II. Примеры решения некоторых задач

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания к выполнению

самостоятельной работы для студентов II курса

очной формы обучения специальностей

080502 «Экономика и управление»,

080111 «Маркетинг», 080507 «Менеджмент»

(III семестр)

Брянск 2008

УДК 511

Математика: методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов II курса очной формы обучения специальностей 080502 «Экономика и управление», 080111 «Маркетинг», 080507 «Менеджмент» (III семестр). - Брянск: БГТУ, 2008. - 32с.

Разработали: Л.А. Гусакова, доц.

В.А. Андросенко, асс.

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол № 3 от 22. 11. 07)

оглавление

1. Предисловие……………………………………………………….4

2. Варианты расчетно-графического задания №3………………….5

3. Примеры решения некоторых задач…………………………….23

4. Задачи для подготовки к контрольным работам……………….27

5. Вопросы к экзамену……………………………………………....30

6. Список рекомендуемой литературы…………………………….31

предисловие

Настоящие методические указания ориентированы на студентов специальностей «Экономика и управление на предприятии», «Менеджмент», «Маркетинг». Они должны помочь студентам более рационально организовать самостоятельную работу в третьем семестре.

Методические указания содержат четыре раздела. В первом разделе приводится содержание расчетно-графического задания №3. Во втором разделе дается подробный разбор задач, при решении которых у студентов возникают наибольшие трудности. Третий раздел позволит студентам эффективно подготовиться к контрольным работам, предусмотренным рабочей программой курса «Высшая математика». Четвертый раздел содержит вопросы для подготовки к экзамену.

i содержание расчетно-графического задания №2

задание 1

1.Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания 0,7 и 0,8 соответственно. Случайная величина X – число попаданий первого стрелка, случайная величина Y – число попаданий второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Будут ли X и Y зависимыми случайными величинами?

2.В коробке 3 синих и 2 красных шара. Два человека по очереди берут по одному шару. Случайная величина X – число красных шаров у первого, случайная величина Y – число красных шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Будут ли X и Y независимыми случайными величинами?

3.В 2–х коробках находятся шары. В 1–ой коробке 3 синих и 2 красных, во 2–й коробке 2 синих и 3 красных. Из каждой коробки случайным образом взяли по одному шару. Случайные величины: X – число красных шаров среди взятых, Y – число синих шаров среди взятых. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

4.Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания 0,7 и 0,6 соответственно. Случайные величины: X – число попаданий первого стрелка, Y – число промахов второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Будут ли X и Y независимыми случайными величинами?

5.В коробке 6 белых и 4 чёрных шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

6.Один стрелок производит 2 выстрела, второй – один. Вероятность попадания для первого и второго стрелков при одном выстреле 0,5 и 0,6 соответственно. X – число попаданий первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

7. В двух коробках находятся шары. В первой – 4 белых и 1 красный, во второй – 3 белых и 2 красных. Два человека взяли по одному шару (один берёт из первой коробки, другой из второй коробки). X – число красных шаров у первого, Y – число красных шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

8.Первый стрелок производит один выстрел, второй – два. Вероятность попадания при одном выстреле для каждого из стрелков равны 0,6 и 0,5 соответственно. X – число промахов первого стрелка, Y – число промахов второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

9.В двух коробках находятся шары. В первой – 2 белых, 2 красных, 1 синий; во второй – 1 белый, 3 красных, 1 синий. Один человек из каждой коробки случайным образом взял по одному шару. X – число белых шаров среди взятых, Y – число красных шаров среди взятых. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

10.В коробке 3 белых, 2 красных и 5 чёрных шаров. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число красных шаров у первого, Y – число белых шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

11.Два стрелка производят по два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле для каждого из стрелков равна 0,5 и 0,6 соответственно. X – число попаданий первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

12.В коробке 1 синий, 1 белый и 3 красных шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число синих шаров у первого, Y – число синих шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

13.В двух коробках находятся шары. В первой – 3 синих и 7 белых, во второй – 4 синих и 6 белых. Два человека берут по одному шару (один из первой коробки, другой из второй). X – число синих шаров у первого, Y – число синих шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

14.Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания для каждого равны 0,5 и 0,6 соответственно. X – число промахов первого стрелка, Y – число промахов второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

15.В коробке 7 белых и 3 красных шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число красных шаров у первого, Y – число красных шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

16.Первый стрелок производит один выстрел, второй – два. Вероятность попадания при одном выстреле для каждого из стрелков 0,6 и 0,5 соответственно. X – число попаданий первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

17.В двух коробках находятся шары. В первой – 4 синих и 1 белый, во второй – 3 синих и 2 белых. Два человека из каждой коробки берут по одному шару (один из первой, другой из второй). X – число синих у первого, Y – число синих у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

18.В двух коробках находятся шары. В первой – 1 синий, 3 красных и 1 белый, во второй – 2 синих, 2 красных и 1 белый. Из каждой коробки случайным образом взяли по одному шару. X – число красных шаров среди взятых, Y – число белых шаров среди взятых. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

19.В коробке 3 красных и 2 белых шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число красных у первого, Y – число красных шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

20.В коробке 6 белых и 4 чёрных шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число чёрных шаров у первого, Y – число белых шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

21.В коробке 3 красных, 3 синих, 4 белых шара. Два человека по очереди берут по одному шару. X – число красных шаров у первого, Y – число красных у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

22.Первый стрелок производит два выстрела, второй – один. Вероятности попадания при одном выстреле для каждого соответственно равны 0,8 и 0,9. X – число промахов первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

23.В двух коробках находятся шары. В первой – 4 белых и 6 чёрных, во второй – 5 белых и 5 чёрных. Один человек из первой коробки берёт один шар, другой – из второй коробки один шар. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Зависимы X и Y или нет?

24.Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

Х Y
0,25 0,25
0,25 0,25

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=X-Y. Зависимы ли S и R?

25.Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

Х Y
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=X-Y. Зависимы ли S и R?

26.Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

Х Y
-1 0,25 0,25
0,25 0,25

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=X-Y. Зависимы ли S и R?

27. Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

Х Y -1
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=X-Y. Зависимы ли S и R?

28.Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

Х Y
0,25 0,25
0,25 0,25

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=X-Y. Зависимы ли S и R?

29.Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

Х Y
-1 1/6 1/6
1/6 1/6
1/6 1/6

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=2X. Зависимы ли S и R?

30.Распределение двумерной случайной величины (Х,Y) задано таблицей:

Х Y
-1 1/6 1/6 1/6
-2 1/6 1/6 1/6

Найти закон распределения двумерной случайной величины (S,R), где S=X+Y, R=-Y. Зависимы ли S и R?

задание 2

Найти rxy. Написать уравнения линейных средних квадратических регрессий Y на X и X на Y, построить их графики. Построить точки (xi, my (xi)).

Специальность: МРК

X Y 2n – 10 2n – 8 2n – 6 2n – 4 2n – 2 2n
16 + n 0, 01 0, 02 0, 02
26 + n 0, 02 0, 06 0, 04
36 + n 0, 01 0,04 0, 10 0, 04
46 + n 0,01 0, 03 0,08 0, 08
56 + n 0,01 0, 02 0, 08 0,06 0, 01
66 + n 0, 01 0,04 0, 06 0, 03
76 + n 0, 04 0, 03 0,02
86 + n 0, 01 0,02

Специальность: МНТ, ЭУП

X Y n 1,2n 1,4n 1,6n 1,8n 2n
5n 0, 01 0, 01
5n + 2 0, 02 0, 03 0, 04
5n + 4 0, 04 0, 06 0, 06 0,02 0, 01
5n + 6 0,02 0, 08 0,06 0, 04
5n+ 8 0, 02 0,08 0, 12 0, 01
5n + 10 0, 03 0, 10 0, 06
5n + 12 0, 01 0, 01 0, 04
5n + 14 0, 02

задание 3

Решить исходную задачу графическим методом. Записать двойственную задачу и решить ее симплекс-методом. Используя условия дополняющей нежесткости, по решению двойственной задачи найти решение исходной задачи.

1. z=2x1+5x2 ® max 2. z=3x1+4x2 ® max

3. z=x1+x2 ® min 4. z=-x1+5x2 ® min

5.z=x1+3x2 ® max 6. z=x1 -5x2 ® min

7. z=-x1+2x2 ® min 8. z=-2x1+5x2 ® max

9. z=2x1 -3x2 ® max 10. z=4x1+3x2 ® min

11. z=5x1+x2 ® min 12. z=2x1+5x2 ® max

13. z=7x1+4x2 ® min 14. z=2x1+3x2 ® min

15. z=x1+4x2 ® max 16. z=3x1 +x2 ® min

17. z=3x1+2x2 ® min 18. z=-2x1+3x2 ® min

19. z=x1 +6x2 ® max 20. z=x1+7x2 ® max

21. z=x1+4x2 ® max 22. z=2x1+7x2 ® min

23. z=3x1+x2 ® min 24. z=2x1+3x2 ® max

25. z=4x1+x2 ® max 26. z=4x1 +x2 ® max

27. z=2x1+3x2 ® max 28. z=-3x1+x2 ® min

29. z=2x1 +7x2 ® min 30. z=x1+4x2 ® max

задание 4

Решить исходную задачу симплекс-методом. Проверить правильность решения, решив графически двойственную задачу.

1.z=10x1+6x2+3x3+4x4 ® min 2.z=11x1+6x2+2x3+3x4 ® min

3.z=-x1+x2+3x3+6x4 ® min 4.z=6x1+3x2-x3+x4 ® min

5.z=3x1+6x2+2x3+x4 ® max 6.z=8x1+19x2+7x3+x4 ® max

7.z=8x1+19x2+7x3+x4 ® max 8.z=18x1+30x2-6x3-4x4 ® max

9.z=-4x1+24x2+12x3+12x4 ® min 10.z=x1+3x2+6x3 -4x4 ® min

11.z=23x1+20x2+6x3+4x4 ® min 12.z=-6x1+10x2-9x3+4x4 ® min

13.z=6x1+10x2+6x3+10x4 ® min 14.z=6x1-x2-5x3+6x4 ® max

15.z=7x1+4x2-3x3+2x4 ® max 16.z=2x1-3x2-4x3+7x4 ® min

17.z=6x1+x2-5x3+6x4 ® max 18.z=6x1-5x2-x3+6x4 ® max

19.z=2x1-3x2+4x3+7x4 ® max 20.z=5x1+3x2+5x3+3x4 ® min

21.z=4x1-9x2+10x3-6x4 ® min 22.z=4x1+6x2 +20x3+23x4 ® min

23.z=3x1+3x2+6x3-x4 ® min 24.z=6x1+3x2 +x3-x4 ® min

25.z=4x1+3x2+6x3+10x4 ® min 26.z=x1-x2+3x3+6x4 ® min

27.z=10x1-7x2-19x3 -8x4 ® min 28.z=3x1+2x2+6x3+11x4 ® min

29.z=-2x1-3x2+15x3+9x4 ® max 30.z=x1+7x2+19x3+8x4 ® max

задание 5

Решить транспортную задачу.

Вариант № 1

 

Вариант № 2

 

Вариант № 3

 

Вариант № 4

 

Вариант № 5

 

Вариант № 6

 

Вариант № 7

 

Вариант № 8

 

Вариант № 9

 

Вариант № 10

 

Вариант № 11

 

Вариант № 12

 

Вариант № 13

 

Вариант № 14

 

Вариант № 15

 

Вариант № 16

 

Вариант № 17

 

Вариант № 18

 

Вариант № 19

 

Вариант № 20

 

Вариант № 21

 

Вариант № 22

 

Вариант № 23

 

Вариант № 24

 

Вариант № 25

 

Вариант № 26

 

Вариант № 27

 

Вариант № 28

 

Вариант № 29

 

Вариант № 30

 

II. Примеры решения некоторых задач

1. В ящике находится 10 красных и 5 синих шаров. Два человека по очереди случайным образом вынимают по одному шару (без возвращения). Х – число синих шаров у первого, Y – число синих шаров у второго. Написать закон распределения случайной величины (Х,Y). Выяснить, являются ли случайные величины Х и Y независимыми.

Решение. Случайная величина Х и случайная величина Y могут принимать всего два значения: 0 и 1. Х=0, если шар, вытащенный первым человеком, окажется красным; Х=1, если у первого окажется синий шар. Аналогично, Y=0, если у второго окажется красный шар, и Y=1, если у второго окажется синий шар.

Обозначим события:

А – шар, вытащенный первым человеком, окажется красным;

В – шар, вытащенный вторым человеком, окажется красным.

(Х=0, Y=0)=АВ;

Р(Х=0, Y=0)=Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)= ;

(Х=1,Y=0)= В;

Р(Х=1, Y=0)=Р( )Р(В/ )= ;

(Х=0,Y=1)=А ;

Р(Х=0,Y=1)=Р(А )=Р(А)Р( /А)= ;

(Х=1,Y=1)= ;

Р(Х=1,Y=1)=Р( )=Р( )Р( / )= .

Таблица распределения случайной величины (Х,Y) имеет вид:

Х Y

Заметим, что .

Рассмотрим отношение вероятностей:

Так как , то случайные величины Х и Y являются зависимыми.

2. Задана задача линейного программирования

z=-x1-2x2 ® min

Решить задачу графически. Записать двойственную задачу и решить ее симплекс-методом. Используя условия дополняющей нежесткости, по решению двойственной задачи найти решение исходной задачи.

Решение. Решаем графически заданную систему неравенств (рис.1).

Строим градиент функции z =(-1;-2)Т и линию уровня, отвечающую значению z = 0 (рис.1). Так как в направлении, противоположном градиенту, целевая функция убывает быстрее всего, то точка В является точкой минимума. Определим координаты точки В.

.

Т – оптимальный план задачи.

zmin=-1-4= -5.

Пусть у1, у2, у3 – двойственные переменные. Чтобы записать двойственную задачу, перепишем исходную задачу в виде:

z=-x1-2x2 ® min

Двойственная задача будет иметь вид:

Запишем двойственную задачу в каноническом виде.

Матрица системы ограничений имеет вид:

.

Векторы условий образуют стандартный базис в пространстве R2, но b1= -1<0 и b2= -2<0. Таким образом, система ограничений не является приведенной к опорному плану. Используя элементарные преобразования, выделим среди векторов условий стандартный базис таким образом, чтобы выполнялось условие: b1>0, b2>0.

Заполняем симплекс-таблицу (табл.1).

Таблица 1.

Базис Сj -2
-3/2 -1/2 -1/2 3/2
-1/2 1/2 -1/2 1/2
j  

Все j , следовательно, вектор является оптимальным планом. Находим значение целевой функции двойственной задачи на оптимальном плане

В двойственной задаче у2>0, у3>0 и на оптимальном плане активными являются 1-е и 2-е ограничение. Следовательно, в исходной задаче х1>0, х2>0. Активными на оптимальном плане являются 2-е и 3-е ограничения.

Т – оптимальный план исходной задачи.

Наши рекомендации