Управление частотой поставки заказов

Ограничения на издержки хранения

(без учета временной стоимости денег)

Здесь сначала рассмотрим простейшую ситуацию, в рамках которой ЛПР задает ограничиваемый им показатель J в (*) именно как показатель среднегодовых потерь, обусловливаемых издержками хранения. Предварительно представим атрибуты соответствующего анализа применительно к интересующим нас одно-номенклатурным моделям систем управления запасами. Напомним, что при оптимальной стратегии управления в случае, когда дополнительно накладываемые ограничения (*) отсутствуют, соответствующий средний годовой объем хранимого товара определяется величиной q₀/2, где q₀ обозначает так называемый экономичный размер заказа, характеризуемый формулой Уилсона (см. главу 2). Поэтому, с учетом указанной формулы имеем следующее равенство для среднего годового объема хранимого товара, если параметры стратегии соответствуют традиционным рекомендациям теории

q₀/2 = .

Понятно, что в рамках такой модели при оптимальной стратегии управления запасами соответствующие издержки хранения, которые в соответствии с (*) мы обозначаем через J , составят за год величину J₀ , причем

J₀ = .

При наличии ограничений вида (*) особенности корректирующих процедур при оптимизации стратегии управления запасами - следующие.

1. Если J₀ ≤ J_доп , то представленную ранее в главе 2 традиционно рекомендуемую оптимальную стратегию (с использованием формул Уилсона) менять не следует, т.к. накладываемое ограничением (*) условие будет выполняться в рамках классических процедур оптимизации, а суммарные издержки - вообще будут минимально возможными.

2. Если J₀ ≥ J_доп , то указанную стратегию требуется корректировать, т.к. накладываемое ограничением ЛПР условие (*) для классической оптимальной стратегии не выполняется, причем необходимо понимать, что при этом в рамках соответствующей (любой) корректировки суммарные издержки несколько увеличатся.

В последнем случае (J₀ ≥ J_доп) применительно к интересующей нас модели управления запасами для снижения анализируемых издержек хранения J₀ до требуемого ЛПР уровня J_доп необходимо соответственно уменьшить размер заказа и сократить длительность интервала повторного заказа (относительно их традиционно рекомендуемых значений q₀ и Т₀, определяемых формулами Уилсона). Другими словами, необходимо соответственно увеличить частоту поставок товара.

Рис. 11.1. Соотношения анализируемых издержек для T₀(J_доп) < Т₀.

А именно, чтобы найти оптимальные значения указанных параметров для стратегии управления запасами с учетом требуемого ЛПР ограничения (*) составим неравенства относительно неизвестных значений для параметров q и Т соответственно, обусловливаемые этим ограничением:

Нетрудно видеть, что применительно к ситуации J₀ ≥ J_доп для оптимальных параметров стратегии (обозначим их через q₀(J_доп) и T₀(J_доп) соответственно) с учетом требуемого ограничения (*) имеем

q₀(J_доп) = 2J_доп/C_h

T₀(J_доп) = 2J_доп/(D C_h)

Соответствующая графическая иллюстрация представлена на рис. 11.1.

Разумеется, использование указанных выше параметров q₀(J_доп) и T₀(J_доп) вместо параметров q₀ и T₀ (определяемых формулами Уилсона) для стратегии управления запасами обусловит:

Ø с одной стороны, - будет обеспечено выполнение требуемого ЛПР ограничения (*) на величину средних годовых потерь, обусловливаемых издержками хранения;

Ø с другой стороны, - будет иметь место некоторое увеличение суммарных годовых потерь на поставки, несмотря на снижение издержек хранения до требуемого ЛПР показателяJ_доп , что, в частности, иллюстрирует рис. 11.1 (численные иллюстрации представлены ниже на примере условной ситуации управления запасами).

ПРИМЕР 11.1. (Одно-номенклатурная модель с учетом задаваемых ЛПР ограничений).

Для иллюстрации соответствующих процедур нахождения параметров оптимальной стратегии управления запасами применительно к рассматриваемой модели с требуемым ЛПР ограничением на средние годовые выплаты издержек хранения, рассмотрим условную ситуацию, представленную в главе 2 примером 2.2, когда ограничения при оптимизации стратегии управления запасами отсутствовали, причем временную стоимость денег также не учитываем. Пусть, как и в указанном примере,

· D=800 (ед. тов.) – объем годового потребления (при постоянном спросе);

· C_о=20 (у.е.) – накладные издержки на одну поставку (т. е. стоимость подачи заказа);

· C_п=100 (у.е.) – стоимость единицы товара;

· C_h=20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара, составляющие 20% стоимости товара.

Дополнительно, как и ранее, полагаем C_оп = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара).

Кроме того, в отличие от условий рассмотренного ранее в главе 2 примера 2.2, здесь нас интересует модификация модели, в рамках которой при оптимизации стратегии управления запасами ЛПР накладывает следующее ограничение. Например, учитывая ограниченный размер доступного для него капитала и весьма объемный список номенклатуры товаров ЛПР считает, что при оптимизации стратегии управления запасами данного товара необходимо обеспечить выполнение условия C_h∙q/2 ≤ 250 (у.е./год). Другими словами, требуется, чтобы среднегодовые издержки хранения по данной номенклатуре товара не превосходили указанного порогового значения 250 (у.е./год).

Приведем параметры оптимальных стратегий управления запасами как для модели с учетом заданных ограничений, так и для модели без учета таковых, и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Предварительно напомним, что оптимальные значения параметров q₀ и Т₀ в рамках такой классической модели управления запасами (без учета требуемых ЛПР ограничений), как было показано в примере 2.2 главы 2, составляют:

q₀ = 40 (ед. тов.)

T₀ = 0,05 (года)

Найдем среднегодовые выплаты издержек хранения J₀ для анализируемой номенклатуры товара при такой стратегии управления запасами. Нетрудно видеть, что они составят

J₀ = C_h∙q₀/2 = 20 ∙40/2 = 400(у.е./год)

Как видим, такая сумма превышает предельно допустимое для ЛПР значение этого показателя (250 у.е./год). Поэтому соответствующую оптимальную стратегию необходимо далее корректировать. В частности, рассмотрим возможности управления на основе увеличения частоты поставок анализируемого товара. А именно, в такой ситуации для оптимального размера заказа, используя представленный выше алгоритм (имеет место случай J₀ ≥ J_доп ), получаем

= = 25 (ед. тов.)

Аналогично, для оптимальной длительности интервала повторного заказа в этом случае имеем

= = 0,03125

Далее непосредственными расчетами определяем, что соответствующие суммарные годовые затраты (обозначим их через ) при такой стратегии с учетом указанной корректировки составят

= + 20∙25/2 + 800∙100 = 80 890 (у.е./год)

При оптимальной стратегии, но без учета накладываемых ЛПР ограничений, соответствующие суммарные годовые затраты (обозначим их через ) составили бы

= + 20∙40/2 + 800∙100 = 80 800 (у.е./год).

Сравнивая эти показатели годовых затрат между собой, видим, что в этой ситуации их величина для анализируемого товара за счет учета заданных ЛПР ограничений увеличилась. А именно, - она увеличилась на 80 890 – 80 800 = 90 (у.е.). В то же время значение показателя среднегодовых выплат, обусловливаемых издержками хранения, уже не превышает соответствующего требуемого ЛПР порогового уровня.

Моделирование многономенклатурной модели

Теперь представим соответствующие атрибуты такого анализа применительно уже к многономенклатурным моделям систем управления запасами. Напомним, что при оптимальной стратегии, если дополнительно накладываемые ограничения (*) отсутствуют, то размер заказа по i-товару задается равенством (см. главу 7)

q_0i =

где

¨ - скалярное произведение векторов и ;

¨ - вектор годового потребления соответствующих i-товаров;

¨ - вектор годовых издержек хранения этих товаров.

Поэтому среднегодовой объем хранимого i-товара составляет

= .

Соответственно, среднегодовые потери, обусловливаемые издержками хранения для i-товара будут равны

J_0i = .

Таким образом, суммарные (по всей анализируемой номенклатуре товаров) соответствующие годовые издержки хранения (снова обозначаем их, как и для одно-номенклатурной модели, через J₀) определяются соотношением

J₀ =

При наличии ограничений вида (*) применительно к многономенклатурной модели управления запасами особенности корректировки оптимальной стратегии остаются такими же, как для однономенклатурной модели. А именно, -

1. Если J₀ ≤ J_доп , то представленную ранее в главе 7 традиционно рекомендуемую оптимальную стратегию менять не следует, т.к. накладываемое ограничением (*) условие, оказывается выполненным непосредственно в рамках классических процедур оптимизации, а суммарные издержки - минимально возможные.

2. Если J₀ ≥ J_доп , то указанную стратегию требуется корректировать, т.к. накладываемое ограничением ЛПР условие (*) для традиционно рекомендуемой стратегии не выполняется, причем и в этой ситуации необходимо понимать, что в рамках соответствующей корректировки суммарные издержки несколько увеличатся.

В последнем случае применительно к многономенклатурной модели управления запасами сначала находим длительность T₀(J_доп) соответствующего интервала повторного заказа в рамках общих поставок анализируемой номенклатуры товаров, при котором будут выполнены требуемые ЛПР в (*) ограничения. А именно, - решаем следующее неравенство относительно неизвестного Т:

Нетрудно видеть, что применительно к ситуации J₀ > J_доп (когда потребуется корректировка стратегии) для оптимальных параметров T₀(J_доп) и q₀(J_доп) в рамках соответствующей стратегии управления запасами с учетом требуемого ограничения (*) имеют место следующие соотношения.

Интервал повторного заказа (общие поставки в ситуации J₀ > J_доп)

T₀(J_доп) = 2J_доп /

Размеры заказов (i-товаров в ситуации J₀ > J_доп)

q₀(J_доп) = 2D_i∙J_доп /

Ограничения на среднюю стоимость запасов

(без учета временной стоимости денег)

Рассмотрим теперь ситуацию, в рамках которой величина J в (*) представляет именно среднюю годовую стоимость запасов. Другими словами, рассматриваем случай, когда при оптимизации системы управления запасами ЛПР требует ограничить показатель средней стоимости запасов (соответственно и величину «замороженных» в запасах денежных средств) в течение года. Сначала представим атрибуты соответствующего анализа применительно к интересующим нас одно-номенклатурным моделям управления запасами. Напомним, что при отсутствии ограничений (*) соответствующая оптимальная стратегия управления запасами характеризуется так называемым экономичным размером заказа (q₀). Поэтому средняя годовая стоимость запасов будет составлять С_П q₀ /2. Значение именно такой величины требует ограничить ЛПР в рамках рассматриваемой здесь модификации модели. Таким образом, применительно к данной ситуации именно это значение представляет J = J₀ в (*), причем теперь для показателя J₀ имеем равенство

J₀ = С_П .

При наличии ограничения вида (*) отмеченная выше (в рамках предыдущей модификации модели) особенность корректировки оптимальной стратегии, свойственной традиционной модели, сохранится. А именно:

1. Если J₀ ≤ J_доп , то представленную ранее в главе 2 традиционно рекомендуемую оптимальную стратегию (с использованием формул Уилсона) менять не следует, т.к. накладываемое ограничением (*) условие выполняется уже непосредственно в рамках классических процедур оптимизации, а суммарные издержки останутся минимально возможными.

2. Если J₀ ≥ J_доп , то указанную стратегию необходимо корректировать, поскольку накладываемое требованием ЛПР ограничение (*) для классической оптимальной стратегии не выполняется, причем необходимо понимать, что при этом в рамках соответствующей корректировки суммарные издержки несколько увеличатся.

Разумеется, при этом в последнем случае (J₀ ≥ J_доп) для анализируемой модели системы управления запасами в рамках управления на основе изменения частоты поставок потребуется (чтобы обеспечить задаваемые ЛПР ограничения (*)) соответствующее снижение средней годовой стоимости запасов до приемлемого с точки зрения ЛПР уровня J_доп . Для этого, как и в предыдущей ситуации, потребуется уменьшить размер заказа q₀ и интервал повторного заказа Т₀ (определяемые формулами Уилсона), а следовательно, - увеличить частоту поставок. В частности, для нахождения оптимальных значений этих параметров с учетом заданных ЛПР ограничений (*) по аналогии с предыдущей ситуацией (ограничения на издержки хранения) составим неравенства относительно неизвестных q и Т соответственно:

Таким образом, в ситуации, когда ограничения (*) применительно к классическим рекомендациям не выполняются, для оптимальных значений (обозначим их снова через q₀(J_доп) и T₀(J_доп) ) параметров q и Т с учетом (*) находим равенства:

q₀(J_доп) = 2J_доп/C_П

T₀(J_доп) = 2J_доп/(D C_П)

Графическая иллюстрация для такой ситуации вполне аналогична той, которая представлена на рис. 11.1, и поэтому здесь не приводится.

Подчеркнем, что переход от параметров q₀ и T₀ (определяемых формулами Уилсона для традиционных процедур оптимизации стратегии управления запасами) к представленным параметрам q₀(J_доп) и T₀(J_доп) соответственно снова повлечет следующее:

Ø требуемое ЛПР ограничение (*) на величину среднего объема «замороженных» в запасах денежных средств, обусловливаемых необходимостью хранения запасов, будет выполняться;

Ø при этом, разумеется, показатель суммарных годовых потерь (издержки поставок и хранения) несколько увеличится по сравнения с минимально возможным его значением, соответствующим ситуации, когда используются показатели q₀ и T₀ для стратегии управления запасами (см. рис. 11.1).

Моделирование многономенклатурной модели

Теперь представим атрибуты интересующего нас анализа применительно к многономенклатурным моделям систем управления запасами такого типа. Напомним, что для многономенклатурной модели при оптимальной стратегии в ситуации, когда накладываемое ограничение (*) отсутствует, соответствующий средний годовой объем хранимого в запасах i-товара составляет q_0i/2 (формула приведена выше). Поэтому средний годовой объем “замороженных” в запасах i-товара денежных средств составит (обозначаем их через J_0i)

J_0i =

Здесь, как уже отмечалось выше, используются обозначения:

¨ - скалярное произведение векторов и ;

¨ - вектор годового потребления соответствующих i-товаров;

¨ - вектор годовых издержек хранения этих товаров.

Соответственно суммарный среднегодовой объем “замороженных” в запасах денежных средств по всей номенклатуре товаров равен

J₀ = .

где

¨ - скалярное произведение векторов и ;

¨ - вектор стоимостей i-товаров.

Наличие ограничения вида (*) применительно к процедурам оптимизации стратегии управления запасами для рассматриваемой многономенклатурной модели оставляет прежними отмеченные выше особенности таких процедур. В частности, корректировка параметров q_0i и T₀ (определяемых формулами главы 7) потребуется только в случае, когда неравентство J₀ ≤ J_доп не будет выполняться. В указанном случае модификация стратегии управления запасами (представленной в главе 7), как уже было сказано, потребуется, причем необходимо будет сократить длительность периода времени между общими поставками товаров и соответственно сократить объемы заказов i-товаров в партии общей поставки. Для нахождения оптимального такого значения длительности времени между общими поставками товаров с учетом требований ЛПР к допустимому объему (J_доп) «замороженных» в запасах денежных средств (снова обозначаем такой период времени через T₀(J_доп)) составляем следующее неравенство относительно неизвестной переменной Т:

.

В рассматриваемом случае его решением будет следующее оптимальное значение периода повторного заказа T₀(J_доп) при общих поставках товаров с учетом задаваемого ЛПР ограничения (*).

Интервал повторного заказа (общие поставки в ситуации J₀ > J_доп)

T₀(J_доп) = 2J_доп / .

Соответственно, применительно к ситуации J₀ > J_доп для оптимальных параметров q_0i(J_доп) размеров заказов i-товаров в партии общей поставки с учетом требуемого ограничения (*) имеем следующие соотношения.

Размеры заказов (i-товаров в ситуации J₀ > J_доп)

q₀(J_доп) = 2D_i∙J_доп / .

Для иллюстрации представленных алгоритмов оптимизации стратегии управления запасами с учетом ограничений на объем денежных средств, «замороженных» в запасах, а также для иллюстрации величины отклонений суммарных годовых издержек (от минимально возможных их значений без учета указанных ограничений) при реализации требований ЛПР, задаваемых ограничениями вида (*) в многономенклатурных моделях управления запасами, рассмотрим следующую условную ситуацию применительно к условиями примера 7.1.