Изучение взаимосвязи явлений

В статистике, как и в других науках, большое значение имеет закон всеобщей связи явлений, например: балансовая связь объемных показателей; зависимость средних величин от структуры совокупности; взаимосвязь индексных показателей; связь между изменениями одного и другого признаков и др.

При изучении связи между признаками и явлениями основными задачами статистики выступают:

а) проверка положений теории данного явления о возможности связи или выявление наличия связи;

б) определение формы и придание аналитического выражения исследуемой зависимости;

в) оценка тесноты связи между признаками и явлениями.

Принято различать следующие основные виды связи: балансовая, компонентная, факторная. В свою очередь факторная связь подразделяется на функциональную и корреляционную. При функциональной связи определенному значению факторного признака (признаков) соответствует строго определенное значение результативного признака. В корреляционной связи одному и тому же значению фактора могут соответствовать разные значения результативного признака.

Изучение взаимосвязи явлений может осуществляться с помощью приемов и методов статистики и математики. К первой группе методов относятся такие, как построение корреляционных таблиц, метод аналитических группировок и метод определения групповых средних, параллельное сопоставление рядов распределения, построение взаимосвязанных индексов, приемы выявления количественной оценки тренда рядов динамики, методы графических построений и др. Ко второй группе относятся методы корреляционного и регрессивного анализа.

При методе параллельного сопоставления рядов распределения записываются в первом столбце (первой строке) упорядоченные индивидуальные значения факторного признака (х), а во втором столбце (второй строке) – соответствующие им индивидуальные значения результативного признака (у).

Если количество единиц, входящих в наблюдение, относительно велико, данные о взаимосвязанных признаках целесообразно заносить в корреляционные таблицы. Цифры, помещенные в такие таблицы, показывают, сколько раз данная величина одного признака повторяется в сочетании с соответствующей величиной другого признака.

Корреляционная связь обнаруживается более тесно, если применять метод аналитической группировки и определения групповых средних.

При исчислении групповых средних значений факторного признака и соответствующих им определенных значений результативного признака влияния случайных причин взаимопоглощаются.

Наличие и приблизительно тесноту связи можно определить по форме корреляционного поля. Корреляционное поле представляет собой точечный график, для построения которого по масштабной шкале оси абсцисс откладываются значения факторного признака х, а по масштабной шкале оси ординат – значения результативного признака у.

Каждой единице изучаемой совокупности на графике соответствует одна точка, положение которой определяется индивидуальными значениями двух рассматриваемых признаков. Если такой график имеет форму шара, то связь между признаками отсутствует или очень мала. Если точки образуют эллипс и ось эллипса не параллельна ни одной из осей, то связь есть. При этом чем больше вытянут эллипс, тем выше теснота связи.

Если материал статистического наблюдения был подвергнут аналитической группировке и по каждой группе вычислены средние арифметические , то эти средние также в виде точки могут быть нанесены на график корреляционного поля. Последовательное соединение точек этого графика образует эмпирическую линию связи (линию регрессии). По виду этой линии определяется форма (прямолинейная или криволинейная) и теснота связи (положительная или отрицательная, тесная или слабая).

В теоретической линии регрессии находит графическое выражение форма (закон) корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Численные значения параметров уравнения корреляционной связи определяются на основе имеющихся данных наблюдения методом наименьших квадратов из условия:

где у, у_х – соответственно эмпирические и расчетные «теоретические» значения результативного признака.

Для нахождения параметров уравнения прямой у_х=a+bx используется система нормальных уравнений:

Степень тесноты корреляционной связи может оцениваться с использованием различных показателей: коэффициентов парной, частной и множественной корреляции; корреляционного отношения, индекса корреляции, коэффициентами ранговой корреляции и др.

Например, коэффициент парной (или линейной) корреляции может исчисляться по формуле

Если для количественной оценки тесноты связи используются ранжированные данные, то применяются непараметрические показатели: коэффициенты ранговой корреляции по Спирмену, по Кендэлу, коэффициент конкордации. Например, коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется по формуле:

где – ранги изучаемых признаков;

n - количество единиц наблюдения.

Задача № 1.Используя приведенные в задаче №2 данные о длительности производственного стажа и размере дневной заработной платы 12 рабочих, постройте корреляционную таблицу.

Примечание. Примените аналитическую группировку: для факторного признака используйте интервалы 1-3, 4-6, 7-9 и 10-12 лет и для результативного признака – интервалы 62-68, 60-72, 72-84 тыс. руб.

Задача № 2. Определите наличие и вид связи между длительностью производственного стажа и дневной заработной платы рабочих по следующим данным:

Длительность производственного стажа (х), лет	Размер дневной зарплаты (у), тыс. руб.	Длительность производственного стажа (х), лет	Размер дневной зарплаты (у), тыс. руб.

Изобразите эти статистические данные графически.

Задача № 3. На основании корреляционной таблицы, построенной при решении задачи №2, распределите рабочих на 4 группы по длительности производственного стажа. Определите средние дневные заработные платы одного рабочего по каждой группе. Оцените форму и тесноту корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Для взаимосвязанных групповых средних постройте эмпирическую линию связи.

Задача № 4.Имеются следующие данные о стоимости основных фондов (факторный признак Х) и объеме производства продукции по 7 предприятиям:

Номер предприятия	Основные фонды (х), млрд. руб.	Объем производства продукции, тыс. ед.

С использованием метода аналитической группировки и групповых средних, а также построения эмпирической линии регрессии определить форму и тесноту связи между результатами производственной деятельности и техническим потенциалом предприятий.

Примечание. Выделить 4 группы предприятий с равными интервалами.

Задача № 5.Имеется следующая информация по однотипным предприятиям о возрасте (продолжительности эксплуатации) типового оборудования и затратах на его ремонт:

Номер предприятия
Возраст оборудования, лет
Затраты на ремонт, млн. руб.

В целях нормирования расхода средств на ремонт оборудования определить уравнение регрессии.

Задача № 6.По данным о стаже работы 30 рабочих – сдельщиков и проценте выполнения ими норм выработки исчислить параметры уравнения корреляционной зависимости (связь линейная) и показатель тесноты связи.

Примечание. Тесноту связи оценить с использованием эмпирического корреляционного отношения

где d² – межгрупповая дисперсия;

s² – общая дисперсия.

Группы рабочих по продолжительности стажа, лет	Число рабочих	Сумма процентов выполнения норм выработки в группе
До 5 5-10 10-15 15-20 20 и более		803,8 134,0 841,2 213,2 214,6
Итого		307,7

Задача № 7.В приведенном ниже балансе движение материальных ценностей за год (млрд. руб.) исчислите недостающие показатели:

Материальные ценности	Остатки на начало года	Поступило за год	Реализовано за год	Остатки на конец года
оптом	в розницу
А Б В		?		?	?

Задача № 8. Численность рабочих на предприятии сократилась на 25%, а фонд заработной платы увеличился на 5%. Как изменилась средняя заработная плата одного рабочего?

Задача № 9. Изменение уровней производительности труда и факторов ее роста на предприятии за два года характеризуется следующими данными:

Показатель	Условное обозначения	Базовый год	Отчетный год
Часовая выработка на одного рабочего, млн. руб. Фактическая продолжительность отработанного человеко–дня, ч Фактическое число дней работы одного рабочего Годовая выработка на одного рабочего, млн. руб.	а   б     в   Пт	12,1   7,2     250,0   24,2	12,7   7,8     240,0   27,6

Определите влияние каждого фактора на формирование уровня производительности труда. Проанализируйте полученные результаты.

Задача № 10.При подведении итогов экзаменационной сессии в группе были получены следующие данные о зависимости между количеством пропущенных обязательных занятий студентом без уважительной причины и средним баллом его успеваемости по 5 дисциплинам:

Номер п/п	А
Количество пропущенных обязательных занятий, ч	Б		---
Средний балл по всем предметам	В	3,8	4,8	5,0	3,7	3,4
А
Б		3,5
В	3,0	3,9	4,6	3,9	5,0	4,6	3,2	4,7	4,2	3,0	3,6	4,5	4,7

Вычислите линейный коэффициент корреляции и коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Сравните полученные величины степени тесноты связи и объясните расхождение.

Задача № 11.По данным задачи №5 определите тесноту связи с помощью коэффициента корреляции рангов Спирмена.

Контрольные вопросы

1. Какие виды связей изучает статистика?

2. В чем состоит отличие между функциональной и корреляционной факторной связью?

3. Дайте краткую характеристику способу параллельных сопоставлений, способов построения корреляционных и групповых таблиц, построения корреляционного поля при изучении взаимосвязей между признаками.

4. Раскройте сущность измерения тесноты связи.

5. Какие показатели являются мерой тесноты связи между двумя признаками и как они вычисляются?

6. Поясните смысл множественной и частной корреляции.

7. Дайте понятие коэффициентов ранговой корреляции.

8. В чем состоит значение уравнения регрессии?

9. Каковы условия построения уравнения регрессии?

10. Как осуществляется отбор факторов для включения их в уравнение многофакторной регрессии?

11. Какие показатели используются для измерения степени тесноты связи между качественными показателями?

12. В чем особенности изучения взаимосвязи между рядами динамики?