Уравнение параболической регрессии
В некоторых случаях эмпирические данные статистической совокупности, изображенные наглядно с помощью координатной диаграммы, показывают, что увеличение фактора сопровождаются опережающим ростом результата. Для теоретического описания такого рода корреляционной взаимосвязи признаков можно взять уравнение параболической регрессии второго порядка:
(11.16)
где 
, – параметр, показывающий среднее значение результативного признака при условии полной изоляции влияния фактора (х=0); 
– коэффициент пропорциональности изменения результата при условии абсолютного прироста признака-фактора на каждую его единицу; с – коэффициент ускорения (замедления) прироста результативного признака на каждую единицу фактора.
Положив в основу вычисления параметров , , с способ наименьших квадратов и приняв условно срединное значение ранжированного ряда за начальное, будем иметь Σх=0, Σх3=0. При этом система уравнений в упрощенном виде будет:
Из этих уравнений можно найти параметры , , с, которые в общем виде можно записать так:
(11.20)
(11.21)
(11.22)
Отсюда видно, что для определения параметров , , с необходимо рассчитать следующие значения: Σ у, Σ ху, Σ х2 , Σ х2 у, Σ х4. С этой целью можно воспользоваться макетом табл. 11.9.
Допустим, имеются данные об удельном весе посевов картофеля в структуре всех посевных площадей и урожае (валовом сборе) культуры в 30 сельскохозяйственных организациях. Необходимо составить и решить уравнение корреляционной взаимосвязи между этими показателями.
Т а б л и ц а 11.9. Расчет вспомогательных показателей для уравнения
Параболической регрессии
| № п.п. | х | у | ху | х2 | х2у | х4 |
| х1 | у1 | х1у1 |  |  |  | |
| х2 | у2 | х2у2 |  |  |  | |
| … | … | … | … | … | … | … |
| n | хn | уn | хnуn |  |  |  |
| Σ | Σх | Σу | Σху | Σх2 | Σх2у | Σх4 |
Графическое изображение поля корреляции показало, что изучаемые показатели эмпирически связаны между собой линией, приближающейся к параболе второго порядка. Поэтому расчет необходимых параметров , , с в составе искомого уравнения параболической регрессии проведем с использованием макета табл. 11.10.
Т а б л и ц а 11.10. Расчет вспомогательных данных для уравнения
Параболической регрессии
| № п.п. | х, % | у, тыс.т | ху | х2 | х2у | х4 |
| 1,0 | 5,0 | 5,0 | 1,0 | 5,0 | 1,0 | |
| 1,5 | 7,0 | 10,5 | 2,3 | 15,8 | 5,0 | |
| … | … | … | … | … | … | … |
| n | 8,0 | 20,0 | 160,0 | 64,0 | ||
| Σ |
Подставим конкретные значения Σ у=495, Σ ху=600, Σ х2=750, Σ х2у=12375, Σ х4=18750, имеющиеся в табл. 11.10, в формулы (11.20), (11.21), (11.22). Получим
Таким образом, уравнение параболической регрессии, выражающие влияние удельного веса посевов картофеля в структуре посевных площадей на урожай (валовой сбор) культуры в сельскохозяйственных организациях, имеет следующий вид:
(11.23)
Уравнение 11.23 показывает, что в условиях заданной выборочной совокупности средний урожай (валовой сбор) картофеля (10 тыс. ц) может быть получен без влияния изучаемого фактора – повышения удельного веса посевов культуры в структуре посевных площадей, т.е. при таком условии, когда колебания удельного веса посевов не будут оказывать воздействие на размер урожая картофеля (х=0). Параметр (коэффициент пропорциональности) в=0,8 показывает, что каждый процент повышения удельного веса посевов обеспечивает прирост урожая в среднем на 0,8 тыс. т, а параметр с=0,1 свидетельствует о том, что на один процент (в квадрате) ускоряется приращение урожая в среднем на 0,1 тыс. т картофеля.