються,

Х₅ - інфляція долара,

Х₆ - відсоткові ставки кредитів у банках,

X₇ - розмір емісії, Х₈ - інфляція гривні за попередні періоди в Україні, Росії, Германії тощо).

Систему регресійних рівнянь можна записати у вигляді

При побудові моделей пояснювальні зміні можуть мати запізнення (лаги) за один, два або більше періодів. Наприклад, інфляція долара в Україні залежить від рівня його інфляції в Германії, Америці, Японії, Росії за попередній період.

Структурна форма системи створюється в процесі побудови моделі економічного процесу при намаганні відобразити причинно-наслідковий механізм, існуючий в реальності. Вона дозволяє прослідкувати вплив величин екзогенних змінних моделі на значення ендогенних змінних.

В загальному вигляді економетрична модель на основі системи одночасних рівнянь має вигляд (1)

В цій моделі окремі коефіцієнти можуть дорівнювати нулю, якщо відповідна зміна не входить до рівняння. Систему (1) можна записати у матричній формі

Y_t = АY_t + ВХ_t + U_t , (2)

де Y_t - вектор ендогених (залежних) змінних;

X_t - матриця екзогених (незалежних) зміних,

U - вектор відхилень,

A - матриця коефіцієнтів при змінних Y розміром k х k;

В - матриця коефіцієнтів при змінних X розміром k x m.

Економетрична модель вигляду (1) відображає структуру зв'язків між змінними величинами і називається структурною формою економетричної моделі.

Використовуючи матричний запис (2) і припущення, що ранг системи дорівнює m, розв'яжемо цю систему відносно Y:

(3)

де П = (U - А)^-1 вектор-стовпець, складений з лінійних комбінацій випадкових змінних Е_t.

Рівняння (3) можна записати у вигляді системи

(4)

Це називається зведеною формою системи одночасних рівнянь.

Структурна форма системи одночасних рівнянь може включати також балансові рівняння, або тотожності, які відображають балансові зв'язки між деякими змінними та об'єднують регресійні рівняння в систему.

Найчастіше системи одночасних структурних рівнянь включають лінійні рівняння. Нелінійність зв'язків зводиться до лінійних відносно змінних або апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка економічних зв'язків враховується за допомогою часових лагів або лагових зміних.