Коэффициенты прямых и полных затрат, связь между ними.

Переходя к анализу модели межотраслевого баланса, необ­ходимо прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы Коэффициентов прямых материальных затрат А. Коэффициен­ты прямых затрат по определению являются неотрицательны­ми, следовательно, матрица А в целом может быть названа не­отрицательной: А > 0. Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизвод­ства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы мат­рицы А меньше единицы:

a_ii< 1;

Система уравнений межотраслевого баланса является отра­жением реальных экономических процессов, в которых содер­жательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значе­ния валовых выпусков. Вектор валовой продук­ции состоит из неотрицательных компонент и называется неот­рицательным: .

Встает вопрос: при каких условиях эконо­мическая система способна обеспечить положительный конеч­ный выпуск по всем отраслям? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо ввести понятие продуктивности матрицы коэффи­циентов прямых материальных затрат.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктив­ной, если существует такой неотрицательный вектор что

Х>АХ. (3.11)

Очевидно, что условие (3.11) означает существование поло­жительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели ме­жотраслевого баланса (3.6).

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материа­льных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

• Матрица (Е -А) неотрицательно обратима, т. е. существу­ет обратная матрица (Е -А)^-1 > 0.
• Матричный ряд Е+ А +А²+А +...= сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е -А)^-1.

• Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т. е. решение характеристического уравнения:

| Е-А|=0,

строго меньше единицы.

· Все главные миноры матрицы (Е -А), т. е. определители матриц, образованных элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком про­дуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т. е. величину наибольшей из сумм элементов мат­рицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго ме­ньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма бо­льше единицы.

Если обозначить наибольший по модулю корень характери­стического уравнения, приведенного в условии 3 продуктивно­сти матрицы А, через , то он может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых материальных затрат, а следо­вательно, величина (1 - ) характеризует остаток после затрат, т. е. продуктивность. Чем больше (1 - ), тем больше возмож­ности достижения других целей, кроме текущего производственного потребления. Другими словами, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше наибольшее по модулю собственное значение и ниже уровень продуктивно­сти, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов мат­рицы А, тем меньше наибольшее по модулю собственное значе­ние и выше продуктивность.

Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных мате­риальных затрат, т. е. матрицы В = (Е - А)^-1. Согласно определе­нию 2, данному в предыдущем разделе, коэффициент этой мат­рицы b_ij показывает, сколько всего нужно произвести продук­ции i-й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j-и отрасли.

Дадим другое определение коэффициента полных материа­льных затрат исходя из того, что кроме прямых затрат сущест­вуют косвенные затраты той или иной продукции при произ­водстве продукции данной отрасли. Рассмотрим в качестве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической це­почкой «руда - чугун - сталь - прокат». Затраты электроэнер­гии, при получении проката из стали будут называться прямы­ми затратами. Те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затра­ты электроэнергии при получении чугуна из руды будут показываться косвенными затратами электроэнергии на выпуск сталь­ного проката 2-го порядка и т. д. В связи со сказанным выше имеет место определение 3; коэффициентом полных материа­льных затрат С_ij называется сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции i-й отрасли для производства единицы про­дукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства. Если коэффициент косвенных материальных затрат А-го порядка обозначить через a^k_ij, то справедливо равенство

C_ij=a_ij+a_ij⁽¹⁾+a_ij⁽²⁾+…+a_ij^(k)+…,(3.12)

а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов полных материальных затрат С = (с_ij) и матрицы коэффициентов кос­венных материальных затрат различных порядков А^(k) = (a_ij^(k)), то поэлементную формулу (3.12) можно записать в более общем матричном виде:

C=A+A⁽¹⁾+A⁽²⁾+…+A^(k)+… (3.13)

Исходя из содержательного смысла коэффициентов косвенных материальных затрат, можно записать ряд матричных со­отношений:

A⁽¹⁾=AA=A² A^(k)=AA^(k-1)=AA^k+A^k+1

с использованием которых матричная формула (3.13) может быть переписана в следующем виде:

C=A+A²+A³+…= (3.14)

Если матрица коэффициентов прямых материальных за­трат А является продуктивной, то по условию 2 продуктивности существует матрица В - (Е - А)^-1, являющаяся суммой сходя­щегося матричного ряда

В=(Е-А)^-1=Е+А+А²+ …= (3.15)

Сопоставление соотношений (3.14) и (3.15) устанавливает следующую связь между двумя матрицами коэффициентов полных материальных затрат:

В = Е + С,или в поэлементной записи:

b_ij=

Данная связь определяет экономический смысл различия между коэффициентами матриц В и С: в отличие от коэффици­ентов матрицы С, учитывающих только затраты на производство продукции, коэффициенты матрицы В включают в себя кро­ме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.

Перейдем теперь к вычислительным аспектам решения задач на основе модели межотраслевого баланса. Основной объем расчетов по этой модели связан с вычислением матрицы коэф­фициентов полных материальных затрат В. Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А задана и является продуктивной, то матрицу В можно находить либо по формулам обращения матриц, приводимым в курсе алгебры, либо приближенным способом, используя разложение в матричный ряд(3.15).

Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В. При этом способе предварительно находят матрицу (Е - А), а затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют матрицу (Е -А)^-1. Одним из наиболее упо­требительных методов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на примене­нии формулы;

B=(E-A)^-1= (3.16)

где в числителе стоит матрица, присоединенная к матрице (Е - А), элементы которой представляют собой алгебраические дополне­ния для элементов транспонированной матрицы (Е-А}', а в зна­менателе стоит определитель матрицы (Е -А). Алгебраиче­ские дополнения в свою очередь, для элемента с индексами i и j получаются путем умножения множителя (-1)^j+j на минор, полу­чаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и j-го столбца.

При втором способе вычисления матрицы коэффициентов полных материальных затрат используется формула (3.15). При этом обязательным условием корректности расчетов явля­ется условие продуктивности матрицы А, и при расчетах огра­ничиваются учетом косвенных материальных затрат до некото­рого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков, В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты пол­ных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком).

Методы расчета

1.Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

Найти коэффициенты полных материальных затрат и век тор валовой продукции; заполнить схему межотраслевого материального баланса.

1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму (приближенному) способу, учитывая косвенные материальные затраты до 2-го порядка включительно. Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна

A⁽¹⁾=A²=

Матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна

A⁽²⁾=AA⁽¹⁾=

Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна

B

2.Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц(1-й способ)

• находим матрицу (E – A):

(E-A)=

• вычисляем определитель этой матрицы:

• транспонируем матрицу (E-A):

(E-A)^’=

• находим алгебраические дополнения для элементов мат­рицы (Е- А)':

A₁₁=(-1)² A₁₂=(-1)³

A₁₃=(-1)⁴ A₂₁=(-1)³

A₂₂=(-1)⁴ A₂₃=(-1)⁵

A₃₁=(-1)⁴ A₃₂=(-1)⁵

A₃₃=(-1)⁶

Таким образом, присоединенная к матрице (Е -А) матрица имеет вид:

используя формулу (3.16), находим матрицу коэффици­ентов полных материальных затрат:

B=(E-A)^-1=

Как отмечалось ранее, элементы матрицы B, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов этой матрицы, рассчитанной по второму при­ближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.

3. Найдем величины валовой продукции трех отраслей (век­тор X), используя формулу (3.8¹):

X=BY=

4. Для определения элементов первого квадранта материа­льного межотраслевого баланса в нашей задаче воспользуемся формулой, вытекающей из формулы (3.4);

x_ij=a_ijX_j

Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину

X₁ =775,3; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х₂ = 510,1; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х₃ = 729,6.

Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продук­ция) находится с учетом формулы (3.1) как разность между объ­емами валовой продукции и суммами элементов соответствую­щих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант в нашей задаче состоит из одного по­казателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.

Результаты расчета:

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

Потребляющие отрасли Производящие отрасли				Конечная продукция	Валовая продукция
	232,6	51,0	291,8	200,0	775,3
	151,1	255,0	0,0	100,0	510,1
	232,6	51,0	145,9	300,0	729,6
условно-чистая продукция	155.0	153,1	291,9	600,0	-
валовая продукция	775,3	510,1	729,6	-	2015,0

2.Решим стандартную задачу на модель Леонтьева.

Даны вектор непроизводственного потребления С= и матрица А =

мсжотраслевого баланса. Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.

Решение.Известно, что Х= (Е-А)^-1С. Следовательно, надо най­ти матрицу, обратную к (Е - А). Для этого можно воспользоваться методом, например с помощью миноров

Получаем: (E-A)^-1= и, значит, X=

3.Решим стандартную задачу на модель Неймана.

Даны матрицы A= и B= технологических процессов, вектор цен P=(1,5) и вектор начальных запасов .S = . Найдем интенсивности технологических процессов, максимизирующие стоимость вы­пуска продукции за один производственныйцикл, и эту самое мак­симальную стоимость.

Решение.Пусть Z= - вектор-столбец искомых интенсивностей, тогда для их нахождения имеем задачу линейного програм­мирования:

PBZ или (в развернутой форме) 30z₁+80z₂

AZ 5z₁+2z₂

4z₁+10z₂

z₁, z₂

Решим эту задачу графическим методом. Точка максимума (0; 2,8) и

Пример №3 (транспортная задача).

На двух складах А и В находится по 90 т. горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты 1, 2, 3 соответственно стоит 1, 3 и 5 у.е., а перевозка одной тонны со склада В в те же пункты – соответственно 2, 5 и 4 у.е. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего.

Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими.

Решение:

Запишем исходные данные в таблице №1:

	1-60т.	2-60т.	3-60т.
А-90т.	60т.	1у.е.	30т.	3 у.е.		5 у.е.
В-90т.		2 у.е.	30т.	5 у.е.	60т.	4 у.е.

Заполнение таблицы начинам с ячейки с минимальной стоимостью, это ячейка , первый столбец закрыт т.к. целиком удовлетворена потребность пункта №1 в горючем. Выбираем минимальную стоимость ячейки во втором и третьем столбце – это ячейка . Потребность пункта №2 в горючем составляет 60 т., но на складе А осталось всего 30 т., а еще 30 т. придется доставлять со склада В, заполняя ячейку . Потребность в горючем пункта №3 можно удовлетворить только доставкой оставшегося горючего со склада В. Таблица заполнена, она дает исходное опорное решение. Данному решению соответствуют затраты в количестве у.е.

Получив исходное опорное решение, перейдем к построению новых опорных решений, улучшающих друг друга: для этого применим метод потенциалов.

После построения исходного опорного решения все переменные разбиты на две группы: базисные - ( , , , ) и свободные - ( , ). Назовем потенциалом пункта отправления (А,В) величину , а потенциалом пункта доставки (1, 2, 3) - величину . Свяжем эти величины равенством , где - стоимость перевозки одной тонны груза из пункта в пункт . Совокупность уравнений , составленных для всех базисных переменных, составляют совместную систему линейных уравнений, причем значение одной из переменных можно задавать произвольно, и тогда значения остальных переменных находятся из системы однозначно. Обозначим через величины условно называемые косвенной стоимостью. Если все разности , найденные для свободных клеток неотрицательные, то исходное решение является оптимальным. Если хотя бы одна из этих разностей отрицательна переходим к новому опорному плану, который строят следующим образом. Выбирают какую-нибудь свободную переменную, для которой сумма потенциалов строго больше соответствующей стоимости. Для выбранной переменной находят соответствующий ей цикл пересчета и производят сдвиг по этому циклу. В результате этого получают новое исходное решение. Эти операции выполняют до тех пор, пока не получат оптимальный базис т.е. неотрицательные коэффициенты при свободных переменных.

Для нашей задачи имеем: , , , . Пусть , тогда , , . Вычислим косвенные стоимости , . Подсчитаем разности :

Исходное решение не является оптимальным, поэтому строим новый опорный план – улучшенный для этого пересчитываем коэффициенты первоначальной таблицы по следующему циклу пересчета.

	1-60т.	2-60т.	3-60т.
А-90т.	60т.-30т.	1у.е.	30т.+30т.	3 у.е.		5 у.е.
В-90т.	+30т.	2 у.е.	30т.-30т.	5 у.е.	60т.	4 у.е.

Получаем новый опорный план улучшенный:

	1-60т.	2-60т.	3-60т.
А-90т.	30т.	1у.е.	60т.	3 у.е.		5 у.е.
В-90т.	30т.	2 у.е.		5 у.е.	60т.	4 у.е.

Данному плану соответствуют затраты в количестве у.е.

Найдем потенциалы , , , . Пусть , тогда , , . Вычислим косвенные стоимости , . Подсчитаем разности : ;

.

Так как все разности являются неотрицательными второй исходный план является оптимальным, соответствующая ему сумма затрат 510 у.е.

Ответ: 510 у.е.