Задача оптимального производства продукции

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В и С. Потребность а_ij на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас b_i соответствующего вида сырья и прибыль c_i от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:

Виды сырья	Виды продукции	Виды продукции	Запасы сырья
	I	II
А	а11 = n	а11= n	b1= mn+5n
В	a21=1	a22=1	b2= m+n+3
С	a31= 2	a32= m+1	b3= mn+4m+n+4
прибыль	c1= m+2	c2= n+1
план (ед.)	x1	x2

1.1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x₁ и x₂ единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.

1.2. В условиях предыдущей задачи составить оптимальный план (x₁, x₂) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Z_max. Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом)

1.3. Построить по полученной системе ограниченный многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путём. Определить соответствующую прибыль Z_max.

Транспортная задача

На трёх складах А₁, А₂ и А₃ хранится а₁=100, а₂=200, а₃=60+10n единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трём потребителям В₁, В₂ и В₃, заказы которых составляют b₁=190, b₂=120, b₃=10m единиц груза соответственно. Стоимость перевозок с_ij единицы груза с i-го склада j-му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы:

потребности запасы	В1   b1=190	В2   b2=120	В3   b3=10m
А1 а1=100
А2 а2=200	n m+1 n
А3 а3=60+10n

2.1. Сравнивая суммарный запас, а = ∑а_i и суммарную потребность b = ∑b_i в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад с запасом, а = b – aв случаеa<bили фиктивного потребителя с потребностью a – b вслучаеa>b и положивсоответствующие им тарифы нулевыми.

2.2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьших затрат).

2.3. Проверить, является пи первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это так, то составить оптимальный план обеспечивающий минимальную стоимость

перевозок, S_min = ∑ c_ij x_{ij .} Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться методом Фогеля).

x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33

Х_опт=

Матричные игры

3.1. Игра 2х2 задана матрицей

m+6 n m m+n

С =

Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом).

3.2. Игра задана матрицами

0 m+n n-1 m+3 m+4 n-1 n+1 n

С₁ = для n – четного

n-1 n+3 n+m 0 n n+2 n+m n

С₂ = для n – нечетного

Найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.

Сетевое планирование

Процесс производства сложной продукции разбивается на отдельные этапы, зашифрованные номерами 1,2,….,10.

1–начальный этап производства продукции, 10 – завершающий. Переход от i – го этапа к j- му этапу назовем операцией. Возможны выполнение операций (i → j) и их продолжительности t_ij задаются таблицей:

№	Шифр операции	Продолжительность операции
	i → j	tij
	1 → 2	m
	1 → 3
	1 → 4	n
	2 → 3
	2 → 6
	4 → 3
	4 → 6
	3 → 5
	3 → 7	n+1
	5 → 9	m+1
	6 → 7
	6 → 8
	7 → 8
	7 → 9	m
	7 → 10
	8 → 10
	9 → 10	n

4.1.Составьте и упорядочите по слоям сетевой график производства работ. Номера этапов необходимо обвести кружками, а операции i → j обозначить стрелками, проставляя над ними продолжительность tij операции.   4.2. Считая, что начало работы происходит во время t1=0, определите время tj окончания каждого j-го этапа и проставьте его над соответствующим кружком.

4.3. Найдите критическое время завершения процесса работ Т_кр и выделите стрелки, лежащие на критическом пути.

4.4. Для каждой некритической операции i → j определите резервы свободного времени p^c_ij и проставьте их над стрелками рядом с t_ij в скобках.

4.5.Решите задачу табличным методом. Номера этапов, лежащие на критическом пути, подчеркните. (В табличном методе кроме резервов свободного времени p^c_ij необходимо также найти полные резервы времени p^c_ij для каждого этапа)