Задания и задачи. Задача 1. Фирма ежегодно оценивает положение со сбытом одного из видов своей основной продукции и дает ему удовлетворительную (состояние 1) или

Задача 1. Фирма ежегодно оценивает положение со сбытом одного из видов своей основной продукции и дает ему удовлетворительную (состояние 1) или неудовлетворительную оценку (состояние 2). Необходимо принять решение о целесообразности рекламирования этой продукции в целях расширения ее сбыта. Приведенные ниже матрицы Р1 и Р2 определяют переходные вероятности при наличии рекламы и без нее в течение любого года. Соответствующие доходы заданы матрицами R1 и R2. Найдите оптимальные решения для последующих трех лет.

Р1= , R1= ,

Р2= , R2= .

Задача 2. Компания может провести рекламную акцию с помощью одного из трех средств массовой информации: радио, телевидения или газеты. Недельные затраты на рекламу с помощью этих средств оцениваются в 200, 900 и 300 долларов соответственно. Компания оценивает недельный объем сбыта своей продукции по трехбалльной шкале как удовлетворительный (1), хороший (2) и отличный (3). Ниже указаны переходные вероятности, соответствующие каждому из трех средств массовой информации.

Радио Телевидение Газета

1 2 3 1 2 3 1 2 3

Соответствующие недельные доходы (в тысячах долларов) равны:

Радио Телевидение Газета

400 520 600 1000 1300 1600 400 530 710

300 400 700 800 1000 1700 350 450 800

200 250 500 600 700 1100 250 400 650

Найдите оптимальную стратегию рекламы для последующих трех недель.

Задача 3. Фирма выпускает на рынок новый вид продукции. Если объем сбыта высокий, то с вероятностью 0.5 он останется таким же в следующем месяце. Если он невысокий, то вероятность того, что в следующем месяце он станет высоким, равна только 0.2. Фирма может провести рекламную кампанию. Если она примет это решение при высоком объеме сбыта, то вероятность того, что он останется высоким и в следующем месяце, возрастает до 0.8. При низком уровне реклама сбыта повыша­ет эту вероятность только до 0.4. Если при высоком уровне сбыта реклама не используется, то ожидаемый доход составит 10 при условии, что объем сбыта останется высоким в следующем меся­це, и 4 – в противном случае. Если первоначально наблюдается высокий уровень сбыта, то соответствующие доходы равны 7 и –2. При использовании рекламы до­ход равен 7, если первоначально уровень сбыта высокий, и становится равным 6, если уровень сбыта снижается. Если начальный уровень сбыта низкий, то доходы равны 3 и –5 в зависимости от того, повышается он или нет. Определите оптимальную стратегию фирмы для последующих трех месяцев.

Задача 4. Задача управления запасами. Магазин электротоваров в целях быстрого удовле­творения спроса покупателей на холодильники может размещать заказы в начале каждого месяца. Каждое размещение заказа приводит к постоянным затратам в 100 долларов. Затраты на хранение одного холодильника в течение месяца равны 5 долларов. Потери магазина при отсутствии холодильников оцениваются в 150 долларов за каждый холодильник в месяц. Месячный спрос на холодильники за­дается следующим распределением вероятностей.

Спрос х 0 1 2

Р(х) 0,2 0,5 0,3

Магазин реализует следующую стратегию: максимальный уровень запаса не должен превышать двух холодильников в течение любого месяца.

A) Определите переходные вероятности при различных альтернативах решения этой задачи.

B) Определите ожидаемые месячные затраты на хранение запаса как функцию состояния системы и альтернативных решений.

C) Определите оптимальную стратегию размещения заказов на последующие 3 месяца.

Задача 5. Выполните задания предыдущего упражнения, предполагая, что плотности вероятностей спроса на следующий квартал определяются следующим образом:

Месяц

Спрос, х 1 2 3

0 0.1 0.3 0.2

1 0.4 0.5 0.4

2 0.5 0.2 0.4

Задача 6. Рыночная цена подержанного автомобиля составляет 2000 долларов. Владелец полагает, что он может получить больше этой суммы, но при этом он намерен согласиться с ценой, предложенной первыми тремя потенциальными покупателями, которые откликнулись на его объявление (это означает, что он должен принять решение не позже момента получения третьего предложения). Предположим, что с равными вероятностями будут предложены цены 2000, 2200, 2400 и 2600 долларов. Естественно, что после принятия какой-либо из предложенных цен все последующие предложения теряют смысл. Задача продавца заключается в том, чтобы установить порого­вое значение цены, которым он будет пользоваться после получения первых трех предложений. В качестве такого значения можно выбрать 2000, 2200, 2400 и 2600 долларов. Найдите оптимальную стратегию владельца автомашины.

Задача 7. Планируется распределение начальной суммы Х₀ млн. р. между четырьмя предприятиями некоторого объединения. Средства выделяются только в размерах кратных a=80 млн.р. Функции прироста продукции от вложенных средств на каждом предприятии заданы таблично. Требуется так распределить вложения между предприятиями, чтобы общий прирост продукции (в млн. р.) был максимальным.

Х0	Вкладываемые средства Х	Функции прироста продукции на предприятии
f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)

Задача 8. Инвестор выделяет средства в размере 5 тыс. ден. ед., которые должны быть распределены между тремя предприятиями.

Требуется, используя принцип оптимальности Беллмана, построить план распределения инвестиций между предприятиями, обеспечивающий наибольшую общую прибыль, если каждое предприятие при инвестировании в него средств x тыс. ден. ед. приносит прибыль p_i(x) тыс. ден. ед. (i=1, 2 и 3) по следующим данным: