Проверка гипотезы о показательном распределении

Пусть исследуемое предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов μ, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры:

Время обслуживания заявок имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение .

Пусть были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим замерам закон распределения времени обработки заявок.

Таблица 61. – Группировка заявок по времени обработки

Количество заявок
Время обработки, мин	0–5	5–10	10–15	15–20	20–25	25–30	30–35	35–40

Выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, каждый i – й интервал заменяем его серединой и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2) Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

(296)

3) Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:

(297)

4) Вычислить теоретические частоты:

, (298)

где - объем выборки

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где S – число интервалов первоначальной выборки.

Таблица 62. – Группировка заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом

Количество заявок
Время обработки, мин	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5

Найдем выборочную среднюю:

2) Примем в качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину, равную . Тогда:

( ) (299)

3) Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

(300)

Для первого интервала:

(301)

Для второго интервала:

(302)

Для третьего интервала:

(303)

Для четвертого интервала:

(304)

Для пятого интервала:

(305)

Для шестого интервала:

(306)

Для седьмого интервала:

(307)

Для восьмого интервала:

(308)

4) Вычислим теоретические частоты:

(309)

Результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого вычислим разности , их квадраты, затем отношения . Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения при уровне значимости и числу степеней свободы находим критическую точку

Таблица 63. – Результаты вычислений

i
		0,285	34,77	-12,77	163,073	4,690
		0,204	24,888	0,112	0,013	0,001
		0,146	17,812	5,188	26,915	1,511
		0,104	12,688	3,312	10,969	0,865
		0,075	9,15	4,85	23,523	2,571
		0,053	6,466	3,534	12,489	1,932
		0,038	4,636	3,364	11,316	2,441
		0,027	3,294	0,706	0,498	0,151

Т.к. , то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

Задание 9.