С учетом временной структуры процентных ставок

Понятно, что в рамках рассматриваемой модели далее достаточно указать алгоритм определения оптимального размера заказа q_опт. Для его нахождения составим уравнение f’(q) = 0, т.е.

.

Понимая, что для интересующего нас корня q_опт этого уравнения имеет место неравенство q_опт < q₀ будем искать оптимальный размер заказа в виде q_опт = q₀ / z, где z >1, причем здесь величина 1/z показывает, какая именно доля от значения q₀ (экономичного размера заказа, но без учета временной стоимости денег) определяет оптимальное решение (но уже для модели с учетом процентных ставок). Подставляя в последнее равенство выражение q₀ / z вместо q получаем уравнение относительно z:

или

.

После очевидных упрощений имеем:

.

Наконец, учитывая равенство получаем следующее уравнение относительно неизвестного z в области z > 1:

.

Как видим, мы получили уравнение третьей степени относительно неизвестного z (в области z > 1). Это уравнение уже приведено к так называемому «неполному» виду, когда отсутствует член, содержащий z², т.е. к виду z³ + pz + g = 0.

При этом, подчеркнем, что в нашей ситуации имеет место «неприводимый» случай, причем выполняются неравенства p < 0 и g < 0. В такой ситуации удобно для решения уравнения использовать подход тригонометрического метода решения. Тогда интересующий нас корень указанного кубического уравнения (обозначаем его через z₀) определяется по формулам (см., например, [Г.Корн, Т.Корн – Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М., Наука, 1974] ) :

, где .

Применительно к интересующему нас уравнению получаем формулы, позволяющие находить корень z₀:

,

где

.

Наконец, при известном значении z₀ оптимальная величина размера заказа q_опт для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег находится, окончательно, по формуле

q_опт = q₀ / z₀.

ЗАМЕЧАНИЕ. Обратите внимание на следующий факт. Анализ полученных результатов для оптимальной стратегии управления запасами показывает, что в рамках рассматриваемой модели исследуемый параметр (q_опт – оптимальный размер заказа) не зависит от показателя Р_П, характеризующего прибыль на единицу товара, обеспечиваемую работой соответствующего звена цепи поставок. Действительно, ни значение , ни значение z₀, ни значение q₀, определяющие интересующий нас показатель q_опт, не зависят от величины Р_П. При этом, само максимальное значение интенсивности потока доходов (целевая функция F в исходной постановке задачи оптимизации), естественно, уже будет зависеть от указанного показателя.

ПРИМЕР 2.2. Для иллюстрации соответствующих процедур нахождения параметров оптимальной стратегии управления запасами рассматриваемой модели с учетом временной стоимости денег, а также для иллюстрации отклонений основных показателей такой оптимальной стратегии по сравнению с рекомендациями классического подхода (без учета временной структуры процентных ставок) рассмотрим следующую условную ситуацию. Пусть

· D=800 (ед. тов.) – объем годового потребления (при постоянном спросе);

· C_о=20 (у.е.) – накладные издержки на одну поставку (т. е. стоимость подачи заказа);

· C_п=100 (у.е.) – стоимость единицы товара;

· Р_п=50 (у.е.) – прибыль от реализации единицы товара;

· C_h=20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара, составляющие 20% стоимости товара.

Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, полагаем C_оп=0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, принимаем, что годовая ставка наращения составляет 20%, т.е. r=0,2.

Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами как для модели с учетом временной структуры процентных ставок, так и для классической модели (без учета таковой), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Прежде всего отметим, что в рамках классической модели управления запасами с постоянным спросом согласно формуле Уилсона для рассматриваемой ситуации соответствующее оптимальное значение q₀ объема партии заказа (экономичный размер заказа) без учета временной стоимости денег составит:

При этом соответствующий период повторного заказа будет равен (года), что соответствует 20 поставкам за год.

Для нахождения оптимальной стратегии для данной ситуации, но уже с учетом временной стоимости денег, предварительно находим значение соответствующего :

.

т.е.cosa = 0,009.

Затем, переходя к (как видим, для данной ситуации он, практически, соответствует 90°) находим значение После этого определяем значение величины z₀:

т.е. (с точностью до 10^-3).

ЗАМЕЧАНИЕ. В соответствии с принятыми численными значениями показателей, характеризующих рассматриваемую систему управления запасами, полученное ранее кубическое уравнение относительно неизвестного z (для определения ) имеет в этой ситуации вид

Отметим, что при найденном в этом примере значении левая часть этого равенства принимает значение

.

Как видим, при выбранной точности расчетов для (до 10^-3) получаем достаточно хорошее приближение. Положительный знак для получившегося значения левой части уравнения (+0,00118) показывает, что при более точном определении ответ будет несколько меньшим (например, проверьте значение z₀ @ 1,4168 , которое даст более точное приближение при точности до 10^-4).

Определив значение , переходим к анализу основных параметров оптимальной стратегии управления запасами в рамках рассматриваемого примера. А именно, соответствующее оптимальное значение q_опт размера партии заказа с учетом временной стоимости денег для рассматриваемого случая составляет

Соответственно длительность оптимального периода T_опт между поставками равна

Итак, если не учитывать временную структуру процентных ставок, то рекомендуемое теорией значение экономичного объема заказа в рамках рассматриваемого примера равняется q₀=40 (при этом длительность периода между поставками составляет T₀=0,05). Учет временной стоимости издержек/доходов приводит соответственно к оптимальным значениям этих показателей q_опт @ 28 (при T_опт=0,03527). Как видим, отклонение для размера партии заказа составляет около 12 ед. тов. (при рекомендации 40 ед. тов. на основе традиционного подхода в соответствии с формулой Уилсона), что соответствует ошибке порядка 43%. Понятно, что такая ошибка приведет к существенному изменению стратегии управления запасами и, кроме того, может значительно отразиться на показателе эффективности работы системы. В частности, оценим соответствующее отклонение показателя интенсивности доходов в рамках рассматриваемого примера для интересующих нас двух случаев:

1) при T=T_опт=0,03527 (стратегия реализуется с учетом временной стоимости издержек/доходов);

2) при T=T₀=0,05 (стратегия реализуется без учета временной стоимости издержек/доходов).

Случай 1. При стратегии, использующей показатели T_опт и q_опт для интенсивности доходов F_max (годовой) имеем:

Случай 2. При стратегии, использующей соответственно показатели T₀ и q₀ для интенсивности доходов F₀ (годовой) имеем:

Как видим, разница F_max - F₀ в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемому виду товара имеет порядок 100 у.е. (за год). Такое расхождение интенсивностей доходов может, на первый взгляд, показаться не очень значительным. Однако, необходимо еще учесть, что в реальных системах управления запасами соответствующий перечень номенклатуры товаров может измеряться сотнями и даже тысячами наименований. Поэтому суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной структуры процентных ставок по всей группе товаров может оказаться весьма существенным.

ОСОБЕННОСТИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК ХРАНЕНИЯ В СЕРЕДИНЕ ПРОМЕЖУТКА ВРЕМЕНИ

МЕЖДУ ПОСТАВКАМИ

Рассмотренная выше модель предполагала, что выплаты издержек за хранение товара реализуются пренумерандо (т.е. сразу же в момент поставки заказа, - в начале периода повторного заказа). В общем случае такие выплаты могут осуществляться и по другим схемам, например, в середине промежутка времени между поставками (т.е. в середине периода хранения соответствующего товара). Поэтому далее рассмотрим (в кратком изложении) модификацию анализируемой модели для случая, когда контрактные условия для учета издержек хранения предполагают осуществлять их именно в середине промежутка времени между поставками. В этом случае издержки хранения будут соотноситься с моментом T/2 (середина интервала поставок). Соответственно при использовании схемы простых процентов для учета временной стоимости денег потоки уходящих платежей будут представлены в виде:

§ уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) –

;

§ уходящие платежи (соотносимые с серединой каждого периода) –

При этом приходящие платежи в рамках модифицированной модели остаются прежними. Соответственно задача максимизации интенсивности потока доходов F_mod для модифицированной модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег принимает вид:

,

где

причем, как и ранее, q и T связаны равенством T=q/D.

Раскрывая скобки в выражении для F_mod, избавляясь при этом от параметра T (с учетом равенства T=q/D), а также меняя знак всего выражения на противоположный и отбрасывая члены, не содержащие интересующий нас параметр q оптимальной стратегии (для оптимизации объема заказа) перепишем задачу оптимизации в виде

.

Теперь простым дифференцированием находим формулу, определяющую оптимальное значение объема заказа для модифицированной модели с учетом временной стоимости издержек/доходов:

Полученная формула для обобщает известную формулу Уилсона (см. выражение для q₀). Действительно, если временная стоимость денег не учитывается (т.е. r = 0), то в этом случае формулы для и q₀ совпадают. В общем случае, когда формула для является обобщением формулы для q₀. При этом рекомендации для оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок, как легко видеть из формулы для , приведут к меньшим размерам партии заказа и соответственно к более частым поставкам (т.к. = /D). Для оценки соответствующего расхождения и иллюстрации возможностей повышения эффективности системы управления запасами за счет учета временной стоимости издержек/доходов при анализе оптимальной стратегии управления запасами обратимся к условиям рассмотренного выше примера.

ПРИМЕР 2.3 (продолжение: модифицированная модель с выплатой издержек хранения в середине периода времени между поставками товара).

Найдем оптимальную стратегию в рамках такой модифицированной модели с учетом временной стоимости денег. Для этого воспользуемся представленной выше формулой, определяющей соответствующий оптимальный объем заказа:

(Напомним, что в рамках примера было условно принято C_оп = 0 – для удобства сравнения результатов с аналогичными для классической модели без учета временной стоимости денег). Соответственно, для оптимального значения периода поставок в рамках модифицированной модели получаем

= /D = 28,28/800=0,03535 (года) .

При этом для интенсивности доходов F_max(mod) (годовой), соответствующей оптимальной стратегии в рамках модифицированной модели имеем:

А при стратегии, использующей соответственно показатели q₀ и T₀ в рамках рассматриваемой модификации модели для интенсивности доходов F₀(mod) имеем:

Как видим, разница F_max (mod) - F₀(mod) в интенсивности потока доходов (годовой) за счет учета временной структуры процентных ставок для модифицированной модели оказывается несколько меньшей, чем аналогичная разница F_max - F₀ в рамках ранее рассмотренной исходной модели. А именно, здесь она имеет порядок 80 (у.е./год) по анализируемому виду товара (вместо 100 у.е./год для исходной модели). Полученное снижение оценки возможного выигрыша в интенсивности доходов вполне естественно, поскольку модифицированная модель предполагает более поздние, в среднем, сроки выплат издержек хранения. Соответственно и эффект повышения интенсивности доходов за счет учета временной стоимости денег становится несколько меньшим. Тем не менее суммарный эффект по всей номенклатуре товаров (если такая номенклатура измеряется сотнями или даже тысячами наименований) будет весьма существенным.

Наконец, подчеркнем следующее. Сравнивая найденные значения параметров и , характеризующих оптимальную стратегию для модифицированной модели, с аналогичными для исходной модели ( и ), легко видеть, что в рамках рассмотренного примера они практически совпадают. Нетрудно проверить, что такое совпадение не обусловливается атрибутами именно рассмотренного примера. В частности, если изменять показатель стоимости единицы товара, сохраняя при этом в процентном отношении тарифы для издержек доставки и хранения товара, а также показатель рентабельности для единицы товара и значение ставки наращения, то каждый раз при фиксированном годовом потреблении будем получать соответственно практически совпадающие рекомендации для оптимальной стратегии применительно к обеим указанным моделям.

ОСОБЕННОСТИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК ХРАНЕНИЯ В КОНЦЕ ИНТЕРВАЛА

ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА

В представленных выше моделях стратегий управления запасами (исходная модель и её модификация) моменты времени выплат издержек хранения соотносились соответственно с моментом поставки товара (т.е. с началом периода времени между поставками, - выплаты пренумерандо) и с серединой периода хранения товара. В зависимости от контрактных условий схема выплат этих издержек может также предполагать реализацию соответствующих платежей и в конце периода поставки (при поступлении очередной уже следующей партии заказа). Поэтому дополнительно рассмотрим (также в кратком изложении) особенности анализируемой стратегии для случая, когда контрактные условия предполагают возможность учёта издержек хранения постнумерандо, т.е. в конце интервалов повторного заказа. Соответственно потоки уходящих платежей будут представлены в виде:

· уходящие платежи, соотносимые с началом периода поставки –

C_о + C_оп× q +C_п × q;

· уходящие платежи, соотносимые с концом периода поставки –

C_h × q ×Т/2.

При этом приходящие платежи остаются прежними, а задача максимизации интенсивности потока денежных доходов (обозначим такую интенсивность через Fпост) для модели с выплатой издержек хранения по схеме постнумерандо с учётом временной стоимости денег принимает вид:

F_пост ® max ,

где

,

причём, как и ранее величины q и T связаны равенством Т=q/D. Заметим также, что здесь выплаты С_h×q×T/2 (относящиеся к концу периода поставки) продисконтированы в рамках схемы простых процентов к общему моменту времени учёта всех платежей. А именно, они приведены к середине периода поставки, т.е. к моменту Т/2 с учётом соответствующего значения дисконта d=r/(1+r).

После несложных преобразований интересующая нас задача оптимизации легко приводится к виду

,

который, практически, полностью соответствует задаче оптимизации стратегии управления запасами для рассмотренной выше исходной модели. Действительно, особенность рассматриваемого здесь случая (выплаты издержек хранения постнумерандо) по сравнению с исходной моделью (выплаты этих издержек пренумерандо) отражается аналитически только наличием дополнительного множителя -1/(1+r) в слагаемом, содержащем q₂. Легко видеть, что при этом в рамках задачи оптимизации в области qÎ (0; D] также будет иметь место неравенство

q_опт(пост) < q _o ,

где через q_опт(пост) обозначено оптимальное значение размера партии заказа в рамках модели с учётом временной стоимости денег при выплате издержек хранения постнумерандо .

Кроме того, используя представленные выше (для исходной модели) методы определения параметров оптимальной стратегии управления запасами с учётом временной стоимости денег для анализируемого случая соответственно получаем следующее. При выплате издержек хранения постнумерандо оптимальный размер заказа qопт (пост) и оптимальный период поставок Т_опт(пост) можно находить по формулам

T_опт(пост) = q_опт(пост)/D,

q_опт(пост) = q_о / z_о ,

где

,

причём

.

Для сравнения параметров оптимальной стратегии, относящихся к случаю выплаты издержек хранения в конце периодов поставки (выплаты постнумерандо), с аналогичными, но относящимися к ранее представленным моделям, вернёмся к условиям рассмотренного выше примера.

ПРИМЕР 2.4 (продолжение: выплаты издержек хранения постнумерандо).

Найдём соответствующий оптимальный размер q_опт (пост) партии заказа и оптимальную длительность Т_опт(пост) периода поставок. А именно, для значения в этом случае имеем (напомним, что в рамках нашего примера ранее было условно принято С_оп=0) :

(сравните со значением =0,009 для случая выплат издержек хранения пренумерандо). Соответственно далее имеем

=0,865 и z₀=1,413.

При этом (учитывая, что в рамках нашего примера q₀=40 ед. тов.)

q_опт(пост) = q_о / z_о = =28,30 (ед. тов.)

T_опт(пост) = q_опт(пост)/D = = 0,03538.

Как видим, найденные значения параметров q_опт(пост) и T_опт(пост) оптимальной стратегии управления запасами для случая выплат издержек хранения постнумерандо, практически, совпадают как с соответствующими параметрами q_опт и Т_опт для случая выплат издержек хранения пренумерандо (исходная модель), так и с параметрами q_опт(mod) и Т_опт(mod), характеризующими оптимальную стратегию модифицированной модели. Имеющиеся незначительные расхождения будут очевидным образом нивелированы на практике из-за необходимости округления результатов для размера партии заказа до приемлемого целого значения. При этом расхождение с классическими рекомендациями, когда не учитывается временная стоимость денег (параметры q_o и Т_о), оказывается значительным. Соответственно представленные в данной главе результаты позволяют сделать следующие выводы.

ВЫВОДЫ.Учет особенностей схем выплат издержек хранения мало влияет на параметры оптимальной стратегии управления запасами при заданном годовом потреблении, заданной структуре процентных ставок и заданных тарифах издержек. В частности, приведенные выше весьма простые формулы, определяющие параметры и оптимальной стратегии для модифицированной модели (при выплате издержек хранения в середине периода времени между поставками), можно использовать (соответствующие расхождения нивелируются из-за необходимости округлений результатов для размеров партии заказов до приемлемого значения) как для нахождения параметров и оптимальной стратегии применительно к исходно рассмотренной модели (выплаты издержек хранения пренумерандо), так и для нахождения параметров q_опт(пост) и Т_опт(пост) оптимальной стратегии при выплате издержек хранения в конце периодов времени между поставками. Это позволит избежать неприятных процедур решения соответствующих кубических уравнений. При этом суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной стоимости издержек/доходов по всей группе товаров может оказаться весьма значительным.