Правила сложения и умножения вероятностей
Элементы теории вероятностей.
Математические модели финансовой математики носят вероятностный характер.
Теория вероятностей является разделом математики, в котором изучаются математические модели случайных экспериментов, исходы которых нельзя определить однозначно условиями проведения опыта. При этом предполагается, что сам эксперимент может быть повторен (хотя бы в принципе) любое число раз при неизменном комплексе условий, а исходы эксперимента обладают статистической устойчивостью.
Например, 1) при однократном подбрасывании монеты возможны следующие исходы (события): выпадение «герба» или «решки». В результате проведения опыта возникает лишь один исход, однако, до проведения опыта нельзя установить какой; 2) проводя контроль качества деталей, так же возможны два исхода: не бракованная или бракованная. Однако до проведения опыта опять же нельзя сказать, какой исход будет установлен для каждой детали; 3) предположим, нас интересует число вызовов, которое поступит за определенный промежуток времени на телефонную станцию. Как и в предыдущих примерах, интересующую величину до проведения эксперимента определить невозможно, хотя очевидно, что результатом будет целое неотрицательное число.
Примеров такого рода можно привести сколь угодно. Принято говорить, что возникающее в ходе эксперимента событие (исход) является случайным.
В чем состоит общность опытов со случайными исходами? Оказывается, несмотря на то, что результат каждого из перечисленных выше экспериментов предсказать невозможно, на практике уже давно была замечена закономерность: при проведении большого количества испытаний наблюденные частоты появления каждого случайного события (это отношение числа его появлений к общему числу испытаний) стабилизируются, то есть все меньше отличаются от некоторого числа, называемого вероятностью события. Так, при многократном бросании игральной кости «шестерка» выпадает в среднем в каждом шестом случае. Такое свойство устойчивости частоты позволяет, не имея возможности предсказать исход отдельного опыта, достаточно точно прогнозировать свойства явлений, связанных с рассматриваемым опытом. Поэтому методы теории вероятностей в современной жизни проникли во все сферы деятельности человека, причем не только в естественно-научные, экономические, но и гуманитарные (например, историю, лингвистику и т.д.).
Вероятность события.
Вероятностью появления события Аназывают отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.
Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов — N:
P(A)=M/N,
где М — целое неотрицательное число, 0 £ М £ N.
Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Например: если некоторая фирма в течение времени провела опрос 1 000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1 000 = 0,02. В этом примере 20 — это частота наступления события, а 20/1 000 = 0,02 — это относительная частота.
Относительной частотой событияназывается отношение числа испытаний т, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний п.
W(A) == т/п
где т — целое неотрицательное число, 0 £ т£ п.
Статистической вероятностью события Аназывается относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р*(А). Следовательно,
При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т. е.
Для определения вероятности выпадения 1 или 2 при подбрасывании кости нам необходимо только знать «модель игры», в данном случае — кость с 6 гранями. Мы можем определить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости, это априорная (доопытная) вероятность. Во втором примере мы можем определить вероятность только по результатам опыта, это — апостериорная (послеопытная) вероятность. То есть классическая вероятность — априорная, а статистическая — апостериорная.
Какой бы вид вероятности ни был выбран, для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.
Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.
1. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. P(W) =1.
Действительно, если событие А =W, то М = N, значит, Р(W) = N/N = 1.
2. Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, т. е. Р(Æ)= 0.
Если А = Æ, то оно не осуществится ни при одном испытании, т. е. М = 0 и Р(Æ) = 0/N = 0.
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1, т. е. 0£ Р(А) £1.
4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е. Р(А) + Р( ) = 1. В самом деле,
Р( ) = 1 - P(A), следовательно, Р(А)+Р(
)=1.
Например, если вероятность извлечения туза из колоды, состоящей из 52 карт, равна 4/52, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом, равна1 - 4/52=48/52
При нахождении вероятности классическим способом часто используются формулы комбинаторики.
Комбинаторика.
При решении задач, заключающихся в определении вероятности, наибольшую трудность представляет подсчет общего числа элементарных исходов, общих и благоприятствующих данному событию. В этом случае полезно обратиться к формулам и правилам комбинаторики.
Комбинаторика происходит от латинского слова «combinatio» — соединение.
Группы, составленные из каких-либо предметов (например, кубиков, букв, чисел и т.п.), называются соединениями (комбинациями, подмножествами, выборками). Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.
Одной из задач комбинаторики является составление различных комбинаций из элементов конечного множества и изучение способов пересчета таких комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям.
Условно комбинаторика делится на две части:
1) Пусть имеется n различных элементов а1, а2, …аn. Каждый из этих элементов в комбинацию может войти один раз. Это комбинаторика без повторений.
2) Дано n типов элементов: «мешок» элементов типа а1, типа а2, типа а3 и т.д. В каждую комбинацию может войти несколько элементов одного типа. Либо имеется n различных элементов а1, а2, …аn. При этом элемент после выбора снова возвращается в группу. Это комбинаторика с повторениями.
Важнейшими характеристиками комбинаций являются: 1) состав, входящих в них элементов; 2) порядок вхождения элементов в комбинацию.
Различают три типа соединений: размещения, перестановки, сочетания.
При решении задач на нахождение количества комбинаций необходимо:
1) определить тип элементов, входящих в комбинацию;
2) определить, что нас интересует в комбинации: состав элементов, порядок их вхождения в комбинацию или и то, и другое;
3) определить тип соединения и выбрать соответствующую формулу для расчета.
При решении задач на подсчет числа комбинаций в комбинаторике применяются два правила: правило сложения и правило умножения.
Правило сложения: Если элемент А1 может быть выбран n1 способом, элемент А2 – другими n2 способами, А3 – отличными от первых двух n3 способами и т.д., Ак –nk способами, отличными от первых (k-1), то выбор одного из элементов: или А1, или А2, или А3, … или Ак может быть осуществлен n1+n2+n3+…+Ак способами.
Правило произведения: Если элемент А1 может быть выбран n1 способами, после каждого такого выбора А2 может быть выбран n2 способами и т.д., после каждого (k-1) элемент Аk может быть выбран nk способами, то выбор элементов А1, А2,…, Ак в указанном порядке может быть осуществлен n1n2…nk способами.
Размещения.
Размещениями из n элементов по k в каждом называются такие комбинации, которые характеризуются и порядком и составом входящих в них элементов.
Обозначения и формулы вычисления.
- число размещений из n по k без повторений.
- число размещений из элементов n типов по k с повторениями.
Сочетания.
Сочетаниями из n элементов по k в каждом называются такие комбинации, которые характеризуются только составом входящих в них элементов.
Обозначения и формулы вычисления.
, где 0≤ k ≤ n- число сочетаний из n по k без повторений.
- число сочетаний из элементов n типов по k с повторениями.
Перестановки.
Перестановками из n элементов называются такие комбинации, которые характеризуются только порядком входящих в них элементов при фиксированном в них составе.
Обозначения и формулы вычисления.
Число перестановок из n элементов это то же самое, что число размещений из n элементов по n в каждом, поэтому
Pn = n·(n-1)·(n-2)…2·1= n! —число перестановок из n без повторений.
- число перестановок с повторениями из k1 элементов первого типа, k2 элементов второго типа, … kn элементов n типа.
Замечание.Между размещениями, сочетаниями и перестановками можно установить связь по следующей формуле
Геометрическое определение вероятности.
Пусть в результате испытания возможно бесконечное число исходов. При этом исходы несовместны и ни один из них не имеет преимущества перед другими. Для решения задачи о вероятности используется геометрическая интерпретация вероятности. В данном случае Ω представляет собой подмножество пространства R1(числовой прямой), R2(плоскости), Rn (n-мерного евклидова пространства). В пространстве R1 в качестве подмножеств будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, то есть подмножества, которые имеют длину, в пространстве R2 — площадь, в R3 — объем и т.д.
Под мерой μ(А) подмножества А будем понимать его длину, площадь или объем в зависимости от того, какому пространству принадлежит Ω. Будем считать, что пространство элементарных исходов Ω имеет конечную меру, а вероятность попадания «случайно брошенной» точки в любое подмножество Ω пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы.
Вероятностью события А в этом случае называется число Р(А), равное отношению меры множества А к мере множества Ω:
Геометрическое определение вероятности сохраняет свойства, рассмотренные в классической схеме.
Правила сложения и умножения вероятностей.