При выплате издержек хранения пренумерандо

Для определения оптимального размера партии заказа следует просто сравнивать интенсивности потоков доходов соответственно при q = q₀^*; при q = q₁ и при q = q₁^*, выбрав тот размер партии заказа из указанных трех возможных вариантов, при котором такая интенсивность будет большей. Соответственно тогда и потери в интенсивности потока доходов, характеризуемые функцией f(q) будут наименьшими (см. соответственно рис. 5.4- 5.5).

Другими словами, рассматривая интенсивность потока доходов F = F(q) как функцию переменного q находим ее точку максимума с учетом имеющегося разрыва (I –го рода) этой функции. Для этого, как мы уже понимаем, достаточно сравнить лишь три значения этой функции: а) - в точке q = q₀^* (с ценой соответствующей партии товара без скидки); в) - в точке q = q₁ (с ценой соответствующей партии товара, предполагающей скидку); с) - в точке q = q₁^* (с ценой соответствующей партии товара, также предполагающей скидку). Учитывая (*) легко видеть, что формулы для расчета указанных значений интенсивностей потоков доходов, которые требуется сравнивать между собой, – следующие:

а) при q = q₀^* имеем

F(q₀^*) = D × (Р_П0 – С_0П0 ) – С₀ × ( ) – С_h × -

- × q₀^*×(C_0П0 + С_П0 + ) ;

в) при q = q₁ имеем

F(q₁) = D × (Р_П1 – С_0П1 ) – С₀ × ( ) – С_h × -

- × q₁ ×(C_0П1 + С_П1 + ) .

с) при q = q₁^* имеем

F(q₁^*) = D × (Р_П1 – С_0П1 ) – С₀ × ( ) – С_h × -

- × q₁^* ×(C_0П1 + С_П1 + ) .

Кроме того, как уже отмечалось выше, значение q₀^* определяем по методике, предложенной в главе 2. А именно, для модели выплат издержек хранения пренумерандо имеем:

q₀^* = q₀ /Z₀ ,

q₁^* = q₀ /Z₁ ,

где q₀ - рекомендуемое формулой Уилсона, и как мы уже понимаем, завышенное (если учитывать временную стоимость денег) значение экономичного размера заказа, а величины 1/Z₀ и 1/Z₁ – множители, позволяющие учесть необходимую «поправку» из-за влияния временной структуры процентных ставок для денежных потоков. При этом для Z₀ в указанном случае справедливо равенство

,

причем

.

Для определения Z₁ имеют место аналогичные равенства с заменой соответственно показателя С_ОПО на С_ОП1 и показателя С_ПО на С_П1.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если пороговое значение q₁ размера заказа для получение скидки будет большим, чем значение q₀ (экономичный размер заказа по формуле Уилсона), то последний вариант (с) в рамках необходимого сравнения интенсивностей потоков доходов можно автоматически не рассматривать. При этом не понадобится и расчет показателя q₁*.

ПРИМЕР 5.4. Для иллюстрации предложенного алгоритма нахождения интересующих нас параметров оптимальной стратегии управления запасами рассматриваемой модификации модели (с учетом временной стоимости денег и возможности использования предлагаемой скидки), а также для иллюстрации изменения таких параметров по сравнению с рекомендациями классического подхода (без учета временной стоимости издержек/доходов) рассмотрим следующую условную ситуацию. Пусть анализируется оптимальная стратегия организации поставок некоторого товара, максимизирующая чистый приведенный доход от соответствующих логистических операций с учетом годовой ставки наращения, составляющей 20%. При этом требуется дополнительно учесть, что при размере партии заказа в 300 (ед. тов.) и более действует скидка в 1% на стоимость соответствующего товара. Необходимые в рамках указанного анализа параметры – следующие:

§ D = 20000 (ед. тов.) – объем годового потребления соответствующего товара;

§ C₀ = 20 (у.е.) – накладные расходы на поставку одной партии товара;

§ q₁ = 300 (ед. тов.) – пороговое значение размера партии заказа, начиная с которого действуют условия скидки;

§ С_П0 = 100 (у.е.) – цена единицы товара без учета скидки, т.е. при размере партии заказа, меньшем, чем q₁;

§ С_П1 = 99 (у.е.) – цена единицы товара с учетом скидки, т.е. при размере партии заказа, большем или равном q₁;

§ Р_П0 = 20 (у.е.) - прибыль от реализации единицы товара при ее стоимости С_П0;

§ Р_П1 = 21 (у.е.) - прибыль от реализации единицы товара при ее стоимости С_П1;

§ С_h = 20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара.

Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, полагаем, что C_0П (q) = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, подчеркнем, что в соответствии с условиями примера далее в расчетах принимаем r = 0,2.

Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами как для модифицированной модели с учетом временной структуры процентных ставок при выплате издержек хранения пренумерандо, так и для классической модели (без учета таковой), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Прежде всего заметим, что применительно к классическому аналогу модели управления запасами с постоянным спросом по формуле Уилсона соответствующее оптимальное значение q₀ размера партии заказа (разумеется, без учета временной стоимости денег и без учета предлагаемой скидки) составит

q₀ = = = 200 (ед. тов.),

при этом период повторного заказа будет равен Т₀= q₀ /D = 200 / 20000 = 1/100 (года), что соответствует 100 поставкам за год.

Для нахождения оптимального размера партии заказа q₀^* с учетом временной стоимости денег (но еще без учета предлагаемой скидки) требуется определить соответствующую «поправку» в виде множителя 1/Z₀ (в рамках формулы q₀^* = q₀ /Z₀ ). Сначала определяем

=

= 0,045.

Затем, переходя к (как видим, для данной ситуации он, практически, соответствует 90°) находим соответствующее значение cos( ) = 0.866, что позволяет определить Z₀ :

=

= 1,415.

Следовательно,

q₀^* = q₀ /Z₀ = 200/1,415 = 141,3 (ед. тов.).

Это соответствует уже порядка 142 (= 20000/141,3) поставок за год а не 100, как получилось для классического варианта модели без учета временной стоимости денег). Как видим, учет временной структуры процентных ставок существенно изменяет указанные параметры стратегии управления запасами. А именно, классическая рекомендация завысила их применительно к рассматриваемой условной ситуации этого примера на 41,3 %. Соответствующее расхождение в интенсивности потока доходов будет отмечено ниже.

Подчеркнем, что согласно условию этого примера предлагаемая скидка в 1% от стоимости партии заказа соответствует пороговому уровню размера заказа q₁ = 300 (ед. тов.), который, как мы уже теперь видим, более чем в 2 раза превышает найденное оптимальное значение q₀^* = 141,3 (ед. тов.) и в полтора раза превышает рекомендуемое классической формулой Уилсона для такой модели значение q₀ =200 (ед. тов.). Соответственно, как было отмечено выше в замечании, расчет показателей q₁^* и F(q₁^*) при оптимизации стратегии управления запасами для такой ситуации не понадобится. Для нахождения наилучшего решения (принять условия скидки или нет) сравниваем интенсивности потоков доходов F(q₀^*) и F(q₁) для соответствующих двух первых указанных ранее альтернативных вариантов.

Случай 1. При отказе от условий скидки и поставках товара партиями оптимального (с учетом временной стоимости денег) объема q₀^* для интенсивности потока доходов (по формуле для F(q₀^*) имеем:

F(q₀^*) = 20000×20 - 20×( ) - 20× - ×141,3×(100+ ) =

= 394340,2 ( у.е./год)

Случай 2. Если принять условия скидки и реализовать поставки товара партиями соответствующего объема q₁ = 300 для интенсивности потока доходов (по формуле для F(q₁) имеем:

F(q₁) = 20000×21 - 20×( ) - 20× - ×300×(99+ ) =

= 412690,2 ( у.е./год)

Как видим, интенсивность потока доходов при использовании скидки на предлагаемых условиях возрастает на 18350 у.е./год (= 412690,2 – 394340,2), несмотря на значительное превышение требуемого условиями скидки порогового уровня для размера заказа (300 ед. тов.) соответствующего найденного оптимального его значения q₀^* . Другими словами, «экономия» от снижения затрат на покупку товара в течение года (20 тыс. у.е./год) в данном случае покрывает рост издержек из-за отклонения принимаемого на условиях скидки размера партии заказа от оптимального его значения в рамках соответствующих логистических процессов. Оптимальное решение – принять условия скидки и организовать поставки этого товара партиями размера 300 (ед. тов.).

Кстати, для сравнения с классическим аналогом такой модели, когда временная стоимость издержек/доходов в рамках соответствующих логистических процессов не учитывается, подчеркнем следующее. В соответствии с классическими рекомендациями (формула Уилсона) при размере партии заказа, составляющем q₀ =200 (ед. тов.), для интенсивности потока доходов получаем:

F(q₀ ) = 20000×20 - 20×( ) - 20× - ×200×(100+ ) =

= 393996 ( у.е./год)

Сравнивая это значение с F(q₀^*) = 394340,2 (у.е./год) видим, что разность F(q₀^*) - F(q₀) в интенсивности потока доходов по анализируемому виду товара составляет 344,2 (у.е./год). Это – соответствующий экономический эффект в терминах интенсивности потока доходов, который дает процедура учета временной стоимости денег применительно к логистическим процессам анализируемой в этом примере системы управления запасами, причем применительно только к одному виду номенклатуры, для которого были проведены соответствующие расчеты. Понятно, что выгода за счет учета временной структуры процентных ставок по всей группе товаров (когда соответствующий перечень номенклатуры товаров может измеряться сотнями или тысячами наименований) может оказаться весьма существенной.