Расчет показателей вариации стажа работы продавцов

стаж работы, лет	число продавцов, чел.( f)	середина интервала (x )	отклонение варианты от средней ( )
0-3		1,5	-5,0	25,0	150,0
3-6		4,5	-2,0	4,0	28,0
6-9		7,5	+1,0	1,0	10,0
9-12		10,5	+4,0	16,0	80,0
12-15		13,5	+7,0	49,0	98,0
Итого:		-	-	-	366,0

Вычисляем средний стаж работы:

= = = = 6,5 лет

Вычисляем дисперсию:

Следует иметь в виду, что дисперсия – безмерная величина и самостоятельного экономического значения не имеет. Дисперсия необходима для расчета среднего квадратического отклонения. В данном случае среднее квадратическое отклонение равно:

года.

Среднее квадратическое отклонение показывает, что в среднем варианты

отклоняются от средней арифметической ( = 6,5) на 3,5 года при колеблемости стажа работы отдельных работников от 0 до 15 лет.

Для характеристики степени колеблемости признака необходимо среднее квадратическое отклонение выразить в процентах к средней арифметической, т.е. вычислить коэффициент вариации (V):

.

Коэффициент вариации свидетельствует о том, что колеблемость стажа работы продавцов весьма значительна и неоднородна.

5.7.4.Определите первый и третий квартили интервального ряда по данным о содержании бракованных товаров в поступившей в магазин партии товара:

бракованные товары, % (х)	число образцов (f)	накопленная частота S	середина интервала x	x f
А
до 14
14-16
16-18
18-20
20 и более
Итого		-	-

Решение:

Первый и третий квартили имеющегося ряда определяем по формулам:

= 14+2 = 14,3%;

= 18+2 =18,0%.

Следовательно, в ряду распределения по данным о бракованных товарах в поступившей партии товара в магазин первый квартиль составляет 14,3%, а третий – 18,0%, т.е. 25% товаров содержат брак, не превышающий 14,3%, а у 75% товаров процент брака не превышает 18%.

5.7.5. Определите 1-й и 9-й децили интервального ряда по данным о содержании влаги в поступившей в магазин партии товара:

влажность, % (х)	число образцов (f)	накопленная частота S	середина интервала x	x f
А
до 14
14-16
16-18
18-20
20 и более
Итого		-	-

Решение:

Первый и девятый децили данных таблицы определяем по формулам:

= 12+2 = 13%;

= 20+2 =20%.

Таким образом, значения децилей указывают на то, что среди 10% партии товара с минимальным процентом влажности максимальный процент ее составляет 13%, а среди 10% партии товара с наибольшим процентом влажности минимальный процент ее составил 20%, т.е. в 1,54 раза больше.

5.7.6.Имеются данные о времени работы (лет) 24 рабочих в цехе завода:

Стаж рабочих в данном цехе (лет): 4; 3; 6; 4; 4; 2; 3; 5; 4; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 5; 2; 3; 6; 5; 4; 2; 4; 3.

Требуется:

1. построить дискретный ряд распределения,

2. дать графическое изображение ряда,

3. вычислить показатели центра распределения, показатели вариации и формы распределения.

Решение:

1. Дискретный ряд распределения стажа рабочих в цехе завода:

Время работы (лет), (х)	число рабочих, (f)	накопленная частота, (S)
итого		-

2. Представим графическое изображение построенного дискретного вариационного ряда распределения рабочих по времени работы в цехе в виде полигона частот:

Годы,

Полигон частот замыкается, для этого крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе ( в данном случае х=1 и х=7 ).

3. К показателям центра распределения относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

Средняя арифметическая ( )определяется по следующей формуле:

лет.

Мода (М₀) = 4 годам (4 года встречается 9 раз, т.е. это наибольшая частота f ).

Для определения медианы необходимо определить номер интервала, в котором она находится:

N_Ме = ;

Медиана (М_е) = 4 годам (так как номера 12 и 13 соответствуют 4 годам).

К показателям вариации относятся: размах вариации (R), среднее линейное отклонение ( ), дисперсия (σ²), среднее квадратическое отклонение (σ), коэффициент вариации (V).

- размах вариации определяем по формуле:

R = X_max – X_min = 6 – 2 = 4 года

- для определения среднего линейного отклонения и других показателей вариации построим дополнительную таблицу вычислений:

количество отработанных лет (х)	число рабочих (f)
		-1,8 -0,8 +0,2 +1,2 +2,2	7,2 4,0 1,8 4,8 4,4	12,96 3,20 0,36 5,76 9,68
итого			22,2	31,96

лет

лет

Следовательно, индивидуальные значения отличаются в среднем от средней арифметической на 1,15 года, или на 30,3%.

Среднее квадратическое отклонение превышает среднее линейное отклонение ( > ) в соответствии со свойствами мажорантности средних величин.

Значение коэффициента вариации (V = 30,3%) свидетельствует о том, что совокупность достаточно однородна.

Как видно из построенного ранее полигона вариационного ряда распределение рабочих цеха по времени их работы в цехе несимметрично, поэтому определяется показатель асимметрии:

Следовательно, асимметрия левосторонняя, незначительная.

5.7.7.Распределение работников производственного предприятия по размеру месячной заработной платы следующее:

месячная заработная плата, тыс.руб.	до 15,0	15,0-16,0	16,0-17,0	17,0-18,0	18,0-19,0	19,0 и более	итого
число работников

Определите коэффициент децильной дифференциации.

Сформулируйте вывод.

Решение:

Коэффициент децильной дифференциации определяется по формуле:

Для этого определяем место децилей:

;

Для расчета численных значений децилей определяем интервалы, в которых они находятся, для чего исчисляем накопленные частоты и результаты записываем в таблицу:

месячная заработ-ная плата,тыс.руб.	до 15,0	15,0-16,0	16,0-17,0	17,0-18,0	18,0-19,0	19,0 и более
число работников (нарастающим итогом)

Из таблицы видно, что первая дециль находится в интервале 15,0 - 16,0, девятая дециль находится в интервале 18,0 – 19,0.

Вычислим числовые значения децилей:

тыс.руб. или 15292,1 руб.

тыс.руб. или 18461,5 руб.

=

Следовательно, наименьший размер месячной заработной платы 10% наиболее обеспеченных работников в 1,21 раза выше наивысшего размера месячной заработной платы 10% наименее обеспеченных работников.

5.7.8.Имеются следующие данные о возрастном составе работников предприятий потребительской кооперации N - района (лет): 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29.

Для анализа распределения работников предприятий потребительской кооперации по возрасту требуется:

1. построить интервальный ряд распределения;

2. исчислить показатели центра распределения, показатели вариации и формы распределения;

3. сформулировать выводы.

Решение:

1. Величина интервала группировки определяется по формуле:

года

n (количество интервалов)– мы принимаем равным 7.

Полученный интервальный ряд распределения представим в таблице:

группы работников по возрасту (лет), х	число рабочих, f	накопленная частота, S
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39
итого		-

2. Рассчитываем показатели центра распределения ( , Мо, Ме):

года,

где: - среднее значение признака в интервале (центр каждого интервала).

Для определения численного значения моды (Мо) по нашему интервальному ряду определим, что она находится в интервале 27-30 лет, так как наибольшее число работников ( f = 10) находится в этом интервале.

Значение моды определяется по формуле:

Мо = х₀ + i =

= года.

Для определения численного значения медианы (Ме) также сначала определяем интервал, в котором она находится:

Медианным является также интервал 27-30 лет, так как в этом интервале находятся номера 15 и 16 ряда.

= года.

Для расчета показателей вариации составим вспомогательную таблицу:

группы работников по возрас-ту, лет	центр интервала, (лет),	f
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39	19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 34,5 37,5		19,5 67,5 153,0 285,0 157,5 103,5 75,0	-9,2 -6,2 -3,2 -0,2 2,8 5,8 8,8	9,2 18,6 19,2 20,0 14,0 17,4 17,6	84,64 38,44 10,24 0,04 7,84 33,64 77,44	84,64 115,32 61,44 0,40 39,20 100,92 154,88
итого	-		861,0	-	116,0	-	556,80

года

года

.

Следовательно, вариация возраста у работников предприятий потребительской кооперации не является значительной, что подтверждает достаточную однородность совокупности.

Показатель асимметрии распределения работников по возрасту определяем по формуле:

.

Следовательно, асимметрия правосторонняя, незначительная.

При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение:

Мо < Ме <

Для данного распределения это соотношение выполняется, т.е.

28,3 < 28,6 < 28,7.

Для имеющегося распределения, учитывая незначительную асимметрию, определяем показатель эксцесса (островершинности):

, где:

М₄ – центральный момент четвертого порядка,

σ^{4 -} среднее квадратическое отклонение в четвертой степени.

= =

.

Отрицательное значение эксцесса свидетельствует о плосковершинности данного распределения.