Расчет оптимального размера заказа

Наиболее распространенной моделью прикладной теории логистики является модель оптимального или экономичного размера заказа EOQ (Economic Order Quantity) [2, 5, 11 и др]. В качестве критерия оптимизации принимается минимум общих затрат C_Σ, включающих затраты на выполнение заказов С_з и затраты на хранение запаса на складе С_x в течение определенного периода времени (год, квартал и т.п.)

(6.1)

где: С₀ -затраты на выполнение одного заказа, руб;

А - потребность в заказываемом продукте в течение данного периода, шт.;

С_n - цена единицы продукции, хранимой на складе, руб.;

i - доля от цены С_n, приходящейся на затраты по хранению;

S - искомая величина заказа, шт.

На рис.6.1 представлены составляющие затрат C₃ и C_x и суммарные затраты C_Σ в зависимости от размера заказа.

Из рис.6.1 видно, что затраты на выполнение заказов с увеличением размера заказа уменьшаются, подчиняясь гиперболической зависимости (кривая1); затраты на хранение партии поставки возрастают прямо пропорционально размеру заказа (линия 2); кривая общих затрат (кривая 3), имеет вогнутый характер, что говорит о наличии минимума, соответствующего оптимальной партии S₀.

Значение оптимума S₀ совпадает с точкой пересечения зависимостей C₃ и C_x. Это объясняется тем, что абсцисса точки пересечения S находится из решения уравнения

(6.2)

Рис. 6.1 Зависимость затрат от размера заказа: 1 – затраты на выполнение заказа; 2 – затраты на хранение; 3 – суммарные затраты.

то есть

(6.3)

При других зависимостях C₃ = f(S) и C_x = f(S) указанного, совпадение может не наблюдаться и в этом случае необходимо применить процедуру оптимизации. Так, для функции (6.1) находим

(6.4)

Решая уравнение (6.4), приходим к формуле (6.3) для определения EOQ.

Зная S₀, нетрудно определить количество заказов

N=A / S₀ , (6.5)

минимальные суммарные затраты за рассматриваемый период

(6.6)

время между заказами

T₃=Д_pS₀ / A=Д_p / N, (6.7)

где Д_р – продолжительность рассматриваемого периода.

Если речь идет о количестве рабочих дней в году, то Д_p=260 дней, если о количестве недель, то Д_p=52 недели.

Формула (6.3) встречается в различных источниках под следующими названиями: Уилсона (наиболее распространенная), Вильсона, Харриса, Кампа.

Формула (6.3) получена при большом количестве допущений:

· затраты на выполнение заказа C_o, цена поставляемой продукции С_п и затраты на хранение единицы продукции в течение рассматриваемого периода постоянны;

· период между заказами (поставками) постоянный, т.е. Тз = const.;

· заказ S_o выполняется полностью, мгновенно;

· интенсивность спроса - постоянна;

· емкость склада не ограничена;

· рассматриваются только текущие (регулярные) запасы, другие виды запасов (страховые, подготовительные, сезонные, транзитные и т.д.) не учитываются.

Анализ ряда работ показал, что трактовка затрат С_o, связанных с заказом, носит дискуссионный характер. Так, в большинстве работ С_o включает транспортно-заготовительные затраты: от расходов на заключение договора и поиска поставщиков до оплаты услуг по доставке. Например, в работе [11] затраты на поставку единицы заказываемого продукта включают следующие элементы:

· стоимость транспортировки заказа;

· затраты на разработку условий поставки;

· стоимость контроля выполнения заказа;

· затраты на выпуск каталогов;

· стоимость форм документов.

В других работах, например [23], транспортные затраты не входят в C₀ и представлены в виде дополнительных слагаемых в формуле (6.1): собственно затрат на транспортировку и затрат, связанных с запасами на время в пути.

Еще один вариант учета транспортных затрат состоит в том, что они учитываются в стоимости единицы продукции C_n, поступивший на склад. Если покупатель сам оплачивает транспортные расходы и несет полную ответственность за груз в пути, то это приводит к тому, что при оценки стоимости товаров, хранящихся на складе в качестве запасов, к их закупочной цене следует прибавить транспортные расходы [2, стр.246].

В табл.6.1 приведены результаты расчетов оптимальной партии заказа: количество заказов в год и периодичность заказа при Д_p=260 дней. Из табл.6.1 видно, что формула (3) охватывает широкий диапазон величины заказов в течение расчетного периода; при этом составляющая i, связанная с оценкой затрат на хранение в основном колеблется в довольно узком диапазоне 0,2-0,25.

О распространении формулы (6.3) говорит такой факт, что фирма «Вольво» снабжает своих агентов и дилеров специальной счетной линейкой, разработанной на основе формулы Уилсона [22]. Однако проведенные исследования показали, что даже с соблюдением всех ограничений, допущения, принятые при выводе формулы Уилсона, требуют уточнения, в частности, затраты на хранение.

В модели (6.1) предполагается, что оплата за хранение единицы продукции пропорциональна ее цене, а среднее количество находящейся на хранении продукции при постоянной интенсивности спроса на данный период времени равно

(6.8)

Таблица 6.1.

Исходные данные и оптимальные размеры заказа, рассчитанные по формуле Уилсона

Исходные данные	S0, шт.	Кол-во заказов N	Периодичность заказа, Т3, дн.	Источник
C0	A	Cn	i*
			0,20				Аникин Б.А. и др. [11]
			0,10				Гаджинский А.М.,[5]
		0,1				Неруш Ю.М. [17]
60,8		29,3	0,22				Сергеев В.И. [23]
			0,2				Бауэрсокс Д., Клосс Д. [2]
		45**	0,25				Линдерс М.,
Фарон Х. [10]
						Shapiro S.F.
		0,2				Джонсон Д. и др. [7]
Примечание: *)-доля от годовой стоимости запаса на хранение;
**)- в стоимость хранения включены затраты на транспортировку;

Из рис.6.2 виден принцип получения зависимости . Так, если бы за время Т был произведен один заказ, равный потребности в заказываемом продукте А, то в среднем на хранении находилось бы А/2 продукции. Если два заказа с интервалом T/2, то среднее количество хранимой продукции было бы А/4 и т.д.

Рис.6.2 определение средней величины запаса на складе:

а) – максимальный запас А; б)-максимальный запас А/2

Однако, практика аренды складских помещений, а также расчеты затрат на хранение на складах ряда фирм, говорят о том, что как правило учитывается не средний размер партии, а площадь (или объем) склада, которая требуется для всей поступившей партии

С_x = akS, (6.9)

где: а- затраты на хранение единицы продукции с учетом занимаемой площади (объема) склада, руб.\м² (руб.\м³);

к- коэффициент, учитывающий пространственные габариты единицы продукции, м²\шт. (м³\шт.).

С учетом (6.9) расчетная формула для оптимальной величины заказа запишется в виде

, (6.10)

Теперь, когда становится ясным, что оплата за хранение продукции может быть связана не только с величиной , предлагается ввести более гибкую зависимость вида

C_x = βC_n iS, (6.11)

где: β - коэффициент, отражающий связь между долей от стоимости объема заказа и установленной арендной платой. Коэффициент β может изменяться в широких пределах.

При подстановке (6.11) в формулу (6.1) после преобразований находим

, (6.12)

При β = 0,5 приходим к зависимости (3).

Вторым не мене важным условием, которое необходимо учитывать при расчете EOQ, являются скидки. Известно, что при покупке партии товара большинство фирм дает скидки, величина которых зависит от размера партии S.

Наиболее часто в работах по управлению запасами приводится дискретные зависимости, отражающие изменение цены единицы продукции C_nj от размера партии S_i, рис.6.3. Здесь возможны различные ситуации. Первая, когда цена меняется, а затраты на хранение остаются такими же, т.е. не зависят от изменения цены. Вторая, когда вместе с изменением цены пропорционально изменяются затраты на хранение. Третья, наиболее общая, ситуация, при которой между изменениями цены и изменяющимися затратами на хранение не наблюдается однозначной зависимости. Для примера в табл.6.2 приведены скидки на цены и затраты на хранение в зависимости от размера партии [17].

Аналитическая зависимость общих издержек, связанных с запасами, записывается в виде системы уравнений для каждой j-й цены и для каждого уравнения рассчитывается оптимальная величина заказа S_oj. Если величины S_oj находятся внутри граничных значений j-й партии, то они сохраняются для дальнейших сравнительных расчетов. Если нет, то расчеты общих издержек производятся для граничных значений j-ой цены и они учитываются при сравнении издержек.

Рис. 6.3. Зависимости, отражающие скидки с цены продукции:

а - дискретная ("ступенчатая") зависимость и ее аппроксимация прямой, формула (6.14);

б - нелинейные зависимости скидок, формула (6.15): 1 (а₀ = 0,7; в₀ = 0,99);

2 (а₀ = 0,5; в₀ = 0,99).

Таблица 6.2

Изменение цены и затраты на хранение от размера партии

Номер	Размер партии поставки, ед.	Цена единицы товара Cnj,	Доля от цены на хранение единицы товара i	Затраты на хранение единицы товара Cxj, у. е.
у. е.
	янв.99	2,5	0,24	0,6
	10000-19999	2,0	0,20	0,4
	20000 и более	1,5	0,20	0,3

Запишем систему уравнений для общих издержек с учетом данных, приведенных в табл.6.2, а также следующих условий [17]: А=10⁶ ед.; С₀=2,5 у.е.; β = 0,5

Cj=

(6.13)

С помощью формулы (6.3) находим оптимальные величины заказа для каждой партии: S₀₁=9130 ед.; S₀₂=11180 ед.; S₀₃=12910 ед.

Поскольку величины заказов S ₀₁ и S ₀₂ лежат в пределах граничных значений, то они должны быть выбраны в качестве оптимальных. Для третьей величины S ₀₃ ограничение на размер партии не соблюдается, поэтому рассчитываются минимальные общие издержки на границе при S = 20 000 ед.

Проведя аналогичные расчеты для второго уравнения при S₀₂, т.е. для оптимальной партии, находим С_2min = 2000450 у.е.

Следовательно, наименьшие общие затраты, связанные с запасами, соответствуют величине партии S= 20000 ед.

При увеличении количества ступеней «лестницы скидок», вместо системы уравнений (6.13) используются непрерывные зависимости, рис. 6.3.,

(6.14)

или

(6.15)

где γ, a_i, b_i - коэффициенты.

Рассмотрим пример определения C_n и коэффициента γ уравнения (6.14) на основании данных, приведенных в табл. 6.3.

Таблица 6.3

Скидки с цены за объем закупок [2]

Расходы, дол.	Объем закупок, ед.
5,0	1-99
4,5	100-200
4,0	201-300
3,5	301-400
3,0	401-500

Из рис.6.3. видно, что можно применить разные зависимости: по минимуму, по максимуму или средней величине объема закупок при одинаковой цене за единицу товара. Если выбрана зависимость для максимальных значений, то в качестве опорных точек могут быть взяты любые значения из правого столбца таблицы, например 99 ед. и 300 ед. Тогда, уравнения для определения C_n и γ запишутся в виде

5 = C _n (1- γ · 99),

4 = C _n (1- γ · 300).

После преобразований находим C_n =5, 492, γ = 0,0009 , т.е. C_s = 5,492 (1-0,0009 S), 1 £ S < 1110.

Рассмотрим зависимость (6.15), рис.6.3. б. Коэффициент a₀ отражает предельное снижение цены единицы продукции C_п при S ®¥. Допустим, что коэффициент а₁ = 1 – а ₀.

Коэффициенты b₀ и b₁ позволяют охарактеризовать изменения кривой C_s. Предположим, что 0 < b₀ < 1 и коэффициенты b₀ и b₁ связаны соотношением b₁ = 1 - b₀ .

В табл. 6.4. приведены значения функции C_s при C_n = 1 для различных величин заказа S (от 10 до 500), при а ₀ =0,7 и а ₀ =0,5, а также различных коэффициентах b ₀ . Из анализа данных табл. 6.4. следует, что функция (6.15) позволяет довольно гибко учитывать зависимость между величиной скидки и объемом заказа.

Для примера рассчитаем коэффициенты а_i и b_i по данным табл. 6.3.

Поскольку предельное уменьшение цены Cmin = 3 дол., то а₀ = 3/5=0,6 и, соответственно, а₁ =0,4.

Для определения коэффициента b₀ воспользуемся значениями S = 250 ед., C_s = 4,0 долл., и после подстановки в уравнение (6.15) получим:

откуда b₀ =0,996, b₁ = 1 - b₀ = 0, 004.

Определим оптимальный размер заказа с учетом скидки по формуле (6.14) и введения коэффициента β при учете оплаты за хранение. Тогда, критериальное уравнение запишется в виде

, (6.16)

Приравняв частную производную , после преобразований находим

aS³ + bS² + d = 0, (6.17)

где: а = 2βγС_ni; b = -βС_ni; d = C₀A.

Таблица 6.4

Изменение величины скидки в зависимости от объема заказа,

формула (6.15)

Заказ S, шт.	Коэффициенты b0 (при a0=0,7)	Коэффициенты b0 (при a0=0,5)
0,7	0,9	0,99	0,7	0,9	0,99
	0,780	0,860	0,975	0,635	0,751	0,959
	0,719	0,751	0,901	0,532	0,584	0,836
	0,710	0,728	0,850	0,516	0,546	0,751
	0,705	0,714	0,800	0,508	0,524	0,667
	0,703	0,710	0,775	0,505	0,516	0,625
	0,702	0,707	0,760	0,504	0,512	0,600
	0,702	0,705	0,750	0,503	0,509	0,583

Для решения кубического уравнения (6.17) можно воспользоваться аналитическим или численным (итерационным) способами.

Аналитический способ. Один из вариантов сводится к следующему:

1. Вводится новая переменная y = S+(b\3a).

2. При подстановке в уравнение (6.17), после преобразований находим:

y³ + 3py + 2q = 0, (6.18)

где p = -b²/9a²;

3. Число действительных корней уравнения (6.18) зависит от знака дискриминанта

D = q² + p³

При D>0 действительный корень равен (формула Кардана)

, (6.19)

При D < 0 для определения корней уравнения (6.18) используются специальные формулы.

Приближенный способ (метод итераций). Запишем уравнение (6.17) в виде

, (6.20)

где S₀ рассчитывается по формуле (6.12).

Подставив в правую часть S=S₀, находим первое приближение S₁ и сравним с S₀, затем подставляем S=S₁ и находим S₂ и т.д. Процесс повторяется несколько раз до достижения заданной точности.

Пример. Определим оптимальную величину заказа при учете скидок, формула (6.14), и следующих исходных данных: А=1200 ед., С₀=60,8 у.е.; С_n=29,3 у.е., i=0,22; β=0,5 и γ=0,001. Тогда, уравнение суммарных затрат запишется в виде

, (6.21)

Для исследования зависимости C_Σ=f(S), выполним вспомогательные расчеты (см. табл. 6.5) и построим график C_Σ=f(S), рис.6.4. Из рис.6.4 видно, что учет скидок приводит к изменению традиционной зависимости C_Σ=f(S); в данном случае у зависимости суммарных затрат C_Σ наблюдается не только минимум, но и максимум. Это говорит о том, что если величина заказа ограничена, например S<S_A (см. рис.6.4), то оптимальное значение S₀ совпадает с минимумом функции C_Σ=f(S).

Для определения S₀ воспользуемся формулой (6.12)

Тогда первое приближение

Второе приближение

Продолжив вычисления, находим S₃=191,5; S₄= 192,2. В виду того, что ΔS=|S₄-S₃|<1, примем S_опт.=192.

Пример 2. Определены зависимости составляющих суммарных затрат С_S при следующих исходных данных: С₀ = 19 долл.; А = 2400 шт.; b = 0,5; i = 0,2 [2]. Скидки учтены в виде зависимости (6.14); С_n = 5,492 дол.; γ = 0,0009. Таким образом, выражение для суммарных затрат запишется в виде:

(6.22)

Таблица 6.5

Расчет составляющих и суммарных затрат на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, формула (6.21)

Величина заказа, S ед.	Затраты на выполнение заказа	Затраты на хранение	Суммарные затраты
С х	С S
Без учета скидки	С учетом скидки	Без учета скидки	С учетом скидки
	729,6	322,0	290,1	1051,6	1019,7
	486,4	483,5	411,0	969,9	897,4
	364,8	644,6	515,7	1009,4	880,5
	291,8	805,5	604,3	1097,3	896,1
	243,2	967,0	676,8	1210,2	919,8
	182,4	1289,2	773,3	1474,6	955,7
	145,9	1611,5	805,3	1757,4	951,1
	121,6	1933,8	773,3	2055,4	895,1
	104,2	2256,1	676,8	2360,3	781,0
	91,2	2578,4	515,7	2669,6	606,9

На рис.6.5 представлены составляющие затрат, связанные с заказом и хранением, а также с учетом и без учета скидок на цену товара от величины заказа (вспомогательные расчеты – табл. 6.6).

В отличие от ранее приведенных зависимостей на рис.6.1 и рис.6.4 у С_S = f(S) при учете скидок не наблюдается минимума. Это имеет принципиальное значение, поскольку в данном случае невозможно рассчитать значение EOQ – оптимальную величину заказа и она должна быть определена как «экономичная» величина исходя из других критериев или ограничений.

Таблица 6.6

Расчет составляющих сумм-х затрат с учетом скидок на величину заказа, формула (21)

Величина заказа ,	Затраты на выполнение заказа	Затраты на хранение	Суммарные затраты
S ед.	С х	С S
	Без учета скидки	С учетом скидки	Без учета скидки	С учетом скидки
		54,9
		109,8	90,1	337,8	318,1
		164,8	120,3	318,8	272,3
		219,7	140,6	333,7	254,6
	91,2	274,6	151,1	365,8	242,3
	76,0	329,5	151,7	405,5	227,7
	65,1	384,4	142,4	449,5	207,5
	57,0	439,4	132,2	496,4	180,2

Рис. 6.4. Суммарные затраты на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, зависимость (6.21.):

1 - затраты на выполнение заказа; 2 - затраты на хранение с учетом скидок; 3 - суммарные затраты с учетом скидок; 4 - затраты на хранение (без учета скидок); 5 - суммарные затраты без учета скидок.

Рассмотрим вариант при использовании зависимости (6.15). Тогда уравнение (6.15) запишется в виде:

, (6.23)

Примем, что а₀=0,6; а₁=0,4; b₀=0,996; b₁=0,004.

Исследуем зависимость C_Σ=f(S). При подстановке исходных данных: С₀=19 долл., А₀=2400; β=0,5; С_n=5 долл.; i=0,2 находим

, (6.24)

Вспомогательные расчеты приведены в табл.6.7. Графики составляющих и суммарных затрат на рис. 6.6. Из рис.6.6 видно, что при учете скидок минимум С_Σ смещается в область больших величин заказа S, при этом сохраняется подобие с зависимостью С_Σ, рассчитанной без учета скидок.

Для точного определения оптимальной величины заказа воспользуемся стандартной процедурой, т.е. найдем S_опт. из решения уравнения dC_Σ/dS=0, где С_Σ описывается выражением (6.1). После преобразований находим

KS⁴ + LS² + M² + NS + Q = 0 (6.25)

где K = βc_nia_ob₁²; L = 2βc_nia_ob_ob₁; M = βc_nia_ob_o² + βb_oc_nia₁ – c_oAb₁²; N = -2c_oAb_ob₁; Q = -cAb_o².

Анализ показал, что наиболее приемлемым является приближенный способ, при этом итерационное уравнение можно записать в виде:

(6.26)

Рассчитаем коэффициенты уравнения (6.25):

К=0,5·5·0,2·0,6·0,004²=4,8·10^-6

L=2·0,5·5·0,2·0,6·0,996·0,004=2,39·10^-3

M=0,5·5·0,2·0,6·0,996²+0,5·0,996·5·0,2·0,4 - 19·2400·0,004²= -0,2328

N= -2·19·2400·0,996·0,004= -363,3

Q= -19·2400·0,996²= - 45236

При подстановке численных значений в уравнение (6.26) получим

(6.27)

В качестве начальной итерации примем S₀=300. При подстановке в (6.27) находим S₁= 389,6.

Последующие значения: S₂=360,1; S₃=374,7; S₄=368,2; S₅=371,3; S₆=370. Следовательно, шестая итерация позволяет получить приемлемую точность Δ=|S₆ – S₅|~1.

Рис. 6.5. Составляющие суммарные затраты на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, зависимость (6.22):

1 - затраты на хранение с учетом скидок; 2 - затраты на хранение (без учета скидок); 3 - затраты на выполнение заказа; 4 - суммарные затраты.

Рис. 6.6. Составляющие суммарные затраты на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, зависимость (6.24):

1 - затраты на выполнение заказа; 2 - затраты на хранение; 3 - суммарные затраты; 4 - суммарные затраты с учетом скидки.

Таблица 6.7

Расчет составляющих и суммарных затрат с учетом скидок на величину заказа

Величина заказа ,	Затраты на выполнение заказа	Затраты на хранение	Суммарные затраты
S ед.	С х	С S
	Без учета скидки	С учетом скидки	Без учета скидки	С учетом скидки
			44,3		500,3
			63,8		367,8
			82,3		310,3
	182,4			307,4	282,4
	152,0		117,3		269,3
	114,0		150,8		264,8
	91,2		183,4	341,2	274,6
			215,3		291,3
	65,1		246,9	415,1	312,0

В заключении сопоставим различные варианты расчета EOQ – экономического размера заказа. Для проведения расчетов были выбраны следующие исходные данные:

· А = 2400 ед., С₀ = 19 долл., С_n = 5 долл., i = 0,2;

· коэффициент β, учитывающий затраты на хранение, принимался равным 0,25, 0,5 и 0,75;

· значения цены С_n с учетом скидок были взяты из табл.6.3. и составили 5, 4 и 3 долл.; при расчете суммарных затрат с учетом скидок (дискретная зависимость) учитывались затраты на заказ и хранение;

· учет снижения цены С_n производился для двух зависимостей – линейной (уравнение (6.14), γ=0,0009) и нелинейной (уравнение (6.15),

a₀=0,6, b₀=0,996).

Таблица 6.8

Результаты расчета оптимальной величины заказа

Варианты	Коэффициент β
0,25	0,5	0,75
Основная модель (формула Уилсона)
С учетом скидок (дискретная зависимость)
· СS1(<200)
· СS2(201-400)
· СS3(401-600)
С учетом скидок
· линейная зависимость
· нелинейная зависимость
Примечания: *) в числителе – величина заказа, в знаменателе – суммарные затраты;
**) отсутствует оптимальное значение

Анализ результатов табл. 6.8 позволяет констатировать:

· величина заказа S₀ для различных вариантов расчета колеблется в широких пределах: от минимального значения S_0min=246 ед. до максимального S_0max=551 ед., т.е. более, чем в два раза;

· при β=const (например, β=0,5) колебания S₀ невелики – от 302 ед. до 370 ед.;

· суммарные затраты для представленных вариантов изменяются от 83 долл. до 378 долл., т.е. более чем в четыре раза.

· при β=const (β=0,5) диапазон значений уже – от 151 до 328 долл.

Таким образом, учет особенностей формулы Уилсона и ее модификаций позволяет повысить точность расчета путем выбора вариантов наиболее полно соответствующей системе осуществления заказов и хранения партий продукции конкретного предприятия.

Приведенные варианты определения оптимальной величины заказа расширяют границы ограничений принятых при выводе классической формулы Уилсона-Харриса и позволяет учесть влияние разных факторов, связанных с затратами на хранение партии товара на складе и скидок с оптовой цены в зависимости от размера заказываемой партии. С теоретической точки зрения при различном сочетании составляющих уравнения (6.1) возможно получение различных аналитических зависимостей – уравнений третьего, четвертого и более высоких порядков, в частности, кубического уравнения аналогичного уравнению Ван-дер-Вальса, используемого в термодинамике.