Интервала повторного заказа

В представленной выше модификации модели системы управления запасами (с учетом временной стоимости денег и с учетом предлагаемой скидки на цену партии заказа) было принято, что выплаты издержек хранения реализуются по схеме пренумерандо, т.е. моменты времени выплат издержек хранения принимались соотносящимися с началом периода поставки. Далее в этой главе дополнительно рассмотрим (в кратком изложении) особенности анализируемой стратегии для случая, когда контрактные условия предполагают возможность учёта издержек хранения постнумерандо. Величины денежных потоков в рамках такой модификации модели определяются следующим образом.

- Для величины уходящих платежей на одном периоде поставки, которые соотносим с началом (УП(Н)) каждого такого периода, имеем представление

УП(Н) = C₀ + C_0П(q) × q + C_П(q) × q.

- Для величины уходящих платежей на одном периоде поставки, которые соотносим с концом (УП(К)) каждого такого периода, имеем представление

УП(К) = C_h × q ×T /2 .

При этом приходящие платежи остаются прежними, как и в рассмотренной выше модификации модели. Задача максимизации интенсивности потока денежных доходов для интересующей нас здесь модификации модели (обозначим указанную интенсивность через F_пост) с выплатой издержек хранения постнумерандно, причем с учётом временной стоимости денег и предлагаемой скидки принимает вид:

F_пост ® max ,

где функция

F_пост = 1/T × [ q × (C_П(q) + P_П(q)) – (1 + r T /2) × (C₀ + C_0П(q) ×q +

+ C_П(q)×q ) +C_h×q× T×(1- )/2)],

определена в области Т > 0 и q > 0, а переменные q и T связаны равенством Т = q /D. Обратим внимание на то, что здесь выплаты соответствующих издержек хранения С_h·q · T /2 (относящиеся к концу периода поставки) уже продисконтированы в рамках схемы простых процентов к общему моменту времени учёта всех платежей. А именно, они приведены к середине интервала времени между поставками, т.е. к моменту Т/2 с учётом соответствующего значения дисконта d = r/(1+r).

После несложных преобразований (они опускаются из-за ограниченности объема работы) интересующая нас целевая функция F_пост = F_пост(q) как функция переменного q легко приводится к виду

F_пост(q) = D × (Р_П(q) – С_0П(q)) – С₀ × ( ) – С_h × -

- × q × (C_0П(q) + C_П(q)) +q² × ,

(**)

который, практически, полностью соответствует (см. формулу (*)) целевой функции F применительно к задаче оптимизации стратегии управления запасами для рассмотренной в предыдущей части работы модификации модели с выплатами издержек хранения пренумерандо. Действительно, особенность рассматриваемого здесь случая (выплаты издержек хранения постнумерандо) по сравнению с рассмотренным ранее, отражается аналитически только наличием дополнительного множителя –1/(1+r) в слагаемом, содержащем q² . Соответствующая задача минимизации потерь в интенсивности потока доходов с целью максимизации чистого приведенного дохода в рамках анализируемых логистических процессов может быть представлена (после домножения всего выражения на –2) в виде

f_пост(q) ® min,

где функция f_пост(q) определяется равенством

f_пост(q) = [ 2C₀ ×D/q + q×C_h] + q×r×(C_0П(q) + C_П(q)) –

– q² × ×C_h /D + 2D (C_0П(q) – Р_П(q))

в области q > 0 с учетом отмеченных выше представлений для функций C_П(q), C_0П(q) и P_П(q). При этом, специально выделенная квадратными скобками часть выражения для f_пост(q) это – соответствующий аналог целевой функции применительно к задаче минимизации издержек для классического варианта модели без учета временной структуры процентных ставок и без предлагаемой скидки (применительно к которому действует формула Уилсона для размера партии заказа, и который, напомним, мы обозначаем через q₀).

Прежде, чем представить алгоритм нахождения оптимального размера партии заказа для рассматриваемой здесь модификации модели (обозначим его через q^*_пост), минимизирующего потери в интенсивности потока доходов, подчеркнем следующее.

Если в выражении для f_пост(q) формально заменить C_П(q), C_0П(q) и P_П(q) соответственно на C_П0, C_0П0 и P_П0 , то получим функцию, которую по аналогии с рассмотренной выше модификацией модели обозначим через φ_{0 пост}(q). Эта функция имеет единственную точку минимума q₀^*(пост), причем будет выполнено неравенство q₀^*(пост) < q₀ : в рамках такого варианта модели при учете временной стоимости денег классические рекомендации снова, как видим, завышают размер партии заказа.

Если в выражении для f_пост(q) формально заменить C_П(q), C_0П(q) и P_П(q) соответственно на C_П1, C_0П1 и P_П1 , то получим функцию, которую по аналогии с рассмотренной выше модификацией модели обозначим через φ_{1 пост}(q). Эта функция также имеет единственную точку минимума q₁^*(пост), причем опять будет выполнено неравенство q₁^*(пост) < q₀ : и в этой ситуации классические рекомендации завышают размер партии заказа.

Кроме того, учитывая, что в соответствии с условиями скидки выполняются неравенства С_П0 > С_П1 ; С_ОП0 > С_ОП1 и Р_П1 > Р_П0 , указанные функции в любой точке q ( q>0) связаны неравенством φ_{0 пост}(q) > φ_{1 пост}(q) (сравните с функциями φ₀ (q) > φ₁ (q), представленными на рис. 5.4 – 5.5 применительно к модели учета издержек хранения пренумерандо).

Таким образом, для модели выплат издержек хранения постнумерандо структура функции f_пост(q) при определении оптимального размера партии заказа q₀^*(пост) оказывается такой же, как и структура рассмотренной ранее функции f(q) для модели выплат издержек хранения пренумерандо (рис. 5.4 – 5.5). Следовательно, для выбора оптимального размера партии заказа q^*_пост необходимо сравнивать интенсивности потоков доходов F_пост(q) для рассматриваемой модификации модели при q = q₀^*(пост) ; при q = q₁ и при q = q₁^*(пост) , выбрав тот вариант организации поставок, где такая интенсивность будет больше. Формулы для расчета указанных значений интенсивностей потоков доходов в соответствии с (**) – следующие:

а) при q = q₀^* (пост) имеем

F_пост(q₀^*(пост)) = D × (Р_П0 – С_0П0 ) – С₀ × ( ) – С_h × –

– × q₀^*(пост)×(C_0П0 + С_П0) + q₀^*2(пост)× ;

в) при q = q₁ имеем

F_пост(q₁) = D × (Р_П1 – С_0П1 ) – С₀ × ( ) – С_h × –

– × q₁ ×(C_0П1 + С_П1) + q₁² × .

с) при q = q₁^*(пост) формула для определения F_пост(q₁^*) аналогична предыдущей с учетом соответствующей замены q₁ на q₁^*(пост).

При этом значение q₀^*(пост) определяем по методике, представленной в главе 2. А именно, для модели выплат издержек хранения постнумерандо имеем:

q₀^*(пост) = q₀ /Z₀(пост) ,

q₁^*(пост) = q₀ /Z₁(пост) ,

где, напомним, q₀ - рекомендуемое в классической теории формулой Уилсона значение экономичного размера партии заказа (соответствующая формула уже была приведена выше, причем как мы теперь понимаем, она и здесь дает завышенное значение), а величины 1/Z₀(пост) и 1/Z₁(пост) – множители, учитывающие необходимость «поправки» из-за влияния соответствующей временной структуры процентных ставок для денежных потоков.

Соответственно для Z₀(пост) в указанном случае справедливо равенство

,

причём

.

А значение Z₁(пост) можно находить с помощью аналогичных равенств с заменой соответственно показателя С_ОПО на С_ОП1 и показателя С_ПО на С_П1. Подчеркнем также, что и применительно к рассматриваемой здесь модификации модели с выплатой издержек хранения постнумерандо остается справедливым сделанное выше замечание (для модели с выплатой издержек хранения пренумерандо) относительно возможности исключения из расчетов последнего случая (с), если q₁ > q₀.

Для сравнения параметров оптимальной стратегии и интенсивности потока доходов, относящихся к модификации модели при выплате издержек хранения постнумерандо, с аналогичными, но относящимися к ранее представленному аналогу модели, когда такие выплаты предполагались пренумерандо, вернемся к условиям рассмотренной выше условной ситуации примера 5.4.

ПРИМЕР 5.5. (Продолжение примера 5.4: выплаты издержек хранения постнумерандо). Найдём в условиях примера 5.4 соответствующее оптимальное значение размера партии заказа q₀^*(пост). А именно, для значения в этом случае имеем (напомним снова, что в рамках нашего примера ранее было условно принято, что С_ОП(q) = 0):

Соответственно далее имеем =0,865 и

Z₀ = 2 × 0.865 × = 1,4125.

При этом, учитывая, что применительно к заданным параметрам, как мы уже нашли в примере 5.4, q₀ =200, оптимальный размер партии заказа определяется равенством

q₀^*(пост) = q₀ /Z₀(пост) = 200/1,4125 = 141,5 (ед. тов.)

(сравните это значение с найденным в примере 5.4 значением q₀^* = 141.3 применительно к модели выплат издержек хранения пренумерандо). Как видим, параметры оптимальных стратегий управления запасами для таких моделей, практически, совпадают. Более того, фактически для практиков они просто совпадают, т.к. при оформлении заказа потребуется округлять указанные значения до ближайшего приемлемого целого числа. Как и в примере 5.4, расчет показателей q₁^*(пост) и F_пост(q₁^*(пост)) в этой ситуации не требуется, т.к. выполнено условие q₁ ≥ q₀ (300>200).

Для нахождения наилучшего решения (принять условия скидки или нет) сравниваем интенсивности потоков доходов F_пост(q₀^*(пост)) и F_пост(q₁) для указанных альтернативных вариантов решений.

Случай 1. При отказе от условий скидки и поставках товара партиями оптимального (с учетом временной стоимости денег) объема q₀^*(пост) для интенсивности соответствующего потока доходов (по формуле для F_пост(q₀^*(пост)) имеем:

F_пост(q₀^*(пост)) = 20000×20 - 20×( ) - 20× - ×141,5×100 +141,5² × 0,2 × 20 /(1+0,2) × 4×20000 = 394342,0 ( у.е./год).

Случай 2. Если принять условия скидки и реализовать поставки товара партиями соответствующего объема q₁ = 300 для интенсивности потока доходов (по формуле для F_пост(q₁) имеем:

F_пост(q₁) = 20000×21 - 20×( ) - 20× - ×300×99+

+300² × 0,2 × 20/(1+0,2) × 4× 20000 = 412698,5 ( у.е./год).

Как видим, и в случае выплат издержек хранения постнумерандо оптимальное решение – принять условия скидки и организовать поставки товара с размером партии заказа, равным 300 (ед. тов.). Обратим также внимание на то, что найденные интенсивности потоков доходов F_пост(q₀^*(пост)) = 394342 (у.е./год) и F_пост(q₁) = 412698,5 ( у.е./год) для модели выплат издержек хранения постнумерандо оказались немного большими, чем соответствующие интенсивности F(q₀^*) и F(q₁) для модели выплат издержек хранения пренумерандо (см. пример 5.4). Это, естественно, обусловлено особенностью учета временной стоимости денег: при более поздних контрактных сроках реализации уходящих платежей соответствующие показатели чистой приведенной стоимости и интенсивности потока доходов должны (при прочих равных условиях) возрастать.

Заметим, что в соответствии с классическими рекомендациями без учета временной стоимости денег при размере партии заказа (формула Уилсона) q₀ = 200 (ед. тов.) для интенсивности потока доходов получим:

F_пост(q₀ ) = 20000×20 - 20×( ) - 20× - 200× × 100 +

+ 200² × 0,2 × 20/(1+0,2) × 4 × 20000 = 393999,6 ( у.е./год)

Сравнивая это значение с F_пост(q₀^*(пост)) = 394342 (у.е./год) видим, что разность в интенсивности потока доходов за счет учета временной стоимости денег (которая составляет для этой модификации модели 342,4 у.е./год применительно к анализируемому виду номенклатуры) остается, практически, такой же, как и соответствующая разность в условиях примера 5..3 для рассмотренной там модификации модели с выплатами издержек хранения пренумерандо. Следовательно, все выводы и комментарии, сделанные выше применительно к возможности повышения эффективности системы управления запасами за счет учета временной стоимости денег, относятся напрямую и к этой модификации модели. Другими словами, для рассмотренных модификаций моделей стратегий управления запасами с учетом предлагаемых скидок на заказ параметры оптимальной стратегии практически не зависят от оговариваемой в контракте схемы выплат издержек хранения.