Статистичні індекси та завдання індексного методу аналізу. Види індексів

У статистиці під індексом розуміють специфічну відносну величину, яка характеризує зміну показника у часі та просторі.

З допомогою індексів вирішують такі завдання статистичного аналізу:

ü визначають середній процент зміни показника у часі в цілому по сукупності або окремій групі;

ü визначають середній процент зміни середнього значення показника;

ü здійснюють порівняння показника у просторі;

ü оцінюють вплив окремих факторів на зміну показника у часі або просторі.

Серед методів статистичного аналізу важливе значення займає індексний метод. Слово індекс (index) в перекладі з латини означає показник.

Індекси - це найбільш поширені статистичні показники. За допомогою індексів вивчають розвиток економіки, характеризують зміни різноманітних показників: обсягу продукції, цін, собівартості, чисельності працюючих, продуктивності праці, заробітної плати і т.д.

Індекси, перед усім - відносні показники. Разом з тим, якщо будь-який індекс - це відносна величина, то не всяка відносна величина є індексом.

Індексами називаються відносні величини, які характеризують відношення явищ у часі, у просторі, в порівнянні з плановим завданням.

Індекси можуть виражати зміну у часі і просторі як окремих одиничних простих показників (зміни обсягу виробництва чугуну, електроенергії та ін.), так і одноіменних показників по складним сукупностям (наприклад, зміна обсягу виробництва по промисловості в цілому).

Індекси, що відображають відношення простих одиничних показників, називаються індивідуальними.

Індекси, що характеризують зміну визначеного показника в цілому по будь-якій складній сукупності, називаються зведеними.

Обчислення загальних індексів, що дозволяють співвідносити між собою показники по складним сукупностям, складає особливий прийом дослідження, який називається індексним методом.

Індексний метод має свою термінологію і символіку. Для позначення індексованих величин користуються символікою:

q - кількість (обсяг) будь-якого продукту;

z - собівартість одиниці виробу;

р - ціна одиниці виробу;

t - затрати часу на одиницю виробу;

n - посівна площа;

y - врожайність окремих культур;

w - вироблення продукції за одиницю часу і т.і.

Щоб відрізнити, до якого періоду відносяться індексовані величини, біля символу знизу ставляться підстрочні знаки. Наприклад, якщо порівнюється продукція 1990 р. з продукцією 1980 р., то перша позначається через q₁, а друга - через q₀.

Виходячи з прийнятих позначень індексованих величин, легко записати для різних показників індивідуальні індекси, що позначаються через і. Так, індивідуальний індекс обсягу продукції буде виражений, як , індекс цін - , індекс собівартості - , індекс врожайності - і т.і.

В залежності від початкових даних та способу обчислення зведені індекси можуть бути агрегатними та середніми. Агрегатний індекс є основною формою індексу. Агрегатним він називається тому, що його чисельник та знаменник являють собою набір різнорідних елементів.

Найбільш типовим агрегатним індексом є індекс обсягу, або як його частіше називають, індекс фізичного обсягу.

Практично від періоду до періоду змінюються не тільки обсяг продукції, але й ціни. Тому для характеристики зміни фізичного обсягу продукції необхідно продукцію за обидва періоди розрахувати за одними й тими ж цінами, щоб усунути її вплив. При побудові агрегатного індексу фізичного обсягу в якості сумірника приймаються ціни базисного періоду (p₀).

Таким чином, формула агрегатного індексу фізичного обсягу має вигляд:

,

де - кількість продукції у звітному та базисному періодах;

р₀ - ціна базисного періоду.

абсолютний приріст складає:

Щоб визначити відносну зміну цін , обчислюють індекс цін за формулою:

Вагою у цьому індексі буде кількість виробленої продукції у звітному періоді. Цей індекс характеризує зміну цін на продукцію звітного періоду, а різниця між чисельником та знаменником відображає зміну вартості продукції внаслідок зміни цін за звітний період.

абсолютний приріст складає:

Індекс вартості продукції характеризує її зміну у звітному періоді в порівнянні з базисним за рахунок змінення q і p за формулою:

в абсолютному виразі:

Аналіз обчислених нами трьох індексів показує, що між ними існує взаємозв’язок:

Агрегатні індекси являються основною формою зведених індексів. Для їх обчислення необхідно два види показників: індексовані величини і вага. На практиці ці показники присутні не завжди. В таких випадках агрегатні індекси перетворюються в середні індекси: середній арифметичний або середній гармонійний. При цьому середній індекс має бути тотожним агрегатному індексу.

Наприклад, потрібно показати середній розмір зміни цін або собівартості визначеного набору продуктів - молока, м’яса, овочів и т.д. або середній розмір зміни заробітної плати робочих різних професій. Ці задачі можуть бути вирішені за допомогою побудови як агрегатних, так і середніх індексів.

Перетворимо агрегатний індекс фізичного обсягу в середньоарифметичний.

Формула індексу фізичного обсягу має вигляд:

Для перетворення використовуємо індивідуальний індекс індексованої величини , звідси . Замінивши у формулі агрегатного індексу фізичного обсягу продукції q₁ на i_qq₀, маємо формулу середньоарифметичного індексу фізичного обсягу:

Таким чином, вказаний індекс являє собою середню арифметичну з індивідуальних індексів, зважених по вартості продукції базисного періоду (q₀p₀).

В деяких випадках використовують середньогармонійний індекс фізичного обсягу:

середньогармонійний індекс фіз.обсягу: .

В тих випадках, коли немає даних про кількість виготовленої продукції, неможливо обчислити агрегатний індекс цін. Але якщо відомі індивідуальні індекси цін, а також дані про виробництво продукції у звітному періоді в цінах звітного періоду, можна обчислити середньогармонійний індекс цін.

Для перетворення агрегатного індексу цін в середньо-гармонійний використовуємо індивідуальний індекс

, звідси .

Змінивши у формулі агрегатного індекса цін | p₀ на рівну їй величину , маємо формулу середньогармонійного індексу цін: .

Середньогармонійний індекс цін використовується в статистиці торгівлі, де в звітності вказуються дані про суму товарообігу і відсутні дані кількісного обліку проданих товарів за окремими видами (q). Тому при обчисленні індексів роздрібних цін середній гармонійний індекс знаходить широке застосування.

Індекси широко використовуються для характеристики темпів зміни суспільних явищ в динаміці. Так, наприклад, щорічно визначаються показники зміни обсягу продукції як в цілому по країні, так і в розрізі регіонів.

Якщо порівнюються показники не за два періоди, а більше, наприклад за 4 роки, то при обчисленні індексів виникає питання про вибір бази порівняння.

При визначенні темпів росту і приросту дані кожного періоду порівнюються з даними попереднього йому періоду. Але часто виникає потреба у визначенні інтенсивності зміни даних декількох періодів в порівнянні з одним будь-яким періодом, взятим за базу (початковим).

В такому випадку можуть буть обчислені базисні і ланцюгові індекси.

Базисними називаються такі індекси, при обчисленні яких, дані усіх періодів порівнюються з одним періодом, узятим за базу (початковим періодом).

Ланцюговими називаються індекси, при обчисленні яких, дані кожного періоду порівнюються з даними попереднього йому періоду. В ланцюгових індексах база - змінна.

Базисні і ланцюгові індекси можуть бути індивідуальними й загальними. Індивідуальні базисні і ланцюгові індекси - це різновид базисних і ланцюгових відносних величин динаміки. Обчислення загальних базисних і ланцюгових індексів має свої особливості.

Розрізняють загальні (базисні і ланцюгові) індекси з постійною та змінною вагою.

При обчисленні індексів з постійною вагою в якості ваги для усього ряду приймаються сумірники будь-якого одного періоду. При обчисленні індексів із змінною вагою в якості ваги кожний раз приймається сумірник другого періоду (різних років).

За допомогою індексів також аналізують динаміку середніх показників: середньої заробітної плати, середнього рівня собівартості, середньої ціни певного продукту.

В загальному вигляді динаміку таких середніх показників можна виразити у вигляді співвідношення ( ).

Зміна середньої величини того або іншого показника залежить від:

а) зміни значення кожної окремої одиниці явища, що вивчається;

б) зміни структури явища.

Наприклад, ріст середньої врожайності різноманітних видів зернових культур залежить від підвищення врожайності кожної окремої культури та від збільшення питомої ваги в загальній площі врожайних культур.

Індекс, що характеризує сумісний вплив вказаних факторів (в якому змінюються обидві ці величини), називається індексом змінного складу.

,

де - осереднена ознака;

- вага (доля) вивчаємої ознаки.

Для різноманітних якісних показників індекси змінного складу можна записати у вигляді співвідношень:

І цін змінного складу=

І собівартості змінного складу=

І врожайності змінного складу= і т.д.

Таким чином, індекси змінного складу показують нам, як змінюються середні величини не тільки за рахунок зміни безпосередньо індексованого показника окремих об’єктів, але й за рахунок зміни питоми ваги цих частин в загальній сукупності (зміна складу).

Так, наприклад, середня собівартість 1т карбаміду, що випускається на різних підприємствах, залежить не тільки від рівня собівартості на окремих підприємствах, але й від кількості продукції, випускаємої різними підприємствами.

Індекс, що характеризує вплив тільки індексованої величини (змінюється тільки ця величина), називається індексом постійного складу.

І постійного складу =

Прикладами цих індексів є індекси фізичного обсягу, собівартості і т.і.

Щоб вивчити вплив зміни структури на зміни середньої величини, обчислюють індекс структурних зрушень.

І стр.зруш. =

Існує взаємозв’язок між цими індексами:

тобто І змін.сост = струк.зруш

Індексний метод дозволяє також доповнити аналіз динаміки важливих явищ абсолютними показниками.

Розрахунки, пов’язані з визначенням в абсолютному виразі зміни результативного показника за рахунок окремих факторів, називають розкладом абсолютного приросту по факторах. При даному способі розкладу абсолютного приросту ми виходимо із загального принципу побудови факторних індексів, при якому у випадку індексування якісних показників обсяговий показник фіксується на рівні звітного періоду, а якщо індексується обсяговий показник, то якісний показник фіксується на рівні базисного періоду.

Задачі

Задача 9.

У місті проживає 600 тис. жителів. За матеріалами обліку населення обстежено 60 тис. жителів методом вибіркового безповторного відбору. В результаті обстеження вибіркової сукупності виявлено, що в районі міста 20% жителів за віком більше 60 років. З ймовірністю 0,683 визначити межі в яких знаходиться частка жителів у віці більше 60 років.

Розв’язок:

Вибірка безповторна.

Середня похибка вибірки розраховується за формулою: , де W – частка ознаки у вибірковій сукупності;

(1-W) – частка альтернативної ознаки;

n – чисельність вибіркової сукупності;

N – чисельність генеральної сукупності.

W – частка жителів міста, вік яких більше 60 років, W= 20% або 0,2

(1-W) – частка жителів міста, вік яких менше 60 років; (1-W) = 1-0,2=0,8 або 80% жителів міста;

n=60 тис. чол.

N = 600 тис. чол.

Тоді, =0,05

Гранична похибка:

при ймовірності Р=0,683 t = 1 (значення табличне).

Межі, в яких знаходиться частка жителів у віці більше 60 років такі:

Висновок: частка жителів у віці більше 60 років у місті знаходиться в межах 15%÷25%.

Задача 22.

На основі даних про місячний рівень заробітної плати одного працівника підприємства:

320 348 349 327 325 397 348 347 346 325 315

314 384 388 395 347 387 393 315 315 357 384

388 395 347 387 393 315 357 398 393 328 343

353 393 393 383 393 383 383 393 348 349 325

Визначити:

§ Середній рівень місячної заробітної плати одного працівника за допомогою середньої арифметичної простої

§ Середній рівень місячної заробітної плати одного працівника за допомогою середньої арифметичної зваженої

Розв’язок:

Для проведення подальших розрахунків зведемо вихідні дані задачі в таблицю.

Місячна з/пл. одного прац-ка, варіанти хі

Частота, fі

Місячна з/пл. одного прац-ка, варіанти хі

Частота, fі

РАЗОМ Місячна з/плата одного працівника

РАЗОМ кількість працівників, які отримали з/плату

1. Середній рівень місячної заробітної плати одного працівника за допомогою середньої арифметичної простої.

грн.

2. Середній рівень місячної заробітної плати одного працівника за допомогою середньої арифметичної зваженої. ,

де - значення варіюючої ознаки (варіанти) - частота (кількість ознак).

грн.

Висновок:

Середня величина є узагальнюючою мірою ознаки, що варіює, у статистичній сукупності. Показник у формі середньої характеризує рівень ознаки в розрахунку на одиницю сукупності. Формально між середньою арифметичною простою і середньою арифметичною зваженою немає принципових відмінностей. Адже багаторазове (f раз) підсумовування значень однієї варіанти замінюється множенням варіант х на вагу f. Проте функціонально середня зважена більш навантажена, оскільки враховує поширеність, повторюваність кожної варіанти і певною мірою відображує склад сукупності. Отже, згідно умови задачі середнья арифметична проста і середнья арифметична зважена дають однакові результати і показують середній рівень заробітної плати для одного працівника, який становить 360,59грн.

Задача 30.

Відомі такі дані про продаж картоплі на трьох ринкаї міста.

Ринки	Продано, ц	Ціна за 1 кг. грн.
серпень	вересень	серпень	вересень
			0,85 0,90 1,20	0,70 0,80 0,95

Визначити загальні індекси цін фіксованого (постійного) скла­ду і змінного складу), індекс структурних зрушень. На основі об­числених індексів зробити висновки.

Розв’язок:

Аналіз динаміки середнього показника здійснюється на основі побудови системиспівзалежних індексів, до яких відноситься:

Þ Індекс змінного складу

Þ Індекс постійного (фіксованого складу)

Þ Індекс структурних зрушень

, де

- кількість проданої продукції в вересні

- кількість проданої продукції в серпні

- ціна за один кг. продукції в вересні

- ціна за один кг. продукції в серпні.

Розрахуємо середні ціни на картоплю в серпні та вересні:

грн.

грн.

Індекс змінного складу середньої ціни: або 85%

Отже, середня ціна на картоплюу вересні порівняно з серпнем за рахунок одночасного впливу двох факторів зміни ціни на кожному ринку і зміни структури реалізаціїї продукції знизилась на 15%.

Індекс постійного (фіксованого складу):

або 82,5%

Отже, середня ціна на картоплюу вересні порівняно з серпнем за рахунок зниження цін на кожному ринку міста і знизилась на 17,5%.

Індекс структурних зрушень:

Отже, зміна структури реалізації на ринках призвела до зростання середніх цін в звітному періоді порівняно з базисним на 2,3%.

ПЕРЕВІРКА: 0,85 = 0,825∙1,023

Задача 37.

За минулий рік у регіоні зареєстровано 120 дорожньо-транспортних пригоди: найбільша кількість у січні – 27, найменша в липні – 9. визначіть амплітуду сезонних коливань дорожніх пригод.

Розв’язок:

Показник, який узагальнює характеристику сезонних коливань є амплітуда коливань – різниця між максимальними і мінімальними значеннями коливань.

Амплітуда сезонних коливань дорожньо-транспортних пригод: .

1. Підхід, через розрахунки коефіцієнтів нерівномірності.

Найпростішою оцінкою систематичних коливань є коефіцієнти нерівномірності, які обчислюються відношенням максимального і мінімального рівнів динамічного ряду до середнього.

Середнє розраховується за допомогою середньої арифметичної простої:

Отже, в середньому за минулий рік у регіоні відбувалося по 10 дорожньо-транспортних пригод щомісяця.

Коефіцієнти нерівномірності такі:

K_max = 27 : 10 = 2,7;

K_min = 9 : 10 = 0,9.

Чим більша різниця між цими двома коефіцієнтами, тим більша нерівномірність процесу. Амплітуда сезонних коливань така:

[100 (2,7 – 0,9)] =180

2. Підхід способом обчислення постійної середньої.

Застосовують для рядів з невираженою основною тенденцією розвитку. Згідно з цим способом індекс сезонності визначають так: , тоді амплітуда сезонних коливань така: .

Отже, %, а

Висновок: Отже, амплітуда коливань у розмірі 1,8 або 180 пунктів [100 (2,7 – 0,9)] свідчить про щомісячну нерівномірність дорожньо-транспортних пригод, які відбувалися протягом року.

Кредитні ставки комерційних банків під короткострокові позики становили:

Кредитна ставка, %	Сума наданих позик, млн. грн.
І квартал	ІІ квартал
До 10 10-20 20-30 30 і більше
Разом

За кожний квартал визначіть середню кредитну ставку та середнє лінійне відхилення. Як змінилися середній рівень і варіація кредитної ставки?

Розв’язок:

Проведемо розрахунки і зведемо їх до таблиці:

І КВАРТАЛ:

Вихідні дані	Розрахункові дані
Кредитна ставка, %	Сума позик, (частота, fі)	Середина інтервалу, (варіанти хі)	( )	( )
<10				-20
10-20				-10
20-30
30 і >
Разом

Середнє значення (середню кредитну ставку банку) знаходимо за допомогою середньої арифметичної зваженої: %.

Середнє лінійне відхилення:

ІІ КВАРТАЛ:

Вихідні дані	Розрахункові дані
Кредитна ставка	Сума позик, (частота, fі)	Середина інтервалу, (варіанти хі)	( )	( )
<10				-15
10-20				-5
20-30
30 і >
Разом

Середнє значення (середню кредитну ставку банку) знаходимо за допомогою середньої арифметичної зваженої: %.

Середнє лінійне відхилення:

Висновки: В ІІ кварталі середня кредитна ставка банку знизилась на 5%.

Задача 40.

Із сукупності 2000 робітників методом випадкового безповторного відбору відібрано 200 робітників, у яких середній виробничий стаж виявився 8 років, а дисперсія стажу роботи – 30. Визначити можливі межі середнього виробничого стажу роботи для всіх робітників підприємства.

Розв’язок:

Для визначення меж розраховують вибіркову середню із прийнятою ймовірністю Р граничну похибку вибірки .

Вибірка випадкова безповторна, тоді середня вибіркова:

, де

- середній квадрат відхилень, = 30;

n – чисельність вибіркової сукупності, n = 200;

N – чисельність генеральної сукупності, N = 2000.

Гранична похибка вибірки , де

t – коефіцієнт довір’я, який залежить відймовірності, з якою гарантується значення граничної похибки вибірки. Оскільки в задачі не вказана ймовірність, то для подальшого розв’язку запишемо необхідні формули для визначення меж середнього виробничого стажу таким чином:

.

Визначення меж середньої величини (середнього виробничого стажу) генеральної сукупності розраховують за формулою:

, = 8%

Висновок:

Визначення меж середньої величини (середнього виробничого стажу) залишаємо без розрахунків у такій формі: , тому що в задачі не вказано з якою імовірністю (Р) обчислювати граничну похибку репрезентативності вибірки. t - коефіцієнт, що залежить від імовірності, з якою можна гарантувати певні розміри граничної помилки; коефіцієнт t називають коефіцієнтом довіри. Значення при різних t табульовані і наводяться в спеціальних таблицях, наприклад:

при t=1, Р = 0,683

t=2 Р = 0,954

t=3 Р = 0,997

t=4 Р = 0,999.

Знаючи імовірність Р (яка повинна була б бути вказана в задачі), можна відповідне табличне значення t підставити в нерівність і розрахувати межі середнього виробничого стажу.

Список літератури

1. Бек В.Л. Теорія статистики: Курс лекцій. Навч. посіб. – К.: ЦУЛ, 2002.

2. Громыко Г.Л. Теория статистики: Практикум – М.: ИНФРА-М, 2003.

3. Теорія статистики: Навч. посіб./ Вашків П.Г., Пастер П.І., Сторожук В.П., Ткач Є.І. – К.: Либідь, 2001.

4. Статистика: Збірник задач. / А.В. Головач, А.М. Єріна, О.В. Козирев та інш. – К.: Вища школа, 1994.

5. Статистика: Підручник / С. С. Герасименко, А. В. Головач, А. М. Єріна та ін.; За наук. ред. д-ра екон. наук С. С. Герасименка. - 2-ге вид., перероб. і доп. - К.: КНЕУ, 2000. - 467 с.

6. Общая теорія статистики / Елисеев И.И., Юзбашев М.М. – М.: Финансы и статистика, 1995.

7. Еріна А.М., Кальян З.о. Теорія статистики: Практикум. – К.: “Знання”, 1997.