Тема5. Статистичні методи вивчення взаємозв’язків

При вивченні цієї теми насамперед потрібно добре засвоїти поняття про види і форми існуючих зв'язків між суспільно-економічнимиявищами. Студент повинен знати, що ознака, яка характеризує причину чи умову, є факторною -Х, а ознака, яка характеризує наслідок — результативною У.

Основною характеристикою кореляційного зв'яжу є лінія регресії,тобто функція, що зв'язує середні значення ознаки у зі значеннями ознаки х. У статистиці найпоширенішими методами вивчення кореляційних зв'язків є метод аналітичного групування та кореляційно-регресійний метод. Процес реалізації цих двох методів включає такі етапи: 1) теоретичне обгрунтування моделі; 2) оцінка лінії регресії; 3) вимірювання тісноти зв'язку між ознаками, що вивчаються; 4) перевірка істотності зв'язку.

Суть аналітичного групування полягає в тому, що одиниці сукуп­ності групують за факторною ознакою х, а потім для кожної виділеної групи підраховують число одиниць сукупності і обчислюють середнє значення результативної ознаки у. Якщо залежно від зміни значень фак­торної ознаки змінюються якимось чином і срередеі значення результа­тивної ознаки, то робиться висновок про наявність і напрям зв'язку між ними: зв'язок прямий — збільшення х приводить до збільшення у; зв'я­зок зворотній — зі збільшенням х зменшується у; відсутність будь-якої систематичності у зміні у зі зміною х свідчить про відсутність зв'язку між ними.

На першому етапі побудови аналітичного групування розв'язу­ються два питання: вибір факторної і результативної ознаки та визна­чення числа груп та їх меж. Слід пам'ятати, що типовість та сталість групових середніх залежить від числа одиниць сукупності у кожній групі.

На другому етапі проводиться оцінка лінії регресії — у кожній групі, виділеній за факторною ознакою, обчислюються середні значення

результативної ознаки.

Третій етап аналітичного групування, який полягає у вимірювати тісноти звязку між факторною і результативною ознаками, грунтується на правилі складання дисперсій: σ² = δ² + σ² , тобто загальна дисперсія σ²дорівнює сумі міжгрупової δ² -та середньої з групових дисперсій σ².

Загальна дисперсія, яка характеризує варіацію результативної оз­наки під впливом усіх причин чи умов, може бути обчислена за форму­лами

∑ (у_і - у)²

σ² = y² - (y)² або σ² =

n

Міжгрупова дисперсія, що характеризує варіацію результативної ознаки, повязану з варіацією групувальної ознаки, обчислюється за формулою

∑(у_і - у)²ƒ

δ² =

∑ƒ_і

де у_і,— групові середні результативної ознаки.

Середню з групових дисперсій, яка вимірює варіацію результативної ознаки, пов'язану з впливом усіх факторних ознак, крім покладеної в основу групування, можна обчислити за наступною формулою

∑σ²_і ƒ _і

σ² = σ² - δ² або σ² =

∑ƒ _і

де σ²_і - внугршньосгрупові дисперсії, які обчислюються за формулою

∑(у-у_і )²

σ²_і =

∑ƒі

де у_і, — індивідуальні значення результативної ознаки в і-ій групі.

Щоб виміряти тісноту звязку, слід обчислити співвідношенняміжгрупової дисперсії та загальної, тобто кореляційне відношення:

δ²

η² = ,

σ²

яке коливається в межах від 0 до 1 і характеризує частку варіації результативної ознаки, поясненої варіацією факторної ознаки.

На останньому етапі для перевірки істотності зв'язку слід викори­стати критичні значення η² або критичні значення F- критерією, які наведені в додатку.

Фактичні значення F -критерію обчислюють за формулами

η² k₂ δ² k₂

F = . F= .

1- η² k₁ σ² k₁

Де k_2, k_{1 –} число ступенів вільності;

k₁ = m-1, m – число груп;

k₂ = n- m, n – число одиниць сукупності.

Фактичні значення η² і F необхідно порівняти з критич­ними для рівнів істотності α= 0,05 або α= 0,01. Якщо фактичні значення η² і F- критерію перевищують відповідні критичні, то зв'язок між озна­ками визначається істотним. Якщо фактичні значення η² і F -критерію менше відповідних критичних, то висновок залишається невизначеним, а наявність або відсутність зв'язку - не доведеною.

В основі кореляційно-регресійного аналізу лежить припущення, що залежність між факторною і результативною ознаками може бути виражена функцією У=ƒ(х), яка називається рівнянням регресії.

За аналітичним виразом залежність може бути лінійною і нелінійною. Найбільш поширені такі рівняння регресії:

Y=a+bx – лінійне;

Y=ab^x - показникове;

Y=ax^b - степеневе;

Y=a+bx+cx² - параболічне;

b

Y=a+ - гіперболічне,

x

де У – теоретичні значення результативної ознаки, a, b, і c – параметри рівняння регресії, які називаються коефіціентами регресії.

На першому етапі кореляційно-регресійного аналізу обгрунтуванні моделі, як і в аналітичному групуванні, розв'язуються два пи­тання: вибір факторної і результативної ознаки та вибір виду рівняння регресії.

Правильний вибір ознак і виду рівняння регресії потребує теоретичного аналізу взаємозв'язку. Для підтвердження правильності вибору виду рівняння регресії часто застосовується графічне зображення зв'язку у вигляді кореляційного поля. При його побудові на осі абсцис треба відкласти значення факторної ознаки х, а на осі ординат — результативної ознаки у. Кожній одиниці сукупності на графіку відповідає окре­ма точка. 3а формою розміщення точок на кореляційному полі робиться висновок відносно виду регресійного рівняння. При великому обсязі су­купності доцільно на графіку зображати групові середні попередньо по­будованого аналітичного групування. Лінію групових середніх назива­ють емпіричною лінією регресії.

Для визначення виду рівняння регресії застосовується також спосіб перебору функцій, коли обчислюють рівняння регресії різних видів і з них на основі статистико-математичних критеріїв вибирають найкраще.

На етапі оцінки лінії регресії визначають параметри обраного рівняння методом найменших квадратів на основі побудови і розв'язу­вання відповідної системи нормальних рівнянь. Лінійній функції відповідної системи таких рівнянь з двома невідомими:

na +b ∑x = ∑y,

a∑ x+b∑x² =∑xy.

Особливу увагу слід звернути на інтерпретацію параметрів лінійного рівняння регресії а і Ь. Параметр b показує на скільки одиниць власного виміру змінюється середнє значення результативної ознаки зі збільшенням факторної ознаки на одиницю власного вимірювання. Па­раметр а — теоретичне значення У для х = 0, якщо 0 знаходиться в ме­жах фактичної варіації ознаки х. У противному разі параметр а не має реального змісту.

Тісноту лінійного зв'язку можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції r:

xy – x . y

r= ,

σ_{x ∙} σ_y

∑ ху

де ху = ;

n

х і у - середні значення факторної і результативної ознаки;

σ_xі σ_y— середні квадратичні відхилення відповідних ознак.

Цей показник коливається в межах під 1 до + 1 і характеризує не тільки тісноту, але і напрям зв'язку.

Мірою тісноти зв'язку як лінійного, так і нелінійного є коефіцієнт детермінації R² — співвідношення факторної дисперсії σ²_у і загальної σ²:

σ²_у ∑(У-у )²

R² = , де σ²_у = _.

σ² n

Коефіцієнт детермінації приймає значення від 0 до 1 і характеризує частку варіацій результативної ознаки, яка пов'язана з факторною оз­накою при відповідній формі зв'язку.

Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації є індекс кореляції R:

R=√ R²

Студет повинен знати, що при лінійній формі зв'язку абсолютна

величина лінійного коефіцієнта кореляції дорівнює індексу кореляції, тобто │r│= R.

Для якісної характеристики тісноти зв'язку використовуються такі характеристики :

Значення r і R	0,1—0,3	0,3—0,5	0,5 - 0,7	0,7- 0,9	0,9— 0,99
Оцінка тісно­ти зв'язку	слаба	помірна	помітна	значна	дуже значна

У кореляційно-регресійному аналізі істотність зв'язку перевіря­ється так само, як і в аналітичному групуванні з допомогою R² чи F- критерію, фактичне значення якого в даному випадку обчислюється за формулою

R² k₂

F= ∙

1- R² k₁

При визначенні числа ступенів вільності дійсні ті ж формули,що і в аналітичному групуванні, але m — число параметрів в регресійному рівнянні.

Запитання для самоперевірки

1. Викладіть методологічні засади вимірювання взаємозв'язку.

2. Які види зв'язку ви знаєте?

3. Який зв'язок має назву функціонального, у чому він проявляється?

4. Які особливості прояву має стохастичний та кореляційний зв'язок?

5. Які методи вивчення звязку і в чому їх суть і особливості?

6. Як побудувати аналітичне групування

7. Назвіть етапи вивчення кореляційного зв'язку методом аналітичного

групування.

8. Що лежить в основі оцінки тісноти зв'язку?

9. Яку варіацію характеризує загальна, міжгрупова та середня з групо-

вих дисперсій?

10. Як обчислити кореляційне відношення і що воно характеризує?

11.Що лежить в основі перевірки істотності зв'язку?

12. Викладіть методи визначення виду рівняння регресії.

13. Як побудувати кореляційне поле і емпіричну лінію регресії?

14. З якою метою і як визначається F -критерій?

15. Як визначите параметри регресійного рівняння?

16. Що характеризують параметри лінійного рівняння регресії?

17. Назвіть показники, які використовуються для оцінки тісноти зв'язку в регресійному аналізі та напишіть формули їх обчислення.

18. Який зміст мають коефіцієнт детермінації, індекс кореляції та лінійний коефіцієнт кореляції і в яких межах змінюються їх значення?

19. Вкажіть особливості перевірки істотності зв'язку за рівнянням рег­ресії.

Тема 6. Ряди динаміки

Процес розвитку соціально-економічних явищ у часі в статистиці прийнято називати динамікою. Для її вивчення складаються та аналізу­ються ряди динаміки.

Ряд динаміки — це впорядкований у часі ряд статистичних показників для вивчення процесу розвитку і зміни у часі соціально-економічних явищ. Ряд динаміки складається з періодів часу або хроно­логічних дат t і конкретних значень відповідних статистичних показ­ників, тобто рівнів y.

Для глибокого розуміння суті рядів динаміки їх класифікують за різними ознаками. Слід пам'ятати, що знання класифікації рядів динамі­ки сприяє не тільки засвоєнню їх суті, але й правильному їх використан­ні. Залежно від форми вираження статистичного показника рівнів рядів динаміки розрізняють ряди динаміки абсолютних, відносних і середніх величин. Залежно від суті соціально-економічних явищ і від того, чого стосуються їх рівні — моменту чи періоду часу, — розрізняють два ос­новних види рядів динаміки: моментні та інтервальні, особливості яких суттєво впливають на методи обчислення узагальнюючої характеристики — середнього рівня ряду динаміки у .

В інтервальному ряді динаміки абсолютних величин з однаковими періодами часу середній рівень визначається за формулою середньої арифметичної простої

∑y

Y= ,

n

де п — число рівнів ряду динаміки.

У моментному ряді динаміки абсолютних величин з рівними про­міжками часу між моментами середній рівень обчислюється за форму­лою середньої хронологічної

0,5 y_{1 +} y₂ + y₃ +…+ y_n-1 +0,5y_n

y=

n-1

За умови нерівних відрізків часу між моментами у моментному ряді ди­наміки або керівних періодів часу в інтегральному динаміки абсо­лютних величин середній рівен обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої

∑y _it_i

y= ,

∑t_i

де у_i— середній рівень для окремих відрізків або періодів часу;

t_{i -} тривалість відрізків часу.

У процесі аналізу ряду данаміки обчислюють абсолютні і відносні аналітичні показники, які дають змогу виявити і визначити характер, напрям та інтенсивність змін соціально-економічних явищ за окремі відривки часу і за весь досліджуваний період: абсолютний приріст, темпи зростання і приросту, абсолютне значення 1% приросту.

Обчислення абсолютного приросту, темпів зростання і приросту грунтується на зіставленні рівнів ряду динаміки. При цьому рівень, з яким роблять зіставлення, називається базисним. За базу зіставлення беруть або початковий рівень у₀, або попередній у_і-1. Якщо кожний рівень зіставляють з попереднім (база порівняння змінна), то такі по­казники називаються ланцюговими. Коли всі рівні ряду динаміки по­рівнюються з одним і тим самим рівнем (база порівняння стала), то от­римані показники називаються базисними.

Абсолютний приріст ∆ показує на скільки одиниць власного вимі­рювання підвищився або знизився рівень за певний проміжок часу, тоб­то характеризує абсолютну швидкість зміни рівнів ряду динаміки. Він обчислюється як різниця рівнів ряду динаміки

∆_л = у – у_і-1 - ланцюговий;

∆ _б=у₁-у₀ — базисний.

Сума послідовних ланцюгових абсолютних приростів дорівнює базисному за весь період тобто кінцевому базисному приросту

∑∆_л =у_n-у₀

Середній абсолютний приріст обчислюють за формулами

∑∆_л у_n-у₀

∆= або ∆=

n-1 n-1

Середній абсолютний приріст показує, на скільки в середньому за одиницю часу (у середньому щорічно, щомісячно і т.п.) у досліджуваний період змінювались рівні ряду динаміки.

Темп зростання k є відносною характеристикою інтенсивності зміни рівнів ряду динаміки, тобто він характеризує відносну швидкість їх зміни. Його обчислюють, зіставляючи два рівні ряду динаміки

y_i у_з

k_л= - ланцюговий; k_б = - базисний.

y_i-1 у₀

Обчислений таким чином темп зростання виражається у коефі­цієнтах і іноді називаеться коефіцієнтом зростання. Якщо співвідношення помножити на 100, то він буде виражений у відсотках. Вибір форми вираження показника відносної швидкості зміни рівнів ряду ди­наміки - коефіцієнтів зростання або темпів зростання - визначається зручністю і простотою його тлумачення. Наприклад, якщо коефіцієнт зростання не перевищує 2, його зручніше виразити у процентах, у виг­ляді темпу зростання. Якщо ж він досить великий, зручніше користува­тися коефіцієнтом зростання.

Між ланцюговими і базисними коефіцієнтами зростання існує певний зв'язок:

1. Добуток кількох послідовних ланцюгових коефіцієнтів зростан­ня дорівнює базисному коефіцієнту зростання:

y₁ y₂ y_n у_n

k_{л .} k_л2 ... k_л-1n . k_лn = . … = ∏k_л-1 =

y₀ y₁ y_n-1 у₀

2. Відношення наступного базисного коефіцієнта зростання до попереднього дорівнює відповідному ланцюговому коефіцієнту зрос­тання:

y_i y_i-1 y_i

y₀ :y₀ = y_i-1

Середній коефіцієнт зростання обчислюють за формулою середньої геометричної

^n-1 y_n

k= √k₁ * k₂ * k_{3*… *}k_n-1* k_n або k= ^n-1√

y_o

Середній коефіцієнт зростання показує, у скільки разів у середнь­ому за одиницю часу (у середньому щорічно, щомісячно і т.д.) за данний період змінювалися рівні ряди динаміки.

Для обчислення середнього коефіцієнта зростання різних за три­валістю відрізків часу застосовується середня геометрична зважена

k= ^{∑ t} √ k^t1 ₁ * k^t2 ₂ * k^t3 ₃ *… * k^ti _i * … * k^tn _n ,

де k ₁ , k ₂ , k₃ …k _{i …} k_n - коефіцієнти зростання за певний період ;

t1, t2, t3... tі,... tn - тривалість окремих періодів.

Середній темп зростання Т являє собою середній коефіцієнт зрос­тання, виражений у процентах, тобто

Т= k * 100% .

Темп приросту ТП обчислюють як відношення абсолютного при­росту до рівнів ряду динаміки, взятих за базу, і він може бути ланцюговим ТП_л і базисним ТП_б, тобто

∆_л ∆_б

ТП_л = _*100_, ТП_б = у₀ * 100

У_і-1

Темп приросту можна обчислити підніманням від темпів зростан­ня величини 100.

Середній темп приросту ТП обчислюєтся як різниця між середнім темпом зростання і величиною 100.

ТП=Т-100.

Середній темп приросту показує, на скільки процентів у середньо­му за одиницю часу змінювалися рівні часового ряду за весь досліджуваний період.

Для визначення середньорічних темпів зростання або зниження зручно користуватися спеціальними таблицями [6]. Для при­близних розрахунків середніх коєфіціентів зростання можна використа­ти формулу:

∑ y_i-y₀

k = .

∑ y_i-y_n

Абсолютне значення одного проценту приросту А% показує, що являє собою в абсолютному вираженні кожний процент приросту, який реальний зміст він має. Він обчислюється діленням абсолютного приро­сту на темп приросту за той самий період

∆_л y_{i -}y _i-1 y _i-1

А% = = = = 0,01 y _{i-1 ,}

ТП_л y_{i -}y _i-1 100

y _i-1 * 100

тобто абсолютне одного процента приросту дорівнює одному проценту величини попереднього рівня часового ряду.

Середнє значення одного процента приросту обчислюється ділен­ням середнього абсолютного приросту на середній темп приросту за той самий період.

Для порівняння інтенсивності змін у часі одного ряду динаміки з іншим, зокрема багатомірних рядів динаміки, що відображають динамі­ку або одного і того самого показника, що відносяться до різних об'єктів, територій або різних показників, що відносяться до одного і того самого об'єкта, території, застосовується коефіцієнт випередження Кв, який обчислюється як відношення базисних темпів зростання двох рядів динаміки за однакові відрізки часу, тобто

k₁

k = ,

k₂

де k₁ і k₂ - відповідно базисні темпи зростання першого і другого рядів

динаміки.

Якщо відрізки часу, що охоплюють два ряди динаміки, різні, то коєфіціент випередження обчислюється на основі середніх темпів зрос­тання так:

(k₁ )ⁿ

k_в = ,

(k₂ ) ⁿ

де п — тривалість осереднюваного періоду.

Коефіцієнт випередження показує, у скільки разів швидше зростає рівень одною ряду динаміки порівнянно з іншим.

Одним з найважливіших завдань обробки й аналізу рядів динамі­ки є виявлення тієї або іншої закономірності зміни їх рівній, тобто основної тенденції їх розвитку. Тенденція – це певний напрям розвитку, тривала еволюція, яка має характер росту, стабільності або зниження рівнів явища.

Для визначення основної тенденції розвитку в статистиці застосо­вують цілий ряд методів, таких як метод плинних середніх, метод аналі­тичного вирівнювання або метод найменших квадратів. Серед цих ме­тодів найбільш ефективним є метод аналітичного вирівнювання. Суть цього методу полягає в тому, що тенденція розвитку описується деякою математичною функцією від часу t, тобто Yt=ƒ(t).Ця функція нази­вається рівнянням тренду. Вона дозволяє здійснити заміну фактичних рівнів у ряду динаміки так званими вирівняними або теоретичним зна­ченнями У, тобто рівнями, обчисленими на основі даної функції. При застосуванні аналітичного вирівнювання найчастіше використовується лінійна функція Y=a+bt, де параметр а — рівень ряду динаміки при t=0; параметр bхарактеризує середню абсолютну швидкість зміни вирівняних рівнів часового ряду; t — порядковий номер періоду, або мо­менту часу.

Завдання полягає у тому, щоб у наведеному рівнянні знайти па­раметри a i b , які задовольняють основній вимозі методу найменших квадратів, згідно з якою сума квадратів відхилень фактичних значень рівнів ряду динаміки від теоретичних У має бути мінімальною

∑( y _i - y _i)² = min.

Знаходять ці параметри за допомогою складання і розвязування такої системи нормальних рівнянь:

na= b∑t = ∑y;

a∑t+b∑t² = ∑ty,

де п — кількість рівнів ряду динаміки.

Розв'язування цієї системи спрощується, якщо відлік значень t пе­ренести у середину ряду динаміки, що вивчаться. У цьому випадку ∑t=0, система рівнянь спрощується і параметри а і b обчислюються за формулами

∑y ∑ty

a = ; b = .

n ∑t²

Для визначення значень t , щоб отримати ∑t = 0, можна викори­стати такі формули:

n+1

t_i = k _i - 2 - при непарному числі членів ряду динаміки;

t_i = 2 k _i - (n+1) - при парному числі членів ряду динаміки;

де k _i - порядковий помер періоду, або моменту часу.

Для обчислення ∑t² можна використати такі формули:

(n-1)*n*(n+1) n*(n²-1)

∑t² = = - при непарному числі членів ряду динаміки;

12 12

(n-1)*n*(n+1) n*(n²-1)

∑t² = = - при парному числі членів ряду динаміки.

3 3

Студент повинен добре знати , що характеризують параметри лінійного рівняння тренд,. а також уміти визначати на його основі прогнозні значення рівнів ряду динаміки.

Типова задача №1

Приклад 1.

Число підприємств громадського харчування в Україні характеризується такими даними на кінець року, тис.

1990 1991 1992 1993 1994 1995

62,7 61,8 64,0 48,4 44,3 40,0

Наведений ряд динаміки – моментний, оскільки облік ведеться на певний момент часу.

Рівні моментного ряду динаміки не підсумковують, оскільки в кожному наступному вміщується величина попереднього.

Приклад 2.

Продаж мяса підприємствами торгівлі країни характеризується такими даними, тис. тонн.

1990 1991 1992 1993 1994 1995

2384 2012 1521 1153 813 513

Це періодичний ряд динаміки, тому що показує зміну обсягу реалізації м’яса за певний період часу (рік). Рівні періодичного ряду можна підсумовувати.

Кожний ряд динаміки можна охарактеризувати за допомогою таких показників: абсолютний приріст, коефіціент росту, темп росту, темп приросту, абсолютне значення одного процента приросту, середній рівень ряду динаміки, середній абсолютний приріст, середній темп росту та приросту.

Типова задача№2

роки	Т-об., млн.грн	Абсол. Приріст, млн.грн	Коеф. зростання Кр	Темп зростання, (Тр), %	Темп приросту (Тпр), %	Абсолютне значення 1 % приросту (А) млн.грн.	Середньорічні коеф. зростання	Середньорічні темпи, %
баз	лан	баз	лан	баз	лан	баз	лан	баз	лан	зростання	Приросту
		-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
				1,2	1,20					0,20	0,20	√1,2 = 1,200
				1,5	1,25					0,20	0,24	√1,5 = 1,225	122,5	22,5
				1,8	1,20					0,20	0,30	√1,8 = 1,317	131,7	31,7
				2,7	1,50					0,20	0,33	√2,7 = 1,282	128,2	28,2

Техніка обчислень

Абсолютний приріст, млн. грн

Базисний Ланцюговий

А=Уп-Уо А=Уп-Уп-1

1993р.=24-20=4 1993р.=24-20=4

1994р.=30-20=10 1994р.=30-24=6

Коефіціент зростання

Кр =Уп К = Уп

Уо Уп-1

1993 = 24 = 1,2 1993= 24 = 1,20

20 20

1994 = 30 = 1,5 1994= 30 = 1,25

20 24

Темп зростання,%

Тр = Уп 100 Тр = Уп 100

Уо Уп-1

1993 = 24 100=120 1993 = 24 100 = 120

20 20

1994 = 30 100 = 150 1994 = 30 100 = 125

20 24

Темп приросту, %

Тпр = Уп-Уо Тпр=Уп-Уп-1

Уо Уп-1

1993 = 24-20 100= 20 1993= 24-20 100 = 20

20 20

1994 = 30-20 100 = 50 1994 = 30-24 100 = 25

20 24

Абсолютне значення одного процента приросту , млн.грн.

А% = Уп-Уо А% = Уп-Уп-1

Тпр(баз) Тпр(ланц)

1993= 24-20 =0,2 млн.грн. 1993 = 24-20 = 0,2 млн.грн.

20 20

1994= 30-20 = 0,2 млн.грн. 1994 = 30-24 = 0,24 млн.грн.

50 25

Середній абсолютний приріст , млн.грн.

А= ∑А = 4+6+6+18 = 34 = 8.5 , або

n 4 4

А = Уп-Уо = 54-20 = 34 = 8,5 млн.грн.

n-1 5-1 4

Середній коефіціент зростання

К = ^n-1√Уп = ^5-1 √54 = ⁴ √2,7 = 1,282

Уо 20

К = ⁿ √ПК = ⁴ √1,2*1,25*1,2*1,5=⁴ √2,7 = 1,282

Висновок: У середньому за період з 1992р. По 1996 рік товарооборот щорічно збільшувався в 1,282 рази, склав 128%(темп росту), або збільшувався на 28,2 %(темп приросту).

Обчислення проводять з допомогою логарифмів, або так званих «Таблиць Айрапетова».

Запитання для самоперевірки

1.Що таке ряд динаміки?

2. Викладіть основні правила побудови рядів динаміки та умови, які забезпечують порівнянність іх рівнів.

3. Які є види рядів динаміки? Вкажіть їх особливості.

4. Як визначити середній рівень у рядах динаміки різних видів?

5. Напишіть формули обчислення аналітичних показників ряду динамі­ки та поясніть їх економічний зміст.

6. Які взаємозв'язки існують між ланцюговими та базисними показни­ками ряду динаміки?

7.Від чого залежить абсолютне значення 1% приросту?

8. Як визначаються й аналізуються середній абсолютній приріст і середній темп приросту?

9. Якою метою застосовується і як визначається коефіцієнт випереджен­ня? 10. Вкажіть методи виявлення тенденції розвитку.

11. Викладіть суть методу плинної середньої.

12. У чому полягає суть методу аналітичного вирівнювання?

13. Викладіть методи вибору типу рівняння тренду.

14. Як обчислюються параметри лінійного тренду і що вони характери­зують?

15.Як здійснити розрахунок прогнозних значень рівнів ряду динаміки на основі рівняння тренду?

Тема 7. Індекси

Серед узагальнюючих статистичних показників одне з важливіших місць належить індексам. Широке застосування індексів у соціально-економічних дослідженнях і статистичній й економічній роботі потребує від студентів правильного розуміння суті поняття "індекс", меж його зас­тосування, видів індексів і завдань, які вирішуються за допомогою індексів.

Індекс — це відносний показник, який характеризує зміну будь-якого суспільно-економічного явища у часі, співвідношення у просторі чи порівняно з нормою, замовленням, планом, стандартом.

Залежно від бази порівняння розрізняють такі види індексів: пла­нові, дінаміки та територіальні, а залежно від суті статистичних показників – індекси обємних (екстентивних) і якісних (інтенсивних) показників. За ступенем охоплення елементів сукупності необхідно розрізняти індивідуальні (і) та загальні, або зведені індекси (І), а за формою побудови – агрегатні, середньозважені та індекси середніх величин.

Для обчислення індексів динаміки, що характеризують зміну явищ у часі, потрібно порівняти рівні явища, що вивчається, за два періоди. Період, з яким порівнюють, називають базисним, а період, який по­рівнюють, — звітним, або поточним. Індекс обчислюють як відношення величини абсолютного показника у звітному періоді до його величини у базисному періоді і визначають у коефіцієнтах і процентах. Показник, зміну якого характеризує індекс, називається індексованим показником, або індексованою величиною. При побудові індексів базисний рівень по­казника позначається цифрою 0, звітний рівень — цифрою 1, а позна­чення індивідуального і загального індекса супроводжується підстроковим умовним позначенням індексованої величини.

Індивідуальний індекс характеризує зміну в динаміці величин ок­ремого явища. Якщо рівні будь-якого інтенсивного показника позначи­ти в базисному і звітному періодах відповідно через х₀ і х₁ ,аекстенсив­ного показника відповідно — через ω ₀ і ω₁, то в загальному вигляді індивідуальні індекси цих показників можно записати так:

х₁ ω₁

і_х = х_{0 ;} і_ω = ω ₀ ;

При вивченні індивідуальних індексів слід звернути особливу ува­гу на взаємозв'язок ланцюгових і базисних індексів, а також на взаємо­зв'язок індексів складного показника, який являє собою добуток пов'я­заних між собою двох або кількох показників.

Індивідуальні індекси окремих економічних показників визнача­ться так:

фізичного обсягу виробництва продукції (проданого товару) в натуральному вираженні:

Q₁

і_Q = Q₀

де Q_{0 і} Q_{1 –} кількість виробленої або реалізованої продукції певного виду в натуральному вираженні відповідно в базис­ному і звітному періодах;

ціни:

P₁

i_p =

P₀

Де P₁ і P₀ - ціна одиниці продукції чи товару відповідно в базисному і звітному періодах;

собівартості одиниці продукції:

z₁

i_z =

z₀

де z₀ і z₁, — собівартість одиниці продукції відповідно в базисному і звітному періодах;

трудомісткості (затрат робочого часу на виробництво одиниці продукції певного виду):

t₁

i_t = t₀

де t₀ і t_{1 –} трудомісткість одиниці продукції певного виду відповідно в базисному і звітному періодах;

вартості окремого виду продукції або товарообороту конкретного виду товару:

p₁ Q₁

i _pQ = ;

p₀ Q₀

витрат на виробництво певного виду продукції:

z₁ Q₁

i _zQ= ;

z₀ Q₀

затрат робочого часу на виробництво певного виду продукції:

t₁ Q₁

i _tQ= ;

t₀ Q₀

Загальний індекс — це співвідношення рівнів показника складного явища, до якого входять різнорідні, безпосередньо несумірні елементи. Такими елементамн можіть бути, наприклад, різні товари, що реалізу­ються, окремі види продукції, що виробляються в різних галузях народ­ного господарства, і т.д. Обсяги різних, видів продукції чи товарів не підлягають порівнянню і безпосередньо їх не можна підсумувати. Для того щоб привести різні види товарів чи продукції до порівняного виду, слід обсяг кожного виду продукції чи товару в натуральному вираженні перемножити на відповідний сумірник (ціну, собівартість, трудоміст­кість). При множенні об'ємного показники на якісний показник-сумірник кожному окремому елементу надається певна вага, яка відоб­ражає його значення у щойно утвореному показнику. Утворені таким чином показники, що являють собою добутки, в яких хоча і з'єднані різнорідні елементи (агрегати), можна підсумувати, а отже, і порівняти у цілому за всією сукупністю за різні періоди часу, тобто отримати за­гальний індекс. Такі індекси називаються агрегатними.

Агрегатні індекси є основною формою побудови загальних індексів, оскільки вони виконуютьдві основні функції індексного мето­ду: синтетичну,яка полягає в тому, що в одному індексі узагальнюються (синтезуються)безпосередньо несумірні елементи; аналітичну,яка полягає в тому, що агрегатні індекси дозволяють кількісно визначити вплив окремих факторів, які визначають рівень і динаміку складного явища, що вивчається.

Агрегатним індексом називається загальний індекс, який є відно­шенням двох сум, кожна з яких є добутком індексованої величини на відповідний сумірник (вагу). Суми, що порівнюються в агрегатному індексі, відрізняються тільки індексованими величинами, а сумірники (ваги) фіксуються на рівні одного якогось періоду, тобто вони залишаються незмінними на двох порівнюваних періодах. У статистичній практиці прийнято фіксувати сумірники, які є якісними показниками, на рівні базисного періоду, а ваги, які є кількісними показниками, — на рівні поточного. При побудові агрегатного індексу необхідно залежно від того пізнавального завдання, яке ставиться перед даним індексом, тобто його економічного змісту, вміти правильно визначити індексова­ну величину та сумірник (вагу) і розуміти роль кожної з них. У формулі агрегатного індексу індексовану величину звичайно пишуть на першому місці після знака ∑, а сумірника (ваги) — на другому.

У загальному вигляді агрегатні індекси якісних і кількісних показників можна записати так:

∑ х₁ ω₁ ∑ ω₁ х₀ ∑ х₁ ω₁

I_x = ∑ х₀ ω₁ I_ω= ∑ ω₀ х₀ I _хω = ∑х₀ ω₀

де I_x і I_ω — загальний індекс відповідно якісного і кількісного показників; I _хω — загальний індекс, який характеризує зміну складного явищаза рахунок обох факторів.

Між ними індексами існує тякий взаємозв'язок:I _хω = I_x * I_ω

Методика обчислення агрегатних індексів окремих економічних показників наведена в таблиці

Елементи індексів	Індекс фізичного обсягу продукції (товарообороту)	Індекс цін	Індекс собівартості	Індекс рудомісткості	Індекс продуктивності праці	Індекс врожайності
Індексована величина
Звітного періоду	Q1	p1	z1	t1	w1	y1
Базисного періоду	Q0	p0	z0	t0	w0	y0
Сумірник (вага) анрегатного індексу	p0	Q1	Q1	Q1	T1	П1
Чисельник агрегатного індексу	∑ Q1 p0	∑ p1 Q1	∑ z1 Q1	∑ t1 Q1	∑ w1 T1	∑ y1 П1
Знаменник агрегатного індексу	∑ Q0 p0	∑ p0 Q1	∑ z0 Q1	∑ t0 Q1	∑ w0 T1	∑ y0 П1
Агрегатний індекс (І)	∑ Q1 p0 ІQ = -------- ∑ Q0 p0	∑ p1 Q1 Іp = ------ ∑ p0 Q1	∑ z1 Q1 Іz = ------ ∑ z0 Q1	∑ t1 Q1 Іt = ------- ∑ t0 Q1	∑ w1 T1 Іw= ---- ∑ w0 T1	∑ y1 П1 Іy=------- ∑ y0 П1

Потрібно зазначити, що суттєвою особливістю агрегатних індексів є те, що вони дозволяють визначити не тільки відносну зміну рівня складного явища, але й абсолютну його зміну як у цілому, так і за рахунок окремих факторів, що визначають його рівень і динаміку. Якщо відносна зміна визначається обчисленням відповідних індексів, то абсо­лютна зміна обчислюється як різниця між чисельником і знаменником відповідних індексів. Загальна абсолютна зміна рівня явища, що вив­чається, визначається за формулою

∆ _хω = х₁ ω₁ - х₀ ω₀ ,

а за рахунок окремих факторів - співмножників — таким чином:

∆ _х = х₁ ω₁ - х₀ ω₁ = ω₁ (х₁ – х₀) ,

∆ _ω = ω₁ х₀ - ω₀ х₀ = х₀ (ω₁ - ω₀),

Зауважимо , що ∆ _хω = ∆ _х + ∆ _{ω .}

Агрегатна форма індексів перетворюється в інші тотожні її фор­ми— середньозважені індекси: арифметичний і гармонійний. Слід усві­домити поняття середньозваженого індексу, зрозуміти., яким чином він виводиться з агрегатного індексу і за яких умов застосовується.

У загальному вигляді середньозважений індекс кількісного показ­ника обчислюється за формулою середньоарифметичного індексу

∑ і _ω х₀ ω₀

І _ω = --------------

∑ х₀ ω₀

де і _ω - індивідуальний індекс кількісного показника; х₀ ω₀ – ваги.

Середньозважений індекс якісного показника обчислюється за формулою середньогармонічного індексу

∑ х₁ ω₁

І _х = ----------

∑ ^{х1 ω1}

і _х

де і_х — індивідуальний індекс якісного показника; х₁ ω₁— ваги.

При розгляді взаємозв'язків індексів потрібно, по-перше, зрозумі­ти, що взаємозв'язок індексів відображає взаємозв'язок певних економі­чних явищ , і по-друге, добре засвоїти його роль і значення для прове­дення факторного індексного аналізу.

При вивченні індексів середніх величин слід добре усвідомити, що вони обчислюються тільки для однорідних явищ з метою аналізу динам­іки середнього рівня якісного показника, зокрема ціни, собівартості, продуктивності праці тощо.

Аналіз динаміки середнього рівня якісного показника здійсніюється на основі системи взаємозв'язаних індексів, яка включає в себе індекс змінного складу, індекс фіксованого складу і індекс структурних зру­шень. Потрібно добре знати суть і значення кожного з індексів середніх величин, методику їх обчислення та їх взаємозв'язок.

Індекс змінного складу обчислюється як відношення середньої арифметичної зваженої звітного періоду до середньої арифметичної зва­женої базисного періоду

∑ х₁ƒ₁ ∑ х₀ƒ₀ ∑ х₁ω₁

І _х = ---------- : ---------- = --------- ,

∑ ƒ₁ ∑ ƒ₀ ∑ х₀ω₀

де х_о і х₁— рівні осереднюваного показника відповідно в базисному і звітному періодах; ƒ₀ і ƒ₁ — частоти осереднюваного показника відповід­но в базисному і звітному періодах; ω₁ і ω₀ — частки осереднюваного показника відповідно в базисному і звітному періодах.

Нагадаємо, що

ƒ₁

ω₁ = ------- і ∑ ω₁ = 1 або 100 %.

∑ ƒ₁

Величина індексу змінного складу залежить від зміни як самого осереднюваного показника, так і співвідношення частот, тобто структу­ри сукупності.

Вплив першого фактора дозволяє визначити індекс фіксованого

складу

∑ х₁ƒ₁ ∑ х₀ƒ₁ ∑ х₁ƒ₁ ∑ х₁ω₁

І _х = ---------- _: ----------- = --------- = -------- .

∑ ƒ₁ ∑ ƒ₁ ∑ х₀ƒ₁ ∑ х₀ω₁

Вплив другого фактора дозволяє отримати індекс структурних зрушень

∑ х₀ƒ₁ ∑ х₀ƒ₀ ∑ х₀ω₁

І _ω = ---------- _: ----------- = -------- .

∑ ƒ₁ ∑ ƒ₀ ∑ х₀ω₀

Між наведеними індексами існує такий взаємозв'язок: І _х =І _х * І _{ω .}

Узагальнені формули індексів середніх величин конкретизуються для будь-якого якісного показника. Наприклад, система індексів для вивчення динаміки середньої ціни виглядає так:

P₁ ∑p₁ Q₁ ∑p₀ Q₀

І _p = ----- = ---------- : ----------- - індекс середньої ціни змінного складу

P₀ ∑Q₁ ∑Q₀

∑p₁ Q₁ ∑p₀ Q₁ ∑p₁ Q₁

І _p = ---------- : ---------- = ----------- - індекс середньої ціни фіксованого складу

∑Q₁ ∑Q₁ ∑p₀ Q₁

∑p₀ Q₁ ∑p₀ Q₀

І _ω = ------- : -------- - індекс структурних зрушень.

∑Q₁ ∑Q₀

Їх взаємозвязок такий : І _p = І _p * І _ω.

Економічний зміст аналізу

Індекс товарообороту показує:

1. У скільки разів товарообіг звітного

періоду збільшився у порівнянні із базисним.

2. Різниця між чисельником і знаменником I Qp= ∑p₁Q₁

/∑Q₁p₁ - ∑p₀Q₀/індексу показує абсолютну ∑p₀Q₀

величину приросту товарообігу за

досліджуваний період.

Індекс фізичного обсягу товарообороту показує:

1. У скільки разів товарообігу

звітного періоду збільшився у

порівнянні із базисним за рахунок зміни

маси (кількості) проданих товарів.

2. Різниця між чисельником та

знаменником індексу /∑Q₁p₀ - ∑p₀Q₀/ I Q= ∑p₀Q₁

показує абсолютну величину ∑p₀Q₀

приросту товарообороту за

рахунок зміни маси(кількості) проданих

товарів за досліджуваний період.

Індекс цін показує:

1. У скільки разів товарообігу

звітного періоду збільшився у I p = ∑p₀Q₁

порівнянні із базисним за рахунок ∑p₀Q₁

зміни цін на товари.

2. Різниця між чисельником і

знаменником індексу /∑Q₁p₁ - ∑p₀Q₁/ показує

абсолютну величину приросту товарообороту за

досліджуваний період.

Різниця між чисельником та знаменником

індексу /∑Q₁p₁ - ∑p₀Q₁/ показує суму економії (мінусова величина), або перевитрат (плюсова величина) населення на придбання товарів за рахунок зміни цін у досліджуваному періоді.

Типова задача

Із нижченаведених даних про кількість та ціну реалізованої продукції обчислимо вищенаведенІ індекси і зробимо відповідні висновки.

Таблиця

Продукти	Баз. період	Звіт. період	Індивідуальні індекси	Товарообіг відповідного періоду, грн.
к-сть кг	ціна грн.	к-сть кг	ціна грн.	обсягу	цін	баз	звіт	Умови ий
Символи	Q0	p0	Q1	P1	i= Q1:Q0	i=p1: p0	Q0p0	Q1p1	Q1p0
Молоко		0,35		0,30	1,428	0,857
Сметана		3,00		2,80	1,250	0,933
	X	X	X	X	X	X

Загальний індекс товарообігу в поточних цінах

I Qp= ∑p₁Q₁ = 1000*0,30+500*2,80 = 1700 = 1,176, або 117,6 %

∑p₀Q₀ 700*0,35+400*3,00 1445

Висновок: 1. товарооборот звітного періоду у порівнянні із базисним збільшився у 1,176 раза, досяг 117,6 %, або збільшився на 17,6 %.

2. Товарооборот звітного періоду у порівнянні із базисним збільшився на 255 грн.

(∑p₁Q₁ - ∑p₀Q₀ ) = 1700-1445=255).

Для того, щоб визначити, як вплинула на це зміна кількості реалізованої продукції у звітному періоді і порівнянні з базисним обчислимо Індекс фізичного обсягу товарообігу

I Q= ∑p₀Q₁ = 1000*0,35+500*3,0 = 1850 = 1,28, або 128 %

∑p₀Q₀ 700*0,35+400*3,00 1445

Висновок: 1. Товарообіг звітного періоду у порівнянні із базисним за рахунок зростання маси проданих товарів збільшився у 1 ,28 раза, досяг 128 %, або зріс на 28%.

2. Товарооборот звітного періоду у порівнянні із базисним на 405 грн. (∑p₀Q₁- ∑p₀Q₀= 1850-1445 = 405 грн.)

Для визначення впливу цін на загальну величину відхилення обчислимо індекс цін :

Ip= ∑p₀Q₁ = 1000*0.30+500*2.80 = 1700 = 0.919 або 91,9 %

∑p₀Q₁ 1000*0.35+500*0.30 1850

Висновок:

1. Товарообіг звітного періоду у порівнянні із базисним за рахунок зниження цін збільшився у 0,919 раза, досяг 31,9 % тобто зменшився на (100-91,9) = 8,1 %

2. Товарооборот звітного періоду у порівнянні із базисним за рахунок

зниження цін зменшився на 150 грн.

(∑p₁Q_{1 -} ∑p₀Q₁ =1700-1850= - 150 грн.)

3. За рахунок зниження цін населення зекономило 150 гривень на придбанні молочних товарів (∑p₁Q_{1 -} ∑p₀Q₁ ⁼ 1700-1850= -150грн.)

Загальний висновок: Обсяг това