Модель равновесных цен
Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х=(х1, х2,..., хn) – вектор валового выпуска. Обозначим через р=( p1, p2,..., pn) – вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли.
1. Часть своего дохода каждая i-я отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме а1i, второй отрасли в объеме а2i, п-й отрасли в объеме аni и т.д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная a1i р1 + a2i р2 +...+ ani рn. Следовательно, для выпуска продукции в объеме хi отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную хi(a1i р1 + a2i р2 +...+ ani рn). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через Vi (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).
Таким образом, имеет место следующее равенство:
хiрi = хi(a1i р1 + a2i р2 +...+ ani рn)+ Vi.
Разделив это равенство на хi, получаем
рi = хi(a1i р1 + a2i р2 +...+ ani рn)+ vi.
где vi = Vi/хi – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).
Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:
p = ATp + v,
где v = (v1, v2 ,..., vп) – вектор норм добавленной стоимости, AT – транспонированная матрица.
Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на АT.
Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.
Пример1.2.2. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей. Назовем их условно: топливно-энергетическая отрасль, промышленность и сельское хозяйство. Пусть
– транспонированная матрица прямых затрат;
– столбец норм добавленной стоимости.
Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой р=СTv, где СT = (Е–АТ)-1 – транспонированная матрица полных затрат. После необходимых вычислений имеем
0,58 0,14 0,18
СT = (1/0,444) 0,28 0,68 0,24
0,25 0,29 0,69 .
10
Отсюда получаем, что р = СTv = 20 .
Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11. Определим равновесные цены в этом случае. Принимая во внимание, что v = (5,11; 10; 4), находим, что
11,45
р = СTv = 20,7 .
15,625
Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5%, второй – на 3,5%, третьей отрасли – на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.