Методика выполнения типовых задач. Рассмотрим методику выборочного метода на конкретных примерах.
Рассмотрим методику выборочного метода на конкретных примерах.
Пример 5.1 Для изучения оснащения заводов основными производственными фондами было проведено 10%-ное выборочное обследование методом случайной выборки, в результате которого получены следующие данные о распределении заводов по стоимости основных производственных фондов:
| Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб. | До 2 | 2 – 4 | 4 – 6 | Свыше 6 | Итого |
| Число заводов |
Требуется определить:
1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех заводов генеральной совокупности;
2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб.;
3) объем выборочной совокупности при условии, что предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов (с вероятностью 0,997) была бы не более 0,5 млн. руб.;
4) то же при вероятности 0,954;
5) предельная ошибка доли (с вероятностью 0, 954) была бы не более 15%.
Решение:
1) Для определения границ генеральной средней необходимо исчислить среднюю выборочную ( 
) и дисперсию ( 
), техника расчета которых приведена в таблице:
| Среднегодовая стоимость основных производственных зондов, млн. руб., (х) | Число заводов, (f) | Середина интервала (х) |  |  |  |  |
| До 2 | I | -3,52 | 12,39 | 61,95 | ||
| 2 – 4 | -1,52 | 2,31 | 27,72 | |||
| 4 – 6 | 0,48 | 0,23 | 5,29 | |||
| Свыше 6 | 2,48 | 6,15 | 61,50 | |||
| Итого | 156,46 |
Тогда 
;
Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:
а) при повторном отборе
б) при бесповторном отборе
Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли допустить среднюю ошибку репрезентативности в 0,25 млн. руб. при повторном и 0,24 млн. руб. при бесповторном отборе в ту или иную сторону от среднегодовой стоимости основных производственных фондов, приходящейся на один завод в выборочной совокупности. Исчисленные данные показывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативности (0,24) меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (0,25).
В нашем примере Р = 0,997, следовательно, t = 3.
Исчислим предельную ошибку выборочной средней ( 
):
(при повторном отборе);
(при бесповторном отборе).
Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной совокупности в общем виде, может быть представлен следующим образом:
или 
Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на один завод генеральной совокупности будет находиться в следующих пределах:
а) при повторном отборе
б) при бесповторном отборе
Эти границы можно гарантировать е вероятностью 0,997.
2) Вычисление пределов при установлении доли осуществляется аналогично нахождению пределов для средней величины. В общем виде расчет можно представить следующим образом:
или 
где Р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности.
Доля заводов в выборочной совокупности со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. составляет:
Определяем предельную ошибку для доли. По условию задачи известно, что N = 500; n = 50; w = 0,66; Р = 0,964; t=2.
Исчислим предельную ошибку доли:
а) при повторном отборе
б) при бесповторном отборе
= ±0,27 или 12,7%.
Следовательно, с вероятностью 0,954 доля заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. в генеральной совокупности будет находиться в пределах:
Р = 66%±13,4%, или 52,6% ≤ Р≤ 79,4% при повторном отборе;
Р = 66%±12,7%, или 53,3% ≤ Р ≤ 78,7% при бесповторном отборе.
Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторной выборке.
3) Найдем объем выборки для расчета ошибки средней:
а) при повторном отборе 
б) при бесповторном отборе 
4) Найдем объем выборки для расчета ошибки средней:
а) при повторном отборе 
б) при бесповторном отборе 
5) Объем выборки для расчета ошибки доли будет:
а) при повторном отборе 
б) при бесповторном отборе 
Выводы: 1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку; 2) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях увеличить предельную ошибку.
Вопросы и задания для проверки и закрепления знаний
1) Что такое выборочное наблюдение и какова практика его применения?
2) В чем преимущества выборочного метода в сравнении с другими видами статистического наблюдения?
3)Что означают генеральная и выборочная совокупности и каковы их характеристики?
4) Что такое «ошибка репрезентативности»? Каковы факторы ее возникновения при использовании выборочного метода?
5) В чем отличия между способами повторного и бесповторного отбора единиц изучаемой статистической совокупности в выборку?
6) В чем отличия показателей «средней» и «предельной» ошибки выборки, значение «коэффициента доверия»? Каковы особенности его применения в определении доверительных интервалов?
7) Каким образом выборочные данные распространяются на генеральную совокупность?
8) Охарактеризуйте наиболее распространенные способы отбора выборочной совокупности?
9) Для определения срока службы металлорежущих станков было проведено 10%-ное выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:
| Срок службы станков, лет | Число станков, шт. | ||||
| вариант 1-й | вариант 2-й | вариант 3-й | вариант 4-й | вариант 5-й | |
| До 4 | |||||
| 4 – 6 | 4 32 | ||||
| 6 – 8 | |||||
| 8 – 10 | |||||
| Свыше 10 | |||||
| Итого |
Определите для каждого варианта: 1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых ожидается средний срок службы металлорежущих станков; 2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку репрезентативности для доли и пределы удельного веса станков со сроком службы свыше 8 лет.
10) С целью изучения выполнения норм выработки 5000 рабочими машиностроительного завода было отобрано в случайном порядке 1000 рабочих. Из числа обследованных 80% рабочих выполняют норму выработки на 100% и выше. Определите с вероятностью 0,997 ошибку выборки и возможные пределы доли рабочих завода, выполняющих и перевыполняющих норму выработки.
11) Из партии в 1 млн. шт. мелкокалиберных патронов путем случайного отбора взято для определения дальнобойности боя 1000 шт. Результаты испытаний представлены в следующей таблице:
| Дальность боя, м | Итого | ||||||
| Число патронов, шт. | ПО |
С вероятностью 0,954 определите среднюю дальность боя по выборке, ошибку выборки и возможные пределы средней дальности боя для всей партии патронов.
12) В порядке механической выборки обследован возраст 100 студентов вуза из общего числа 2000 человек. Результаты обработки материалов наблюдения приведены в таблице:
| Возраст, лет | |||||||
| Число студентов, чел. |
Установите: а) средний возраст студентов вуза по выборке; б) величину ошибки при определении возраста студентов на основе выборки; в) вероятные пределы колебания возраста для всех студентов при вероятности 0,997.
13) В процессе технического контроля из партии готовой продукции методом случайного бесповторного отбора было проверено 70 изделий, из которых 4 оказались бракованными. Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7%, если процент отбора равен 10?