Методы проверки временных рядов на наличие тенденции

Тенденция – осн направление, закономерность в развитии явлений или процессов. Анализ и моделирование тенденции временного ряда целесообразно начинать с выявления наличия тенденции в целом по ряду динамики. Для этой цели наиболее эффективны и дают хорошие результаты такие методы как кумулятивный Т-критерий. Кумулятивный Т-критерий позволяет определить наличие не только самой тенденции, но и ее математического выражения – тренда.

Выдвигается основная гипотеза (Н0:) об отсутствии тенденции в исходном временном ряду. Расчетное значение критерия определяется по формуле:

, где: Zn — накопленный итог отклонений эмпирических значений уровней исходного ряда динамики от среднего его уровня; – накопленные суммы отклонений от тренда; σ²_у — общая сумма квадратов отклонений, определяемая по формуле:

, yt — исходные значения признака; — средний уровень исходного ряда динамики; n — длина временного ряда (число уровней).

Если анализир. достаточно длинный врем. ряд, можно использовать нормиров. отклонение:

Расчетные значения кумулятивного Т-критерия и tp сравниваются с критическими при заданном уровне значимости α. Если Tp > Ткр, то гипотеза об отсутствии тенденции отвергается, следовательно, в исходном временном ряду существует тенденция, описываемая трендом. В противном случае, если Тр < Ткр или tp < tкр, признается отсутствие тенденции в ряду динамики.

Тенденция исходного ряда динамики может быть трех видов: тенденция среднего уровня, дисперсии и автокорреляции.

Тенденция среднего уровня может быть выражена с помощью графического метода. Аналитически тенденция выражается с помощью некоторой математической функции f(t), вокруг которой варьируют эмпирические значения исходного временного ряда изучаемого социально-экономического явления. При этом теоретические значения, то есть значения, полученные по трендовым моделям в отдельные моменты времени, являются математическими ожиданиями временного ряда. Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от теоретических, полученных по уравнению тренда. Тенденция автокорреляции выражает тенденцию изменения корреляционной связи между отдельными, последовательными уровнями временного ряда.

Проверка на наличие тенденции среднего уровня и дисперсии может быть произведена методом сравнения средних уровней временного ряда и методом Фостера-Стюарта.

Метод сравнения средних уровней временного ряда предполагает, что исходный временной ряд разбивается на две приблизительно равные части по числу членов ряда, каждая из которых рассматривается как самостоятельная, независимая выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. При этом решаются две задачи.

I. Если временной ряд имеет тенденцию, то средние, вычисленные для каждой совокупности в отдельности, должны существенно, значимо различаться между собой. Если расхождение незначимо, временной ряд не имеет тенденции средней.

Проверка гипотезы (Н0:) о наличии тенденции в исследуемом ряду сводится к проверке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей:

Гипотеза проверяется на основе t-критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:

, где: — средние уровни временного ряда согласно порядка разбиения; n₁ и n₂ — число уровней временного ряда, соответственно первой и второй части; — дисперсия первой и второй части.

Расчетное значение (tp) критерия сравнивается с его критическим (табличным) значением (tкр) при уровне значимости α и числе степеней свободы ν = n – 2.

Если tp > tкр, то гипотеза о равенстве средних уровней двух нормально распределенных совокупностей отвергается, следовательно, во временном ряду существует тенденция средней и существует тренд.

II. Если временной ряд имеет тенденцию, то дисперсии, вычисленные для каждой совокупности в отдельности, должны существенно и значимо различаться между собой. Если же расхождение между ними не значимо, то временной ряд не имеет тенденции дисперсии. Таким образом проверяется гипотеза (H0:) об отсутствии тенденции в дисперсиях в исходном временном ряду, которая сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей, то есть: Гипотеза проверяется на основе F-критерия Фишера-Снедекора, расчетное значение которого определяется по формуле:

и

Проверка гипотезы осуществляется на основе сравнения расчетного и критического значений F-критерия, полученного при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы ν₁ и ν₂.

Если , то Если , то

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей отвергается, если Fp > Fкр. Следовательно, расхождение между вычисленными дисперсиями значимо, существенно, носит неслучайный характер и в ряду динамики существует тенденция в дисперсиях и существует тренд. Метод дает вполне приемлемые результаты лишь в случае рядов с монотонной тенденцией.

Метод Фостера-Стюарта основан на двух характеристиках S и d.

, где

Суммирование производится по всем членам ряда. Значения U_t и l_t определяются путем сравнения уровней исходного ряда динамики со всеми предыдущими.

Если значение уровня ряда превышает по своей величине каждый из предыдущих уровней, то величине Ut присваивается значение 1, в остальных случаях она равна 0:

Наоборот, если значение уровня ряда меньше всех предыдущих, то l_t присваивается значение 1.

S применяется для обнаружения тенденции изменения в дисперсиях, d – для обнаружения тенденции в средней. После того, как для исследуемого ряда найдены фактические значения d и S, проверяется гипотеза о том, можно ли считать случайными разности (d – 0) и (S – μ). Гипотезы проверяются на основе t-критерий Стьюдента:

. , где: μ — математическое ожидание величины S, определенное для случайного расположения уровней во времени; σ1 — средняя квадратическая ошибка величины S; σ2 — средняя квадратическая ошибка величины d. Значения μ, σ1, σ2 табулированы.

Если td > tкр (α; ν = n – 1), то гипотеза об отсутствии тенденции в средней отвергается, следовательно в исходном временном ряду существует тренд.

Если ts > tкр (α; ν = n – 1), то гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсиях отвергается, следовательно существует тенденция дисперсии и существует тренд.