Модель экономического роста Р. Солоу

Неоклассические модели роста начали разрабатываться в 50-х годах прошлого века, когда на первый план вышла проблема достижения экономического роста не столько за счет неиспользованных мощностей, сколько за счет технического прогресса. Методологической основой их моделей остались классическая теория факторов производства и предельной производительности.

Представители неоклассической школы критиковали кейнсианцев за игнорирование других факторов кроме накопления капитала, за рассмотрение капиталоемкости выпуска как величины постоянной, за их недооценку способности рынка восстановить равновесие. В отличие от неокейнсианцев они считали, что только свободная рыночная экономика может обеспечить сбалансированность экономического роста. Помимо рыночного механизма вторым условием возможности поддержания равновесного роста они считали устойчивость денежной системы. Поэтому неоклассики выступали против инфляционных государственных расходов, которые рекомендовали правительствам кейнсианцы в период кризисов, и рассматривали такие расходы как фактор нестабильности.

В 1956-1957гг. Р.Солоу опубликовал статьи, в которых предложил свою модель экономического роста. В 1957г. ему было присуждена Нобелевская премия по экономике.

В модели Р.Солоу выпуск продукции – функция не только капитала, но и труда, которые являются хорошими субститутами, и сумма коэффициентов эластичности выпуска по этим факторам равна единице. Другие предпосылки модели – убывающая предельная производительность капитала, постоянная отдача от масштаба, постоянная норма выбытия капитала, отсутствие инвестиционных лагов. Сначала модель описывает как система приходит в равновесие при отсутствии учета технического прогресса (т.е. при нейтральности технического прогресса) и постоянной отдаче от масштаба, затем в нее вводится технологические сдвиги посредством изменения нормы накопления капитала и убывающей отдачи от масштаба..

В модели используется производственная функция Кобба-Дугласа в форме (8.10). Она устанавливает зависимость между душевыми показателями выпуска и капиталовооруженности. Графическое представление данной функции дано на рис.8.3. По мере роста капиталовооруженности труда, его производительность возрастает со снижающейся скоростью.

Модель описывается следующим уравнениями, выражающими зависимость между экономическими показателями в пересчете на одного работника:

y=f(k) - совокупное предложение;

- потребление. Здесь s- норма сбережения (накопления).

у=с+i= (1-s)y+i =i/s – совокупный спрос. Здесь с и i – потребление и инвестиции. (Из равенства i=sy следует y=i/s )/

f(k)=i/s – равенство предложения и спроса.

i=sf(k) - инвестиции на одного работника. Они зависят от капиловооруженности и нормы накопления. Норма накопленbя определяет деление продукта на инвестиции и потребление при любом значении k. Поэтому чем выше k, тем выше уровень производства и больше инвестиции, т.е. существует связь между накопленным запасом капитала и накоплением нового капитала, что иллюстрирует рис.8.3.

Теперь рассмотрим, как изменяется запас капитала ( k).

Запас капитала изменяется в случае, когда его выбытие dk вследствие износа ранее накопленного капитала (d –норма амортизации) не равно инвестициям. Величина выбытия пропорциональна накопленному капиталу. На рис.8.4. эта связь отражается прямой, выходящей из точки начала координат с угловым коэффициентом d.

k= i-dk = sf(k)-dk - прирост запаса капитала на одного занятого.

Запас капитала (k) будет расти ( k>0) до уровня, при котором инвестиции будут равны величине выбытия. Затем величины выбытия и инвестиций уравновесят друг друга ( k=0).Уровень запаса капитала, при котором инвестиции равны выбытию, называетсяравновесным (устойчивым ) уровнем капиталовооруженности труда( ). При достижении экономика находится в состоянии долгосрочного равновесия.

Независимо от первоначального накопления капитала, с которого начинает развиваться экономика, она затем приходит в состояние равновесия. Если запасы капитала (k ) ниже устойчивого уровня, валовые инвестиции превышают выбытие (dk), запас капитала будет расти на величину чистых инвестиций и приблизится к , если запасы капитала (k ) выше , то произойдет обратный процесс. В точке равновесия валовые инвестиции станут равными выбытию, а чистые инвестиции k будут равны нулю.

На равновесный уровень капиталовооруженности влияет норма накопления (сбережения). Рост нормы сбережения с s до s сдвигает кривую инвестиций вверх из положения s f(k) в s f(k) (см. рис.8.5). При этом экономика переходит в новое состояние долгосрочного равновесия. Более высокая норма сбережения обеспечивает больший запас капитала и более высокий уровень производства.Страны с более высокой долей инвестиций в ВВП имеют и более высокий уровень жизни.

Но процесс накопления в результате повышения нормы сбережения не объясняет механизм непрерывного экономического роста, а лишь показывает переход экономики из одного равновесного состояния в другое. Поэтому Р.Солоу, развивает модель и вводит в нее факторы технического прогресса и роста численности населения.

Равновесный уровень капиталовооруженности при росте населения. Пусть население растет с постоянным темпомn. Если при этом другие условия не изменяются, то рост населения будет вести к снижению капиталовооруженности труда. Теперь уравнение, показывающее изменение запасов капитала на одного работника будет выглядеть:

k=i –dk-nk =i-(d+n)k

На поддержание капиталовооруженности при росте численности населения необходим такой объем инвестиций, который не только покрывал бы выбытие капитала, но и обеспечивал бы капиталом новых работников. Произведение nk показывает, сколько требуется дополнительного капитала в расчете на одного занятого, чтобы капиталовооруженность увеличившегося количества работников не отличалась от уровня до повышения численности занятых.

Уравнение, формализующее условие сохранения устойчивого равновесия в экономике при росте занятости, выглядит как:

k=sf(k)-(d+n)k = 0 или sf(k)=(d+n)k

Это означает, что инвестицииsf(k) должны компенсировать и выбытие капитала и рост населения. Но из постоянства капиталовооруженности при росте населении следует, что капитал должен возрастать с тем же темпом, что и население, т.е.

Y/Y= L/L= K/K

Отсюда следует, что рост населения вызывает рост экономический рост в условиях устойчивого состояния экономики. Но если рост населения не сопровождается увеличением инвестиций, то это ведет к уменьшению капиталоемкости и уменьшение душевого дохода (рис.8.6).

Учет в модели Р.Солоу технического прогресса. Третьим источником экономического роста после инвестиций и роста занятых, является технический прогресс. Включение технического прогресса в производственную функцию приводит ее к следующему виду:

Y=f(K,L,e),

где е – эффективность труда;

Lе – численность условных единиц труда с постоянной эффективностью.

Технический прогресс проявляется в приросте эффективности труда с постоянным темпом g. Такая форма технического прогресса называется трудосберегающей, а g - темпом трудосберегающего технического прогресса. Если, например, g=0,02, то отдача от каждой единицы труда увеличиться на 2% в год. Это равносильно росту численности занятых на 2%. Например, в текущем году 100 рабочих могут произвести столько продукции, сколько в предыдущем году производили 102 рабочих. Или, по другому, можно считать, что в базовом году Le =100, а в следующем году, когда наблюдался технический прогресс, Le =102 работникам, производительность которых осталась на уровне базового года.

Таким образом, технический прогресс может быть отражен в модели аналогично росту населения, но без снижения уровня капиталовооруженности. Уравнение, выражающее в равновесной точке равенство между объемом инвестиций и выбытием части ранее накопленного капитала, выглядит теперь следующим образом:

k=sf(k) – (d+n+g)k =0

где g – темп технического прогресса, который как будто приводит к более быстрому обесценению действующего оборудования.

В новом устойчивом состоянии (k ) общий объем капитала К и выпуска Y будет расти с темпом (n+g). Но в отличие от случая роста населения теперь с темпом g будут расти капиталовооруженность (K/L) и выпуск (Y/L) в расчете на одного занятого. Это означает, что технический прогресс в модели Р.Солоу является единственным условием непрерывного экономического роста и роста уровня жизни, поскольку лишь при его наличии происходит устойчивый рост выпуска на душу населения.

В модели Р.Солоу норма сбережения s является экзогенным фактором. При любой заданном s экономическая система приходит со временем в некоторое состояние равновесия, которое характеризуется своим уровнем выбытия капитала и, следовательно, уровнем потребляемого дохода. Модель Солоу помогает найти тот уровень сбережений, который позволяет максимизировать потребляемый доход. Условие, при котором достигается максимальный уровень потребления американский экономист Э.Фелпс в работе «Басня для тех, кто занимается ростом» (1961) назвал «золотым правилом» накопления.

В устойчивом состоянии:

c =f(k ) - i = f(k )- dk

где с - потребление в устойчивом состоянии.

В соответствии с «золотым правилом»,уровень потребления будет самым высоким при достижении наибольшей разницы между объемом выпуска f(k ) и объемом выбытия dk в условиях устойчивого уровня капиталовооруженности,когда dk = i . Потребление в этом случае называется устойчивым уровнем потребления:

с =f(k )- dk

Запас капитала, который обеспечивает устойчивое состояние при таком потребление, называется «золотым уровнем» накопления капитала (k ). На рис.8.8. показано как можно найти с и k графическим способом. При уровне капиталовооруженности k , соответствующему «золотому правилу», выполняется условие МРК =d (предельный продукт капитала равна норме выбытия), а с учетом роста населения и технического прогресса

MPK=d+n+g

На основании результатов, полученных из анализа модели Солоу, неоклассики дали несколько рекомендаций для разработчиков экономической политики. Норму сбережения следует увеличивать или уменьшать в зависимости от отношения фактического запаса капитала по отношению к запасу капитала, рекомендуемого в соответствии с «золотым правилом».

Если, например, экономика начинает развиваться с меньшей капиталовооруженностью, чем при устойчивом состоянии по «золотому правилу», то необходимо увеличить норму сбережений. В этом случае повысятся инвестиции и снизится потребление , но по мере накопления капитала с некоторого момента потребление начнет снова расти. Экономика достигнет нового равновесного состояния, при котором в соответствии с «золотым правилом» потребление будет иметь более высокий уровень.

Поскольку единственным фактором долгосрочного экономического роста, как следует из модели Р.Солоу, является технический прогресс, правительства многих стран мира проводят государственную политику по его стимулированию, используя различные инструменты.

Рассмотренная модель не лишена недостатков. Как любое формальное описание, она содержит много упрощающих предпосылок; некоторые экзогенные переменные следовало бы не задавать до исследования, а находить в процессе исследований, т.е. сделать эндогенными; не учитываются некоторые важные ограничители роста, например, экологические и т.д. Эти и другие недостатки пытаются преодолеть современные теории экономического роста.

Тесты и задачи

1. Экономика страны описывается производственной функцией вида / Известно, что темп прироста капитала равен 3% в год, а численности занятых – 2%. Общая производительность факторов (параметр А) растет с темпом 1,5% в год. Как меняется объем производства?

Решение. Изменение выпуска можно представить как , где MPK и MPL – предельные производительности соответствующих факторов. Разделим это выражение на Y=AF(K,L) и получим : . Второе и третье слагаемое правой части уравнения умножим и разделим на К и L: , где в скобках стоят доли капитала и труда в общем выпуске. Сумма этих долей равна 1 (условие постоянной отдачи от масштаба). Отсюда , где , . (коэффициенты при К и L в заданной производственной функции).

В результате получим , т.е. выпуск растет с темпом 3,9% в год.

2. Дана производственная функция . Норма сбережения s равна 0,2, норма выбытия d – 5%, темп роста населения n составляет 2% в год, темп трудосберегающего технического прогресса g равен 3%. Каким будет запас капитала и объем выпуска в расчете на одного занятого в устойчивом состоянии? Соответствует ли устойчивая фондовооруженность уровню, при котором достигается максимальный объем потребления («золотому правилу»)? Какой должна быть норма сбережения в соответствии с «злотым правилом»?

Решение. Представим все параметры функции в расчете на одного занятого (разделим обе части на L). Тогда , где k = K/L. В соответствии с условием устойчивого состояния экономики инвестиции должны быть равны выбытию, т.е. i=sy=s =dk. С учетом роста населения и технологического прогресса формула принимает вид s =(d+n+g)k. Отсюда =s/(d+n+g)=0,2/(0,05+0,02+0,03)=2. k=4. Соответственно y= =2.

По условию «золотого правила» MPK=d+n+g. Предельный продукт капитала найдем как производную функции y= : =d+n+g=0,1. Отсюда следует, что k=25. Таким образом, исходная фондовооруженность (k=4) не соответствует условиям достижения максимума потребления. Очевидно, норма накопления в соответствии с «золотым правилом» должна быть выше и соответствовать условию sy= (d+n+g)k, где y= =5 и s=0,5. Таким образом, норма сбережения в соответствии с «золотым правилом» должна быть равна=0,5, или 50%.

3. В соответствии с моделью Солоу при темпе трудосберегающего прогресса g и темпе роста населения n темп прироста общего выпуска в устойчивом состоянии равен:

а) n; б) g; в) 0; г) n+g.

4. Производственная функция имеет вид . Если общая производительность факторов расетет с темпом 2% , темп роста выпуска равен 5,9%, а капитал растет с темпом 6%, то численность занятых увеличивается с темпом:

а) 3,3%; б) 2,1%; в) 3%; г) 0,8%.

5. В модели Солоу производственная функция имеет вид . Норма выбытия капитала составляет 5%, население растет на 1% в год, темп технологического прогресса равен2%. Тогда норма сбережения соответствующая «золотому правилу», составляет:

а) 64%; б) 20%; в) 50%; г) 31,25%.

6. Производственная функция имеет вид . Срок службы капитала составляет 20 лет. Рост населения и технологический прогресс отсутствуют. Определите устойчивый уровень выпуска в расчете на одного занятого, соответствующий условиям «золотого правила»:

а) 10004; б) 150; в) 1500; г) 300.

7. В теориях экономического роста:

а) показывается, какими темпами должны развиваться разные группы стран – богатые, среднеразвитые и бедные;

б) объясняется, как достигается полная занятость труда, капитала и природных ресурсов;

в) раскрываются причины отклонений от траектории устойчивого равновесного роста экономики;

г) исследуются факторы, обеспечивающие совместимость динамического равновесия с полной занятостью;

д) показывается и объясняется то, что описано в пунктах а) и б);

е) объясняется и исследуется, что указано в пунктах б) и г).

8. Неокейнсианские модели роста отличаются от неоклассических тем, что в них:

а) экономический рост обеспечивается лишь полной занятостью ресурсов;

б) коэффициент капиталовооруженности труда является постоянным;

в) экономический рост характеризуется неустойчивостью;

г) экономический рост обеспечивается полной занятостью ресурсов и характеризуется неустойчивостью;

д) коэффициент капиталовооруженности труда постоянен и экономический рост неустойчив.

9. В модели Е.Домара главная роль в обеспечении экономического роста отводится:

а) инвестициям как фактору роста;

б) инвестициям как фактору предложения;

в) сбалансированному росту национального дохода;

г) организации производства как фактору роста;

д) факторам, описанным в пунктах в) и г);

е) другими факторами, кроме указанных в пунктах а)-д).

10. В модели Р.Харрода под естественным темпом роста понимается:

а) темп, при котором достигается полная занятость;

б) темп, необходимый для поддержания динамического равновесия экономической системы с учетом прироста трудовых ресурсов и технического прогресса;

в) совпадение гарантированного темпа роста с фактическим;

г) темп, при котором инвестиции совпадают со сбережениями.

11. В неоклассических моделях роста главный упор делается на:

а) труд, как фактор роста;

б) капитал, как фактор роста;

в) эффективное сочетание труда и капитала;

г) экономии факторов производства и улучшения организации производства.

Ответы: 3) г, 4) в, 5) в, 6) б, 7) г, 8) д, 9) в, 10) в, 11) в.

Литература

1. Ивашковский С.Н. Макроэкономика. – М., 2002.

2. Аукционек С.П. Современные буржуазные теории и модели цикла (критический анализ). – М., 1984

3. Столерю Р. Равновесие и экономический рост. – М., 1974.

4. Агапова Г.А., Серегина С.Ф. Макроэкономика 4-ое изд. М., 2001.