Оптимизация портфеля с помощью модели Шарпа
Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом.
Основные допущения модели Шарпа:
— в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;
— существует некая безрисковая ставка доходности 
, т. е. доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами;
— взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности ценной бумаги) с отклонениями доходности рынка в целом от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности рынка) описывается функцией линейной регрессии;
— под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом;
— считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере будущие значения доходности.
По модели Шарпа отклонения доходности ценной бумаги связываются с отклонениями доходности рынка функцией линейной регрессии вида:
,
где 
— отклонение доходности ценной бумаги от безрисковой;
— отклонение доходности рынка от безрисковой;
— коэффициенты регрессии.
Исходя из этой формулы, можно по прогнозируемой доходности рынка ценных бумаг в целом рассчитать доходность любой ценной бумаги, его составляющей:
,
где 
, 
— коэффициенты регрессии, характеризующие данную ценную бумагу.
Теоретически, если рынок ценных бумаг находится в равновесии, то коэффициент будет равен нулю. Но так как на практике рынок всегда разбалансирован, то показывает избыточную доходность данной ценной бумаги (положительную или отрицательную), т.е. насколько данная ценная бумага переоценивается или недооценивается инвесторами.
Коэффициент 
называют -риском, т. к. он характеризует степень зависимости отклонений доходности ценной бумаги от отклонений доходности рынка в целом. Основное преимущество модели Шарпа — математически обоснована взаимозависимость доходности и риска: чем больше - риск, тем выше доходность ценной бумаги.
Кроме того, модель Шарпа имеет особенность: существует опасность, что оцениваемое отклонение доходности ценной бумаги не будет принадлежать построенной линии регрессии. Этот риск называют остаточным риском. Остаточный риск характеризует степень разброса значений отклонений доходности ценной бумаги относительно линии регрессии. Остаточный риск определяют как среднее квадратическое отклонение эмпирических точек доходности ценной бумаги от линии регрессии. Остаточный риск i - ой ценной бумаги обозначают 
.
Другими словами показатель риска вложения средств в данную ценную бумагу определяется - риском и остаточным риском 
.
В соответствии с моделью Шарпа доходность портфеля ценных бумаг – это среднее взвешенное значение показателей доходности ценных бумаг, его составляющих, с учетом - риска. Доходность портфеля определяется по формуле:
,
где - безрисковая доходность;
- ожидаемая доходность рынка в целом;
Риск портфеля ценных бумаг может быть найден с помощью оценки среднего квадратичного отклонения функции и определяется по формуле:
,
где 
- среднее квадратическое отклонение доходности рынка в целом, т. е. показатель риска рынка в целом;
- - риск и остаточный риск i - ой ценной бумаги;
С использованием модели Шарпа для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:
Обратная задача выглядит аналогичным образом:
При практическом применении модели Шарпа для оптимизации фондового портфеля используются следующие допущения и формулы.
1). Обычно в качестве безрисковой ставки доходности принимают доходность государственных ценных бумаг, например, облигаций внутреннего государственного займа.
2). В качестве доходности рынка ценных бумаг в целом в период t используются экспертные оценки рыночной доходности от аналитических компаний, из средств массовой информации и т. п. В условиях развитого фондового рынка для этих целей принято использовать какие-либо фондовые индексы. Для не очень большого по количеству ценных бумаг фондового рынка принимается среднее значение доходности ценных бумаг, составляющих рынок, за этот же период t:
,
где 
— доходность рынка ценных бумаг в период t;
— доходность i - ой ценной бумаги за период t.
3) - риск ценной бумаги рассчитывается по формуле:
,
где 
— -риск i - ой ценной бумаги;
— безрисковая доходность в период t;
T - рассматриваемое количество периодов времени.
4) Избыточная доходность ценной бумаги рассчитывается по формуле:
.
5) Остаточный риск ценной бумаги имеет следующий вид:
.
6) Риск рынка ценных бумаг в целом определяется по формуле:
.
Проведем численное моделирование оптимизации фондового портфеля, используя модель Шарпа для расчета характеристик портфеля. Для расчета оптимального портфеля была разработана специальная программа, работающая в среде электронного процессора Excel.
Исходные данные для расчета (доходность ценных бумаг) остаются без изменений (см. табл. 4.9.1). Кроме того, модель Шарпа предусматривает использование доходности рынка в целом и безрисковой доходности. Доходность рынка в целом принималась на основании экспертных оценок, ввиду отсутствия данных из внешних источников. В качестве безрисковой доходности принималась приведенная к недельному сроку доходность трехмесячных государственных краткосрочных облигаций. Данные о доходности рынка в целом и о безрисковой доходности представлены в табл. 4.9.5.
Табл. 4.9.5
| Период | Доходность рынка в целом | Безрисковая доходность |
| 5% | 0,75% | |
| 2,5% | 0,75% | |
| 10% | 0,80% | |
| 2% | 0,80% | |
| 7% | 0,80% | |
| 4% | 0,90% | |
| 1,5% | 0,90% | |
| 2% | 0,90% | |
| 3% | 0,90% | |
| 3,5% | 0,85% | |
| 2,5% | 0,85% | |
| 5% | 0,85% | |
| 1,5% | 0,85% | |
| 2% | 0,85% | |
| 1% | 0,85% |
На основе данных табл. 4.9.1 и табл. 4.9.5 рассчитаны характеристики каждой ценной бумаги: - риск, избыточная доходность и остаточный риск. Результаты расчета представлены в табл. 4.9.6. При численном моделировании были заданы требуемая доходность портфеля 4 %, допустимый риск портфеля 8 %, прогнозируемая безрисковая доходность 1 %, ожидаемая доходность фондового рынка 3.5 %.
Табл. 4.9.6. Характеристики ценных бумаг
| В - риск | Избыточная доходность | Остаточный риск | |
| Акции 1 | 2,883 | -7,04% | 11,89% |
| Акции 2 | 5,913 | -10,58% | 14,34% |
| Акции 3 | 2,672 | -6,17% | 11,37% |
| Акции 4 | 0,130 | -0,35% | 5,55% |
| Акции 5 | 3,353 | -6,46% | 12,65% |
| Акции 6 | 1,568 | 0,33% | 15,95% |
Используя встроенную функцию табличного процессора Excel “поиск решения”, были решены прямая и обратная задачи по оптимизации фондового портфеля. После обработки данных были рассчитаны оптимальные структуры фондового портфеля из рассматриваемых ценных бумаг, обеспечивающие максимально возможную доходность при заданном уровне риска (прямая задача) или минимально возможный риск при заданной доходности (обратная задача). Полученные результаты представлены в табл. 4.9.7.
Табл. 4.9.7. Структура оптимального портфеля по модели Шарпа
| Прогноз: | доходность рынка 3,5% ; безрисковая доходность 1% | |
| Структура портфеля | ||
| Прямая задача | Обратная задача | |
| Требования: | Риск меньше 8% | Доходность выше 4% |
| Акции 1 | 0% | 0% |
| Акции 2 | 18% | 23% |
| Акции 3 | 0% | 0% |
| Акции 4 | 38% | 23% |
| Акции 5 | 11% | 11% |
| Акции 6 | 34% | 43% |
| Характеристики | Доходность 3,38% | Доходность 4% |
| оптимального портфеля | Риск 8% | Риск 9,72% |
Основной недостаток модели — необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. Модель не учитывает колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения. Таким образом, модель Шарпа применима при рассмотрении большого количества ценных бумаг, описывающих большую часть относительно стабильного фондового рынка.
4.9.4. Оптимизация портфеля с помощью модели «Квази-Шарп»
Как уже отмечалось ранее, модели Марковица и Шарпа были созданы и успешно работают в условиях западных фондовых рынков, обладающих стабильностью и сравнительной прогнозируемостью. В странах с переходной экономикой фондовые рынки находятся на этапе становления и развития. Происходит постоянная реорганизация. Фондовый рынок Украины не является исключением. В таких условиях применение моделей Марковица и Шарпа приводит к искажениям, связанным с нестабильностью котировок ценных бумаг и фондового рынка в целом.
Ниже предложена модель расчета характеристик портфеля, способная эффективно работать в условиях современного нестабильного фондового рынка. Модель получила название "Квази-Шарп", т. к. в некоторых своих чертах сходна с моделью Шарпа.
Модель "Квази-Шарп" основана на взаимосвязи доходности каждой ценной бумаги из некоторого набора N ценных бумаг с доходностью единичного портфеля из этих ценных бумаг.
Основные допущения модели "Квази-Шарп" состоят в следующем
— в качестве характеристики доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;
—под единичным портфелем ценных бумаг понимается портфель, состоящий из всех рассматриваемых ценных бумаг, взятых в равной пропорции;
— взаимосвязь доходности ценной бумаги и доходности единичного портфеля ценных бумаг описывается линейной функцией;
— под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности единичного портфеля;
— считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере будущие значения доходности.
По модели "Квази-Шарп" доходность ценной бумаги связывается с доходностью единичного портфеля функцией линейной регрессии вида:
,
где 
— доходность ценной бумаги;
— доходность единичного портфеля;
— коэффициент регрессии;
— средняя доходность ценной бумаги за прошедшие периоды;
—средняя доходность единичного портфеля за прошедшие периоды.
Коэффициент характеризует степень зависимости доходности ценной бумаги от доходности единичного портфеля. Чем выше тем сильнее зависит доходность ценной бумаги от колебаний доходности единичного портфеля, т. е. от колебаний доходности остальных ценных бумаг, входящих в единичный портфель. Коэффициент называют - риском, но его трактовка отличается от трактовки одноименного показателя в модели Шарпа.
Как и в модели Шарпа, в модели "Квази-Шарп" существует риск того, что оцениваемая доходность ценной бумаги не будет принадлежать построенной линии регрессии. Этот риск называются остаточным риском. Остаточный риск характеризует степень разброса значений доходности ценной бумаги вокруг линии регрессии. Остаточный риск определяют как среднеквадратическое отклонение доходности ценной бумаги от линии регрессии. Остаточный риск i - ой ценной бумаги обозначают .
Общий риск вложений в данную ценную бумагу складывается из - риска, т.е. риска снижения доходности при падении доходности единичного портфеля, и остаточного риска , т. е. риска снижения доходности и несоответствия линии регрессии.
По модели "Квази-Шарп" доходность портфеля ценных бумаг - это средневзвешенная доходностей ценных бумаг, его составляющих:
,
где — ожидаемая доходность единичного портфеля.
Риск портфеля ценных бумаг определяется по формуле:
,
где 
— показатель риска единичного портфеля.
С использованием модели "Квази-Шарп" для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:
Соответственно, обратная задача имеет следующее конечное представление:
При практическом применении модели "Квази-Шарп" для оптимизации фондового портфеля используются следующие формулы:
1) в качестве доходности единичного портфеля в период t принимается среднее значение доходности ценных бумаг, его составляющих, за этот же период:
,
где 
— доходность единичного портфеля в период t;
— доходность i - ой ценной бумаги за период t;
2) средняя доходность ценной бумаги за прошедшие периоды:
,
где 
— доходность ценной бумаги за период t;
T — рассматриваемое количество периодов времени;
3) средняя доходность единичного портфеля за прошедшие периоды:
;
4) коэффициент ценной бумаги рассчитывается по формуле:
;
5) остаточный риск ценной бумаги:
;
6) показатель риска единичного портфеля:
.
Проведем численное моделирование оптимизации фондового портфеля, используя модель "Квази-Шарп". Для расчета оптимального портфеля была разработана специальная программа, работающая в среде электронного процессора Excel.
Исходные данные для расчета (доходность ценных бумаг) остаются без изменений (см. табл. 1).
На основе данных табл. 4.9.1 рассчитаны характеристики каждой ценной бумаги (коэффициент , средняя доходность и остаточный риск), а также доходность и риск единичного портфеля. Результаты расчета характеристик ценных бумаг представлены в табл. 4.9.8. Доходность единичного портфеля и его риск представлены в табл. 4.9.9. При численном моделировании были заданы требуемая доходность портфеля 4%, допустимый риск портфеля 8%, ожидаемая доходность единичного портфеля 3%.
Табл. 4.9.8. Характеристики ценных бумаг
| Коэффициент В | Средняя доходность | Остаточный риск | |
| Акции 1 | 1,08 | 1,47% | 11,66% |
| Акции 2 | 1,90 | 5,99% | 15,53% |
| Акции 3 | 1,24 | 1,78% | 12,92% |
| Акции 4 | 0,05 | 0,84% | 5,56% |
| Акции 5 | 1,10 | 3,30% | 13,03% |
| Акции 6 | 0,63 | 5,34% | 15,81% |
Пользуясь встроенной функцией табличного процессора Excel “поиск решения” решены прямая и обратная задачи по оптимизации фондового портфеля. Обработав данные, программа рассчитала оптимальные структуры фондового портфеля из рассматриваемых ценных бумаг, обеспечивающие максимально возможную доходность при заданном уровне риска (прямая задача) или минимально возможный риск при заданной доходности (обратная задача). Полученные результаты представлены в табл. 4.9.10.
Табл. 4.9.9
| Период | Доходность единичного портфеля |
| 6,83% | |
| 0,50% | |
| 20,46% | |
| -0,89% | |
| 12,20% | |
| 3,09% | |
| -4,67% | |
| -1,56% | |
| 3,46% | |
| 4,76% | |
| 0,40% | |
| 8,96% | |
| -0,98% | |
| 0,63% | |
| -6,39% |
Риск единичного портфеля равен 6,63%.
Табл. 4.9.10. Структуры оптимального портфеля по модели "Квази-Шарп"
| Прогноз: | Доходность единичного портфеля 3% | |
| Структура портфеля | ||
| Прямая задача | Обратная задача | |
| Требования: | Риск меньше 8% | Доходность выше 4% |
| Акции 1 | 0% | 0% |
| Акции 2 | 20% | 24% |
| Акции 3 | 0% | 0% |
| Акции 4 | 36% | 24% |
| Акции 5 | 13% | 15% |
| Акции 6 | 31% | 37% |
| Характеристики | Доходность 3,49% | Доходность 4% |
| оптимального портфеля | Риск 8% | Риск 9,30% |
Модель "Квази-Шарп" рационально применять при рассмотрении сравнительно небольшого количества ценных бумаг, принадлежащих к одной или нескольким отраслям. С помощью нее хорошо поддерживать оптимальную структуру уже существующего портфеля. Основной недостаток модели — рассматривается отдельный сегмент фондового рынка, без учета глобальных тенденций.
В заключение сравним структуры фондовых портфелей, полученные при оптимизации по моделям Марковица, Шарпа и "Квази-Шарп". Решение прямой задачи с использованием различных моделей расчета характеристик фондового портфеля представлено в табл. 4.9.11. Решение обратной задачи представлено в табл. 4.9.12.
Табл. 4.9.11. Структуры портфеля с максимальной доходностью при риске 8 %
| Структура портфеля | |||
| Название акций | Марковиц | Шарп | Квази - Шарп |
| Акции 1 | 0% | 0% | 0% |
| Акции 2 | 26% | 18% | 20% |
| Акции 3 | 0% | 0% | 0% |
| Акции 4 | 10% | 38% | 36% |
| Акции 5 | 19% | 11% | 13% |
| Акции 6 | 45% | 34% | 31% |
Табл. 4.9.12. Структуры портфелей с минимальным риском и доходностью не ниже 4 %
| Структура портфеля | |||
| Название акций | Марковиц | Шарп | Квази - Шарп |
| Акции 1 | 0% | 0% | 0% |
| Акции 2 | 20% | 23% | 24% |
| Акции 3 | 0% | 0% | 0% |
| Акции 4 | 24% | 23% | 24% |
| Акции 5 | 18% | 11% | 15% |
| Акции 6 | 38% | 43% | 37% |
Как видно из результатов, представленных в последних таблицах, структуры оптимальных портфелей очень похожи друг на друга. Приведем качественные сравнительные характеристики трех рассмотренных моделей.
Модель Марковица рационально использовать при стабильном состоянии фондового рынка, когда желательно сформировать портфель из ценных бумаг различного характера, принадлежащих различным отраслям. Основной недостаток модели — ожидаемая доходность ценных бумаг принимается равной средней доходности по данным прошлых периодов.
Модель Шарпа применима в основном при рассмотрении большого количества ценных бумаг, описывающих большую часть фондового рынка. Основной недостаток модели — необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. Не учитывается риск колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения.
Модель "Квази-Шарп" рационально применять при рассмотрении сравнительно небольшого количества ценных бумаг, принадлежащих к одной или нескольким отраслям. С помощью нее хорошо поддерживать оптимальную структуру уже существующего портфеля. Основной недостаток модели состоит в том, что в ней рассматривается отдельный сегмент фондового рынка, на котором работает агент фондового рынка, без учета глобальных тенденций.