Выявление тенденций и закономерностей потребления графическим методом

При наличии вариационных рядов по размеру среднедушевого потребления рассчитываются соответствующие характеристики: средние, дисперсии, коэффициенты вариации, асимметрии, эксцесса и др. производится выравнивание по соответствующему закону, что позволяет выявить характер распределения потребления, производить сравнения, агрегировать отдельные товары и услуги в группы. При достаточно большой вариации требуется выделение типических групп. Такая группировка позволяет определить групповые и межгрупповые дисперсии, сравнивать показатели по отдельным группам. Составление графиков дает зрительное представление о характере и свойствах распределения потребления в исследуемой совокупности.

Графический метод плодотворен для выявления тенденций и закономерностей потребления в сочетании с известными характеристиками в динамических рядах (темпами роста, прироста и др.). аналитическое выравнивание рядов по различным функциям дает картину развития процесса потребления, а экстраполяция динамики потребления (при известной осторожности в оценках) позволяет прогнозировать его. Выбор конкретной формы тренда определяется потребляемыми товарами и услугами. По тем товарам и услугам, по которым потребление и доходы изменяются год от года примерно одинаково, применяется линейная функция

y_t = a₀ + a₁ t.

если потребление товаров и услуг в силу насыщения потребности в них все более отстает от изменения доходов, то выбирается степенная функция

y_t = a₀ t ^a1

При обратном соотношении (по мере доходов потребление товаров возрастает все более быстрыми темпами) предпочтительна параболическая функция

y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t ² + … + a_n t ⁿ

В изучении потребления населения применяются и более сложные математико-статистические методы: факторный анализ, метод главных компонент и др.

Регрессионные методы применяются при исследовании эластичности потребления. Эластичность – мера реагирования одной переменной величины (в данном случае потребления) на изменение другой (цен или дохода). Рассчитывая теоретические или эмпирические коэффициенты эластичности, фиксирующие количественную зависимость потребления от того или иного фактора, при условии, что остальные факторы остаются неизменными. По значениям коэффициента регрессии a₁ в уравнении регрессии y = a₀ + a₁ х можно сделать вывод о том, насколько в среднем изменится у (потребление) при изменении х (дохода) на одну единицу в пределах фактической вариации данного фактора х.

Коэффициент эластичности потребления показывает, на сколько процентов в среднем изменится величина у с изменением величины х на один процент. Для разных форм связи этот показатель имеет вид:

Э_п= a₁ * х / у – при линейной,

Э_п= х ^a1 * х / у – при степенной,

Э_п= (a₁ + a₂ х) * х / у – при параболической,

Э_п= a₁ / х * х / у – при гиперболической.

где a₁ – значение коэффициента регрессии,

х – величина дохода,

у – величина потребления.

Коэффициенты эластичности рассчитываются по выровненным данным и поэтому рассматриваются как теоретические. Эмпирические коэффициенты эластичности вычисляются по фактическим данным по формуле А. Маршалла:

где х и у – начальные доход и потребление,

х и у – их приращения за период (или при переходе от одной группы к другой).

Расчетная часть.

Задача № 1

Имеются следующие выборочные данные (выборка 2%-ная механическая) о валовых доходах и расходах на продукты питания домохозяйств одного из районов, тыс. руб.:

Таблица 2.1.1.

Исходные данные

№ домохозяйства п/п	Валовой доход	Число членов домохозяйства, чел.	Расходы на продукты питания	№ домохозяйства п/п	Валовой доход	Число членов домохозяйства, чел.	Расходы на продукты питания
	35,8		14,9		161,4		61,5
	65,1		22,2		203,4		69,6
	22,1		10,2		163,5		59,7
	26,3		12,4		113,6		53,1
	78,0		32,2		145,5		57,9
	80,0		33,2		89,7		40,2
	92,4		36,8		224,0		80,0
	84,0		34,8		202,4		81,2
	164,2		50,4		192,0		74,4
	150,0		48,6		138,0		59,2
	137,6		44,4		225,0		90,0
	134,0		46,0		292,1		105,0
	82,0		34,2		243,0		89,0
	171,0		61,5		280,8		110,2
	140,1		55,8		159,0		69,6

Задание 1.

Признак – валовой доход.

Число групп – пять.

Задание 2.

Связь между признаками – валовой доход и расходы на продукты питания.

Задание 3.

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите ошибку выборки среднего размера валового дохода и границы, в которых он будет находиться в генеральной совокупности.

Задание 1.

Построим интервальный вариационный ряд по признаку «Валовой доход». Для этого найдем сначала ширину интервала h:

h =

где k - это количество интервалов (групп). По условию k = 5.

Ранжируем данные по признаку «Валовой доход» от наименьшего значения к наибольшему. Результаты представлены в таблице 2.1.2.

Таблица 2.1.2.

Группированные данные.

№ домохозяйства п/п	Валовой доход	Число членов домохозяйства, чел.	Расходы на продукты питания
	22,1		10,2
	26,3		12,4
	35,8		14,9
	65,1		22,2
			32,2
			33,2
			34,2
			34,8
	89,7		40,2
	92,4		36,8
	113,6		53,1
	137,6		44,4
			59,2
	140,1		55,8
	145,5		57,9
			48,6
			69,6
	161,4		61,5
	163,5		59,7
	164,2		50,4
			61,5
			74,4
	202,4		81,2
	203,4		69,6
	280,8		110,2
	292,1

Ширина интервала составляет:

h =(292,1-22,1)/5 = 54.

Получаются следующие группы:

1) 22,1 – 76,1;

2) 76,1 – 130,1;

3) 130,1 – 184,1;

4) 184,1 – 238,1:

5) 238,1 – 292,1.

Построение ряда распределения завершается подсчетом численности единиц в каждой группе – частоты групп. Распределение также характеризуется с помощью накопленных частот или же используются частости и накопленные частости. Частости обычно применяются для небольших по объему совокупностей. Кроме того, они позволяют сравнивать распределения по одному и тому же признаку в разных по численности совокупностях.

Полученные данные представлены в таблице 2.1.3

Таблица 2.1.3

Распределение домохозяйств по группам в зависимости от валового дохода.

Группы	Число домохозяйств в группе	Накопленная частость группы. %
Единиц	В % к итогу
76,1		13,3	13,3
130,1		23,3	36,6
184,1		36,7	73,3
238,1		16,7	90,0
292,1		10,0	100,0
Итого

Для наглядного представления интервальных рядов распределения используем графическое изображение в виде гистограммы и кумуляты: диаграммы 1 и 2.

Диаграмма 1.

Гистограмма интервальных рядов

Диаграмма 2.

Кумулята интервальных рядов распределения

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности. Выбор средней определяется экономическим содержанием показателя и исходных данных. В данной задаче в каждую группу объединены одинаковые варианты, т.е. варианты имеют различный вес, поэтому средняя вычисляется:

Группы	Число домохозяйств в группе	Середина интервала	Произведение вариант на частоты
Единиц	В % к итогу
76,1		13,3	49,1	196,4
130,1		23,3	103,1	721,7
184,1		36,7	157,1	1728,1
238,1		16,7	211,1	1055,5
292,1		10,0	265,1	795,3
Итого

= 4497 / 30 = 149.9

Мода - это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

где: минимальная граница модального интервала. В нашем случае модальный интервал: от 130,1 до 184,1 (в нем наибольшая частота), значит, 130,1.

- величина модального интервала = h = 54.

частоты модального интервала,

предшествующего и

следующего за ним.

Мо = 130,1 + 54 * (11-7)/( (11-7)+(11-5) ) = 130,1 + 54 * 0,4 = 151,7

Медиана –значение признака, которое лежит в центре упорядоченной совокупности и делит его пополам со значениями признака больше медианы и со значением признака меньше медианы.

Половина суммы частот = 15. По кумуляте определим интервал, в котором находится медиана: от 130,1 до 184,1. До этого интервала сумма накопленных частот = 11 (7+4). Значит, чтобы получить значение медианы, необходимо прибавить еще 4 единицы (15-11). Исходя из предположения, что значение признака распределяется в интервале = 54 равномерно, то 4 единицам будет соответствовать такая величина интервала:

(54 * 4) / 11 = 19,6.

Ме = минимальная граница интервала + полученная величина = 130,1 + 19,6 = 149,7.

Мода	Медиана	Средняя
151,7	149,7	149,9

Все три характеристики отличаются друг от друга незначительно.

I 151.7-149.9 I ≈ 3* I 149.7 – 149.9 I

Задание 2.

Связь между признаками – валовой доход и расходы на продукты питания.

С возрастанием значений признака «Валовой доход» (обозначим его за Х) значения признака «Расходы на продукты питания» (зависимая переменная У) также в целом возрастают при наличии некоторых отклонений от этой общей тенденции (см. таблицу 2.1.2.). Следовательно, между признаками возможно наличие прямой корреляционной связи.

Если при изменении x_i имеет место закономерное изменение средних арифметических значений распределения признака Y, то статистическая связь называется корреляционной.

При выявлении наличия связи методом аналитической группировки формируется группировка единиц совокупности по факторному признаку Х, а затем для каждой выделенной j-й группы рассчитываются средние значения результативного признака Y. Если при переходе от одной группы к другой средние значения будут меняться с определенной закономерностью – возрастать или убывать, то между признаками X и Y существует корреляционная связь.

Таблица 2.1.4

Зависимость расходов на продукты питания от валового дохода

домохозяйств

Валовой доход (тыс. руб.)	Число домохозяйств	Расходы на продукты питания
Всего	В среднем на одно домохозяйство
22,1-76,1		59,7	14,9
76,1-130,1		264,5	37,8
130,1-184,1		614,6	55,9
184,1-238,1		395,2	79,0
238,1-292,1		304,2	101,4
Итого		1638,2	54,6

В таблице 2.1.4 средние значения выпуска продукции меняются с определенной закономерностью, а именно возрастают, следовательно, между валовым доходом и расходами на продукты питания корреляционная связь есть.

Теснота корреляционной связи характеризует степень ее приближения к функциональной связи. Степень тесноты связи зависит от степени варьирования результативного признака Y при фиксированном значении факторного признака Х.

При использовании метода аналитической группировки оценивается степень тесноты корреляционной связи между признаками, для чего рассчитывается специальный показатели:

r – линейный коэффициент корреляции;

- эмпирическое корреляционное отношение;

- эмпирический коэффициент детерминации.

Расчет показателей производится по формулам:

,

,

n- число единиц наблюдения;

- общая дисперсия признака Y ;

где - межгрупповая дисперсия признака Y, которая определяется:

= - ,

где - внутригрупповая дисперсия j-й группы результативных значений j=1,2,3,4,5.

- общая дисперсия признака Y, которая вычисляется по формуле:

Таблица 2.1.5.

Расчет внутригрупповых дисперсий

Группы	Число домохозяйств, ед.	Внутригрупповая дисперсия расходов на продукты питания
22,1-76,1		20,407
76,1-130,1		45,047
130,1-184,1		53,958
184,1-238,1		47,270
238,1-292,1		81,387
Итого		433,308

Таблица 2.1.6.

Дисперсии и эмпирические показатели тесноты взаимосвязи

Общая дисперсия	Средняя из внутригрупповых дисперсий	Межгрупповая дисперсия	Эмпирический коэффициент детерминации	Эмпирическое корреляционное отношение
644,053	49,034	595,019	0,924	0,961

Таблица 2.1.7.

Линейный коэффициент корреляции признаков.

	Столбец 1	Столбец 2
Валовой доход
Расходы на продукты питания	0,979

В нашем случае общая дисперсия признака Y, обусловленная влиянием на Y всех факторов, включая X, равна

= 644,0526.

Таким образом, общая дисперсия характеризует вариацию расходов на продукты питания под влиянием всех признаков: и валового дохода, и других неучтенных.

Средняя из внутригрупповых дисперсий ( = 49,034) характеризует вариацию расходов на продукты питания под воздействием всех других признаков, кроме валового дохода.

Межгрупповая дисперсия результативного признака Y, обусловленная влиянием только фактора X –

= 595,019.

Характеризует вариацию расходов на питание под влиянием только одного данного фактора – валового дохода.

Эмпирический коэффициент детерминации (причинности), определяющий силу, то есть оценивающий, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора X, равен

= 0,924.

Т.е. 92,4 % изменений расходов на продукты питания вызваны изменениями в валовом доходе домохозяйства.

Эмпирическое корреляционное отношение, выступающее как универсальный показатель тесноты связи при любой форме связи (как линейной, так и нелинейной) – в данном случае связь между валовым доходом и расходами на продукты питания очень тесная:

= 0,961.

Линейный коэффициент корреляции, измеряющий тесноту связи в предположении линейности взаимосвязи признаков X и Y –

r = 0, 979.

Для качественной оценки тесноты связи используется шкала Чэддока, в которой значение показателей тесноты связи |r| от 0,9 до 0,99 характеризует связь как весьма высокую. Знак «+» при r указывает направление связи: на прямую линейную зависимость.

Задание 3.

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определить ошибку выборки среднего размера валового дохода и границы, в которых он будет находиться в генеральной совокупности.

Выборочная совокупность n = 30 (2% от N);;

Генеральная совокупность N = 30/2*100 = 1500;

Механический отбор – бесповторный;

Вероятность р = 0,638, значит, коэффициент доверия t = 1.

Доверительный интервал:

Предельная ошибка выборки находится по формуле:

Где средняя ошибка выборки

= 644,0526 – общая дисперсия

= 4,586

4,586 * 1 = 4,586

149,9

С вероятностью 0,638 можно гарантировать, что величина средних расходов на продукты питания во всем районе будет находиться в пределах от 145,31 до 154,48 тыс. руб.

Задача № 2

Потребление товаров и услуг населением характеризуется следующими данными:

Таблица 2.2.1.

Потребление населением товаров и услуг

Виды товаров и услуг	Стоимость товаров и услуг в 3 квартале в текущих ценах, млн. руб.	Средний индекс 3 квартала ко 2 кварталу, %
Цен	Объема продаж в сопоставимых ценах
Продовольственные товары
Непродовольственные товары
Платные услуги

Определите:

1. общий индекс цен на товары и услуги.

2. индекс покупательной способности рубля.

3. общий индекс физического объема потребления товаров и услуг в сопоставимых ценах.

4. общий индекс потребления товаров и услуг в фактических ценах.

5. абсолютный прирост (снижение) стоимости товаров и услуг вследствие:

a. изменения цен;

b. объема продажи по каждому виду товаров и услуг.

Дайте анализ исчисленных показателей и сделайте выводы.

Для начала рассчитаем цены на товары и услуги во 2-м квартале. Для этого применяем формулу

Р₀ = Р_{1 i} / i p _i

Где Р_{1 i} – цены в текущем периоде (в нашем случае – 3-й квартал),

Р_{0 i} – цены в базисном периоде (2-й квартал),

Y_ц - индекс цен в текущем периоде.

Для расчетов использовался табличный процессор Excel пакета Microsoft Office 2003

Результаты расчетов приведены в таблице 2.2.2

Таблица 2.2.2.

Виды товаров и услуг	Стоимость товаров и услуг в 3 квартале в текущих ценах, млн. руб. (р1)	Средний индекс 3 квартала ко 2 кварталу, коэффициент	Стоимость товаров и услуг во 2 квартале в текущих ценах, млн. руб. (p0)
Цен (i р0 )	Объема продаж в сопоставимых ценах (i q )
Продовольственные товары		1,10	0,95
Непродовольственные товары		1,15	0,80
Платные услуги		1,30	0,70