Решение ВЗЛП при равнозначных критериях в системе Matlab

Для решения векторной задачи линейного программирования (5.5.21)-(5.5.24) представим исходные данные в системе Matlab.

Формируется векторная целевая функция в виде матрицы: Cvec = [-25.0 -25.0; -5.0 -8.0; 5.0 6.0]; матрица линейных ограничений: a = [5. 6.; -1. -1.]; вектор, содержащий ограничения (b_i): b=[3000. -300]; ограничения равенства: Aeq=[]; Beq=[]; вектор ограничений на переменные – нижний и верхний: lb=[0. 0.], lu=[500. 400.]; вектор начальных условий: X0=[0. 0.];

Алгоритм представим как последовательность шагов.

Шаг 1. Решение по каждому критерию.

1) Решение по первому критерию – наилучшее и наихудшее:

[X1,f1]=Linprog(Cvec(1,:),a,b,Aeq,Beq,lb,lu,X0), где Х1 - вектор оптимальных значений переменных по первому критерию; f1 – величина целевой функции в этой точке. X ={x₁=500, x₂=83.33}; f1=f =14583.

[X1min,f1min]=Linprog(-1*Cvec(1,:),a,b,Aeq,Beq, lb,lu,X0),

X ={x₁=151.7, x₂=148.3}; f1min=f =7500.

2) Решение по второму критерию – наилучшее и наихудшее:

[X2,f2]=Linprog(Cvec(2,:),a,b,Aeq,Beq, lb,lu,X0)

X = {x₁ = 120, x₂ = 400}, f2=f =3800.

[X2min,f2min]=Linprog(-1*Cvec(2,:),a,b,Aeq,Beq, lb,lu,X0),

X ={x₁=300.0, x₂=0.0}; f2min=f =1500.

Рис. 5.4. Условия и результаты решения ВЗЛП

3) Решение по третьему критерию – наилучшее и наихудшее:

[X3,f3]=Linprog(Cvec(3,:),a,b,Aeq,Beq, lb,lu,X0)

X = {x₁ = 300, x₂ = 0}, f3=f =1500.

[X3max,f3max]=Linprog(-1*Cvec(3,:),a,b,Aeq,Beq, lb,lu,X0),

X ={x₁=232.0, x₂=306.6}; f3max=f =3000.

Полученные точки оптимума представлены на рис.5.4.

Шаг 2. Выполняется анализ критериев в ВЗЛП, для чего в оптимальных точках X , X , X определяются величины целевых функций F(X^*)={{f_q(X ), q= }, k= } и относительные оценки l(X^*)={{l_q(X ), q= }, k= }:

= , = ,

где l_k(X) = (f_k(X) - f )/(f - f ), k= , f =f_k(X ).

Из матрицы l(X^*) вытекает, что в оптимальных точках критерии первый и второй достигают 0,7 от своих оптимальных величин, а третий критерий наиболее противоречив с первыми двумя (они равны нулю в X ).

Шаг 3. Строится l-задача:

l^o = max l, (5.5.25)

при ограничениях: l - £ 0, (5.5.26)

l - £ 0, l - £ 0, (5.5.27)

5 x₁ + 6 x₂ £ 3000, x₁ £ 500, x₁ £ 400, x₁ + x₂ ³300, x₁³0, x₂³0. (5.5.28)

Для решения задачи (5.2.23)-(5.2.26) в системе Matlab задаются следующие параметры: коэффициенты целевой функции cvec0 = [-1. 0. 0.];

матрица линейных ограничений

a0=[1. -25./d1 -25./d1;

1. -5./d2 -8./d2;

1. -5./d3 -6./d3;

0. 5. 6.;

0. -1. -1.], где d1=(f - f ), d2=(f -f ), d3=(f - f );

вектор ограничений (b_i): b0 = [- f /d1 -f /d2 -f /d3 3000. 300.];

вектор ограничений на переменные – нижний и верхний:

lb=[0. 0.], lu=[500. 400.]; вектор начальных условий: x0 = [0.0 0.0 0.0].

Обращение к функции Linprog представлено в виде:

[Xo, Lo]=Linprog(cvec0,a0,b0,Aeq,Beq,x0)

Результаты решения l-задачи:

оптимальные значения переменных: X^o={x₁=0.4671, x₂=294.8, x₃=13104};

оптимальное значение целевой функции: l^o = 0.4671 –

представлены на рис. 5.5. Выполним проверку: f₁(X^o)=10809, f₂(X^o)=2574, f₃(X^o)=2299, l₁(X^o)=l₂(X^o)=l₃(X^o)=0.4671, т. е. l^o £ l_k(X^o), k=1,2,3.

Результаты проверки показывают, что данном примере относительные оценки по каждому критерию равны между собой и ракны максимальному относительному уровню l^o, т. е. точка X^o оптимальна по Парето.

На рис. 5.5 представлены три нормализованные плоскости l₁(X), l₂(X), l₃(X) и область ограничений, общий вид которой показан на рис. 5.4. Область ограничений искусственно опущена до уровня l(X)=3, (чтобы была видна на рис.). На этом рис. нормализованные плоскости объемов продаж l₁(X) пересекаются с прибылью l₂(X) и обе вместе пересекаются с плоскостью минимального планового задания l₃(X).

Рис. 5.5. Целевые функции и результаты моделирования годового плана на области ограничений

Точка пересечения есть X^o, где l^o = min(l₁(X^o), l₂(X^o), l₃(X^o))=0.4671. Любая попытка увеличить один из критериев приводит к уменьшению других критериев, т. е. точка X^o оптимальна по Парето.

Анализ результатов решения и принятие окончательного решения.

Для анализа результатов решения рассмотрим, во-первых, пределы изменения критериев, и, во-вторых, ограничения по ресурсам.

Пределы изменения критериев оценим при переходе от точки X^o до точки оптимума по соответствующему критерию: f₁(X^o)=10809£f₁(X)£14583=f₁(X ),

f₂(X^o)= 2574 £f₂(X)£ 3800=f₂(X ), f₃(X^o)= 2299 ³f₃(X)³ 1500=f₃(X ),

по ресурсам: r₁(X^o)=2299.3 £ r₁(X) £ 3000=r₁(X ), и минимальному плану: r₂(X^o)= 432.4 ³ r₂(X) ³ 300.

Эта информация является основой для корректировок параметров модели и принятие окончательного решения.