Методы решения многокритериальных задач. Свертка критериев

Столкнувшись с необходимостью учета многокритериальности, исследователи стали искать возможные подходы к решению задач оптимального выбора при многих критериях.

Простейшим способом устранения многокритериальности це­лей является перевод задачи выбора в русло однокритериальности, например, путем объединения всех частных (локальных) показателей эффективности fj(x) в один общий (глобальный) критерий качества f(x)= F(f₁(x) , f₂(x) ,… f_h(x) ). Подобный прием носит название свертки критериев.

Каждый частный критерий отражает какое-то отдельное ка­чество варианта решения. Наилучший вариант должен характеризоваться наиболее удачным сочетанием всех этих отдельных качеств. Таким образом, поиск лучшего варианта решения сводится к отысканию экстремума единственной функции f(x)

x* arg max f(x) (3.11)

x X^a

Остается только установить, как глобальное качество решения зависит от локальных качеств. Вид функции f(x) опреде­ляется тем, каким образом можно представить вклад каждого частного критерия f_j(x) в общий критерий качества. Заметим, что для этого должна существовать возможность содержатель­ного сопоставления критериев.

Достаточно популярным способом служит запись глобального критерия в виде суммы локальных критериев (так называемая аддитивная свертка)

или в виде их произведения (мультипликативная свертка)

Формула (3.12) выражает принцип равномерной оптимальности. Им обычно пользуются, когда частные критерии эффективности имеют одинаковую размерность, например, выражены в денежных единицах. Тогда глобальный критерий качества решения будет представлять собой общую ценность варианта, которая слагается из ценностей его отдельных составляющих.

Формула (3.13) отражает принцип справедливого компромисса, в соответствии с которым общее качество решения должно равняться нулю, если хотя бы один из частных критериев эффективности принимает нулевое значение. Подобный подход применяется, например, для оценки общей надежности функциони­рования сложной системы, состоящей из многих частей, узлов и блоков. Интересно, что принцип справедливого компромисса был сформулирован еще английским математиком Ч. Доджсоном (более известным как английский писатель Льюис Кэрролл) в книге «История с узелками».

Существенным недостатком указанных способов свертки кри­териев является равная важность или значимость критериев для ЛПР, при которой низкие оценки по одним критериям можно компенсировать только за счет высоких оценок по другим кри­териям. Вследствие этого лучшим может оказаться вариант решения, сочетающий не самые лучшие критериальные оценки.

Чтобы избежать такого несоответствия, часто используют взвешенные свертки частных критериев эффективности вида

, (3.15),

,

где w_j ≥ 0 — вес частного критерия f_j(x). Способ свертки частных критериев и значения их весов задаются ЛПР и отражают его предпочтения.

Некоторым промежуточным вариантом между крайне пессимистическими вариантами и крайне оптимистическими является критерии пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица):

(3.17)

где 0≤β≤- «коэффициент пессимизма» или, если хотите, «коэффициент оптимизма». При β=1 оценка превращается в минимальную, а при β=0 она максимально оптимистична. Необходимо подчеркнуть, что определение значения β – это прерогатива руководителя, и с этой точки зрения, оценка чрезвычайно субъективна. А также

(3.18

(3.19)

где a_i – коэффициенты важности критериев (весовые коэффициенты), определяемые в большинстве случае субъективно; ; с – некоторое фиксированное значение критерия f(x_i), например, некоторое его усредненное значение; f(x_i)- частный i-й показатель (критерий) эффективности; f_j(x_i) – частный i-й показатель (критерий) эффективности j-й альтернативы (проекта).

Выбор того или иного вида свертки определяется характером взаимосвязей составляющих ее критериев (равнозначные, доминирующие и т.п.), а также некоторыми специальными ограничениями на область значений свертки, вытекающими из специфики конкретной задачи и предпочтений руководителя. Если частные показатели неоднородные, то они либо сводятся к однородным, либо коэффициенты a_i учитывают не только важность, но и физическую размерность показателя.

Основная трудность, возникающая при формировании и использовании обобщенных критериев, заключается в сложности определения весовых коэффициентов, на которые возложена функция адекватного отражения степени важности критерия, его физической размерности и иногда других факторов. К недостаткам обобщенных критериев следует также отнести и то, что при оценке они не позволяют учитывать часто встречающуюся иерархическую зависимость результирующего показателя от значений частных показателей.

Однако это не означает, что СППР не должна использовать этот подход к оценке эффективности управляющих решений. Система предлагает его руководителю как один из возможных вариантов.

Многокритериальная оценка альтернатив решения может быть выполнена также на основе правил выбора по Парето.Здесь предпочтительным считается такой проект, для которого не существует другого проекта лучше данного хотя бы по одному показателю и не хуже него по всем остальным.

Описанные правила отбора не позволяют учесть относительную важность критериев оценки. Они нечувствительны к степени отличия значений критериальных показателей, и вероятность ошибки существенно повышается с ростом числа критериев.

Ряд методов анализа и отбора проектов основан на том, что критерий оценки формируется на основе характеристик того или иного выделенного аспекта реализации решения (главного критерия)-затраты, время, риски, вероятности успеха и т.п. В конечном итоге такой подход приводит к постановке и решению той или иной задачи математического программирования, в которой выделенный показатель выступает в качестве критерия, а к значениям остальных показателей предъявляются определенные требования, порождающие область ограничений.

В общем случае это приводит к решению многокритериальной задачи методом последовательных уступок,когда последовательно находится оптимальное решение по каждому из упорядоченных по важности критериев с назначением руководителем на каждом шаге решения задачи уступки величины по каждому из критериев, оптимизируемых на предыдущем шаге.

Пример. Требуется выбрать лучший вариант строительства предприятия из пяти предложенных вариантов A₁ – A₅. Проект предварительно оценивается по четырем частным показателям эффективности:

f₁ – величина ожидаемой прибыли, которую будет давать предприятие;

f₂ – стоимость строительства предприятия;

f₃ – величина экологического ущерба от строительства;

f₄ – заинтересованность жителей района в строительстве.

Для простоты будем считать, что оценки по каждому из четырех критериев даются по шкале: 5, 4, 3, 2, 1, 0 баллов. Поскольку оценки по второму и третьему критериям необходимо минимизировать, а не максимизировать, как по остальным, то вместо них введем критерии f’₂=5- f₂ и f’₃=5- f₃. По результатам экспертизы были получены следующие оценки качества проектов:

y₁ = (4; 3; 4; 3),

y₂ = (5; 3; 3; 3),

y₃ = (2; 4; 2; 4),

y₄ = (5; 3; 2; 3),

y₅ = (4; 4; 3; 4).

Сравним вектор y₁ с остальными векторами по отношению доминирования ≥ на множестве достижимости Y^а. В данном случае пары векторов y₁ - у₂, y₁ – y₃, y₁ – y₄, y₁ – y₅ несравнимы по отношению доминирования. Вектор y₁ запоминается как эффективный. Далее сравнивается вектор у₂ с векторами y₃, y₄, y₅. Пары векторов у₂ —y₃, у₂ —y₅ несравнимы. Так как у₂ > y₄, вектор у₄ удаляется из рассмотрения как доминируемый, а вектор у₂ запоминается как эффективный. Для сравнения остаются векторы y₃ и y₅. Поскольку y₅ > y₃, то вектор y₃ удаляется из рассмотрения как доминируемый. В итоге остаются три вектора y₁, y₂ и y₅, образующие паретову границу Y* С Y^a исоответствующие эффективные варианты А₁, А₂, А₅, среди которых и следует сделать окончательный выбор.

Чтобы еще больше сузить паретово множество Y* и выделить единственный наилучший вариант решения, необходима еще какая-то дополнительная информация, которую может дать только ЛПР.

Допустим, что ЛПР считает первый критерий y₁более важным, чем третий кри­терий y₃, с долевым коэффициентом относительной важности t₁₃ = 0,5. Пересчитаем третью компоненту каждого вектора y_i по формуле f’₃(A_i)=0,5f₁(A_i) + 0,5f₃(A_i). Получим новые векторы

y’₁ = (4; 3; 4; 3),

y’₂ = (5; 3; 4; 3),

y’₅ = (4; 4; 3,5; 4).

Очевидно, что вектор у'₂ доминирует вектор у’₁. Поэтому в сужен­ной паретовой границе Y’ останутся два вектора у'₂ и y’₅, соот­ветствующие эффективным вариантам A₂ и А₅, из которых и следует осуществлять итоговый выбор. Если ЛПР считает тре­тий критерий f₃ важнее первого критерия f₁ с таким же до­левым коэффициентом относительной важности важности t₁₃ = 0,5, то, пересчитав первую компоненту каждого вектора у_i по формуле f’₁(A_i)=0,5f₃(A_i) + 0,5f₁(A_i)получим векторы у’₁ = (4;3;4;3), у’₂ = (4;3;3;3), у'₅ = (3,5; 4; 3; 4). В таком случае в суженной паретовой границе Y’ останутся два вектора у'1 и у’₅, которые соответствуют эффективным вариантам А₁ и А₅.