Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает рядом мате­матических свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и в некоторых случаях используются для упрощения ее расчетов.

В статистическом анализе применяются следующие свойства средней арифметической:

1. сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю:

(если частоты равны единице);

(если частоты различны).

Поэтому среднюю можно назвать центром распределения данных: значения ниже и выше средней величины взаимно уравновешиваются.

2. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вари­антов на частоты :

3. Если к каждому значению признака прибавить или отнять какое-либо произвольное число А, то новая средняя соответственно увеличится или уменьшится на то же число А:

.

4. Если каждое значение признака умножить или разделить на одно какое-либо число А, то и новая средняя соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз:

5. Если все частоты (веса) разделить или умножить на одно и то же число А, то величина средней не изменится:

6. Сумма квадратов отклонений значений признака от средней меньше суммы квадратов отклонений от любой произвольной величины А:

<

=min.

7. средняя арифметическая суммы (разности) признаков равна сумме (разности) их средних арифметических.

Метод моментов

Для расчета средней арифметической в случае интервального ряда с равными интервалами применяется метод моментов (см. § 6.4).

Свойства средней арифметической во многих случаях позволяют упростить расчеты на основе следующего алгоритма:

1. Из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (А);

2. Разность сократить на общий множитель ( );

3. Рассчитать момент первого порядка ( ) по формуле:

.

4. Формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид:

= + А.

Данный способ вычисления средней называется методом моментов(способ отсчета от условного нуля). В этой формуле: - величина момента первого порядка; - величина интервала; - центральный вариант ряда (условный 0).

В качестве произвольной постоянной величины (А) обычно выбирают один из центральных вариантов ряда:

При нечетном числе интервалов в качестве общего множителя ( ) берут общий наибольший делитель, равный величине интервала. При четном числе интервалов общий множитель ( ) равен половине величины интервала.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническаяпринципиально не отличается от средней арифметической, но является обратной по отношению к ней. Она применятся, когда изучаемые показатели являются взаимообратными, т.е. связаны между собой как и (например, затраты времени на единицу продукции и выработка продукции в единицу времени).

Средняя гармоническая взвешенная применяется, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение ( ).

Пример 5.3.Рассчитать среднюю стоимость тура по трем направлениям на основе данных, представленных в табл. 5.2.

Таблица 5. 2