Математическое ожидание, дисперсия

Курсовой проект

Интегрирование с помощью метода Монте-Карло

Выполнил студент группы 53504/2 В.В. Беляшов

Руководитель Г. Н. Черкесов

Оглавление

Глава 1. Некоторые сведения теории вероятностей. 3

Введение. 3

Математическое ожидание, дисперсия. 4

Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал. 5

Нормальное распределение. 5

Глава 2. Метод Монте-Карло. 6

Общая схема метода Монте-Карло. 6

Оценка погрешности метода Монте-Карло. 6

Области применения статистического моделирования. 8

Глава 3. Вычисление интегралов методом Монте-Карло. 9

Способ усреднения подынтегральной функции. 9

Способ существенной выборки, использующий «вспомогательную плотность распределения». 12

Способ, основанный на истолковании интеграла как площади. 14

Способ «выделения главной части». 15

Заключение. 17

Литература. 18

Приложение. 18

Глава 1. Некоторые сведения теории вероятностей

Введение

Методами Монте-Карло называют численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин. Однако, решать методами Монте-Карло можно любые математические задачи, а не только задачи вероятностного происхождения, связанные со случайными величинами.

Важнейшим приемом построения методов Монте-Карло является сведение задачи к расчету математических ожиданий. Так как математические ожидания чаще всего представляют собой обычные интегралы, то центральное положение в теории метода Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов.

Преимущества недетерминированных методов особенно ярко проявляются при решении задач большой размерности, когда применение традиционных детерминированных методов затруднено или совсем невозможно.

Границы между простым и сложным, возможным и невозможным существуют всегда, но с развитием вычислительной техники сдвигаются вдаль.

До появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) методы Монте-Карло не могли стать универсальными численными методами, ибо моделирование случайных величин вручную - весьма трудоемкий процесс. Развитию методов Монте-Карло способствовало бурное развитие ЭВМ. Алгоритмы Монте-Карло сравнительно легко программируются и позволяют производить расчеты во многих задачах, недоступных для классических численных методов. Так как совершенствование ЭВМ продолжается, есть все основания ожидать дальнейшего развития методов Монте-Карло и дальнейшего расширения области их применения.

При изучении теоретических основ метода Монте-Карло были проанализированы несколько источников.

· Основные сведения из теории вероятностей и математической статистики, необходимые для понимания метода Монте-Карло, содержатся в книгах [3], [5].

· Для моделирования случайных процессов, связанных с применением метода Монте-Карло, необходимы случайные числа; информацию о генераторах случайных чисел можно найти в книгах [4], [5].

· Использование метода Монте-Карло для вычисления одномерных интегралов подробно обсуждается в книгах [4], [5], [6].

· Для проведения численных экспериментов методом Монте-Карло используются некоторые примеры из книг [1], [2],[7].

· Так же некоторые формулы и примеры были взяты с интернета, в частности был использован интернет ресурс Wikipedia.

Математическое ожидание, дисперсия.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятность.

,

где Х – случайная величина, - значения, вероятности которых соответственно равны .

Математическое ожидание приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: .

Выборочная дисперсия— это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии.