Елементи теорії розмірностей і подібності

Коли не вдається поставити математичну задачу (скласти систему диференціальних рівнянь), то критерії складають на основі аналізу розмірностей з фізичних величин, які мають відповідну розмірність, що виражена з допомогою основних одиниць вимірювання. Сукупність основних одиниць вимірювання називають системою одиниць вимірювання. Основні одиниці міжнародної (інтернаціональної) системи (СІ або SI) одиниць вимірювання – метр (довжина – L), кілограм (маса – M), секунда (час – T), градус Кельвіна (температура – q), ампер (сила струму – I), свіча (сила світла – J). Похідні одиниці утворюються з основних (наприклад, одиниця виміру швидкості – метр за секунду, м/с; LT ^–1).

Розмірність – символічне (буквенне) позначення відповідної величини, яке відображає її зв’язок з основними величинами системи і є добутком цих величин. Розмірність величини x прийнято позначати [y]. Наприклад, розмірність густини складає , динамічного коефіцієнта в’язкості – , коефіцієнта проникності – . У загальному випадку розмірність якоїсь фізичної величини B виражають так: де , , , , ,  – постійні. Розмірністю фізичної величини називають функцію, яка визначає в скільки разів змінюється числова значина цієї величини при переході від початкової системи одиниць вимірювання до довільної системи даного класу. Класом систем одиниць вимірювання називається сукупність систем одиниць вимірювання, які відрізняються тільки величиною основних одиниць вимірювання, але не відрізняються своєю природою. Клас системи СІ можна позначити LMT. У різних класах систем одиниць вимірювання розмірність одної і тої ж величини різна, а в межах класу змінюються числові значини величин.

Всі величини, якими ми оперуємо при виведенні тих чи інших фундаментальних законів умовно поділяються на розмірні і безрозмірні.

Величини, чисельне значення яких не залежить від вибору систем одиниць вимірювання називаються безрозмірними (коефіцієнт пористості, Re)

Якщо чисельне значення величини строго залежить від вибору систем одиниці вимірювання, то така величина називається розмірною.

Основними величинами називаються ті, які покладені в основу певної системи одиниць вимірювання.

Похідними величинами називають ті,чисельне значення яких виражається через основі.

В основу універсальної міжнародної системи вимірювань покладено такі величини:

Довжина [L] – м;

Маса [M] – кг;

Час [t] – с;

Температура [T] – К;

Кількість речовини [N] – моль;

Сила струму [I] – А;

Сила світла [j] - кд(кандела).

Вирази для похідних величин з використанням теорії розмірносте матимуть вигляд:

Швидкість [ϑ]= ; (13)

Прискорення [a]= ; (14)

Густина [ ]= ; (15)

Тиск [P]= . (16)

Формулою розмірностей називають аналітичний вираз, котрий показує яким чином можна одержати значення похідних величин через основні.

Будь – яке фізичне співвідношення між фізичними величинами може бути сформульоване як співвідношення між безрозмірними величинами. Це нам доводить основна теорема теорії розмірностей – теорема.

Згідно теореми зв'язок між n+1 розмірними величинами виду серед яких рівно К – незалежні за розмірністю, незалежно від вибору системи одиниць вимірювання приймає вигляд співвідношення між n+1-K безрозмірними величинами виду .

Незалежними за розмірністю називають обмежену групу величин, розмірність кожної з яких за формулою розмірностей не може бути представлена через розмірність інших величин цієї групи. Решта величин розмірність яких виражена через розмірність інших величин цієї групи називаються залежними за розмірністю.

а=f( ). (17)

Введемо безрозмірний критерій .

Нехай - незалежні за розмірністю. Згідно основної теореми розмірностей отримаємо повну функціональну залежність.

= F(1,1,…1,). (18)

В результаті отримаємо:

, (19)

де – коефіцієнти , які дають можливість досягнути безрозмірності.

Розглянемо основну теорему теорій розмірності на наступних прикладах.

Приклад 1

P=f(p,c,T)

[P]=

[ρ]=

[T]=К

[C]=

;

;

;

;

; (11)

;

;

PV= ;

PV= ; (12)

Зв’язавши формули (11) і (12) ми отримаємо фізичний зміст формули Менделєєва-Клапейрона – теплоємність ідеального газу.

Приклад 2

Виведемо через розмірності основних величин формулу Дарсі:

V=f(k, µ, grad P)

[k]=м²;

[µ]= ;

[grad P]=;

;

;

;

.