Построение математической модели однопродуктового рынка

Математическая модель рынка должна отражать цели участников рынка и ограничения, накладываемые на их деятельность, а также учитывать внешнее окружение, которое может быть определено функциями спроса и предложения. По этому рассмотрим два варианта модели рынка:

а) общая модель рынка, т. е. без учета функции спроса-предложения;

б) модель рынка, учитывающая функции спроса-предложения.

Математическую модель однопродуктового рынка (1 вариант) с учетом целей всех потребителей и производителей продукта, а также ограничений, накладываемых на их финансовые возможности (бюджет) и ресурсы, представим в виде векторной задачи математического программирования (ВЗМП):

opt F(X(t))= {F₁(X(t))={max f_q(X(t))= p_qx_ql(t), q= }, (8.4.1)

F₂(X(t))={min f_l(X(t))= p_qx_ql(t), l= }}, (8.4.2)

b £ p_qx_ql £ b , l= , (8.4.3)

a_qx_ql(t)£ b_q , q= , (8.4.4)

p £p_q £p , x_ql(t) ³ 0, q= , l= , (8.4.5)

где F(X(t)) - векторная целевая функция (векторный критерий), в ней K=QÈL - множество критериев - потребителей и производителей соответственно;

p_q =p_q - a_q, q= - прибыль производителей, определяющаяся разностью между ценой продажи p_q и затратамиa_q;

p_q, x_ql, q= , l= - управляющие переменные, они представлены в задаче произведением, из этого вытекает, что задача векторной оптимизации (9.4.1)-(9.4.5) - нелинейная;

в (8.4.1) F₁(X(t)) - векторный критерий "Q" производителей, которые максимизируют свои прибыли;

в (8.4.2) F₂(X(t)) - векторный критерий "L" потребителей, которые минимизируют свои затраты, за счет стоимости на покупаемую продукцию;

(8.4.3) - ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям "L" потребителей, а (9.4.4) - ограничения по производственным мощностям "Q" производителей;

(8.4.5) - ограничения, определяющие пределы изменения стоимости единицы товара, установленные на рынке, и ограничения, связанные с не отрицательностью объемов произведенной и проданной продукции.

Задача (8.4.1)-(8.4.5) представляет модель одно-продуктового рынка на дискретный период tÎT.

Для решения векторной задачи математического программирования (8.4.1)-(8.4.5) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, которые дают возможность решать задачи при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия, представленные в четвертой части.

В результате решения задачи (8.4.1)-(8.4.5) - модели однопродуктового рынка - при равнозначных критериях получим:

точку оптимума Х^o={x , p , q= , l= }, которая складывается из двух составляющих: x - объемы продукта, произведенного и проданного каждым производителем каждому потребителю, p - стоимости, которая удовлетворяет требованиям, как производителей, так и потребителей за период времени tÎT;

величины целевых функций в точке X^o: f_k(X^o), k= , K=QÈL, в т. ч. f_q(X^o), q= , определяют доходы каждого производителя; f_l(X^o), l= , определяют затраты каждого покупателя;

суммарный объем продаж всех производителей и финансовых затрат всех потребителей, которые равны между собой:

f_åq(X)= (p_ql+a_ql)x =f_ål(X)= p x ,

т. е. суммарное предложение f_åq(X) равно суммарному спросу f_ål(X), заметим, что состояние рынка, при котором спрос равен предложению, называется равновесным, а цена, при которой достигается равенство спроса и предложения, называется равновесной ценой, т. е. p - равновесная цена;

величины целевых функций f_k(X^o), k= , выраженные относительно своих оптимумов X , т. е.: l_k(X^o)=(f_k(X^o)-f )/(f -f ), k= , где l_k(X^o), k= , X^oÎS - нормализованный критерий, в котором f -наилучшее решение по kÎK критерию, f - наихудшее соответственно, K=QÈL - множество критериев;

максимальную относительную оценку l^o, которая является максимальным нижним уровнем, и до которого подняты обоюдные интересы всех производителей и потребителей в относительных единицах l_k(X^o), k= , другими словами, l^o является гарантированным результатом, который гарантирует, что в полученной оптимальной точке X^o все критерии в относительных единицах (оценки производителей и потребителей) равны или лучше l^o: l_k(X^o)³ l^o или

l^o £l_k(X^o), k= , X^oÎS.

Любое увеличение интересов (критерия) какого-либо производителя или потребителя, приводят к ухудшению оставшихся участников рынка (производителей и потребителей), т. е. точка {X^o, l^o} оптимальна по Парето.

Вектор - функция F₁(X)={f_q(X^o), q= } представляет собой функцию предложения, а вектор - функция F₂(X)={f_l(X^o), l= } представляет функцию спроса.

Математическую модель однопродуктового рынка (2 вариант) представим путем добавление к модели (8.4.1)-(8.4.5) функций спроса и предложения. При этом, если функции спроса и предложения будут представлены равенствами, то результат решения будет на пересечении этих функций, как и при решении системы (8.4.2). Следовательно, функции спроса и предложения должны быть представлены областью, например, с 10% допуском.

С учетом этого замечания, целей всех потребителей продукта (8.4.2) и производителей (8.4.1), а также ограничений, накладываемых на их финансовые возможности (бюджет) (8.4.3) и ресурсы (8.4.4), математическую модель представим в виде векторной задачи математического программирования (ВЗМП):

opt F(X(t))= {F₁(X(t))={max f_q(X(t))= p_qx_ql(t), q= }, (8.4.6)

F₂(X(t))={min f_l(X(t))= p x_ql(t)}}, (8.4.7)

b^d-10% b^d£p - a_qx_ql(t)£b^d +10% b^d, (8.4.8)

b^s-10% b^s £ p - a_l x_ql(t)£b^s+10% b^s, (8.4.9)

b £ p x_ql£ b , l= , a_qx_ql(t)£ b_q , q= , p, x_ql(t)³0, q= , l= , (8.4.10)

где F(X(t)) - векторная целевая функция (векторный критерий), p, x_ql, q= , l= - управляющие переменные, которые представлены в задаче произведением, а отсюда задача векторной оптимизации (7.5.1)-(7.5.7) - нелинейная, в ней K=QÈL - множество критериев - потребителей и производителей соответственно;

(8.4.6) - критерии "Q" производителей, максимизирующих свои прибыли, p_q =p_q - a_q, q= ;

(8.4.7) - критерии "L" потребителей, минимизирующие свои затраты, за счет стоимости;

(8.4.8), (8.4.9) - функций спроса и предложения;

(8.4.10) – стандартные ограничения: а) ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям "L" потребителей; б) ограничения по производственным мощностям "Q" производителей; в) ограничения, связанные с не отрицательностью стоимости, объемов произведенной и проданной продукции.

Задача (8.4.6)-(8.4.10) представляет модель одно-продуктового рынка, учитывающая функции спроса и предложения на дискретный период tÎT. Для ее решения используются те же алгоритмы, что и для решения (8.4.1)-(8.4.5).

8.4.2. Построение базовой модели однопродуктового рынка с двумя производителями и потребителями (модель 2*2)

В настоящее время, как показано выше, рыночные струк­туры подразделяются на совершенную (чистую) и несовершенную кон­куренцию: в т. ч. на монополистическую конкуренцию, олигополию, монополию и монопсонию. Для перечисленных типов рыночных струк­тур используем математическую модель однопродуктового рынка (8.4.1)-(8.4.5).

Для анализа сформулированных рыночных струк­тур рассмотрим эту модель для наиболее простой ситуации, когда на рынке с одним товаром действуют два производителя и два потребителя этого продукта, хотя модель позволяет анализировать и более крупные. Наиболее близки к такой модели - модели дуополии Курно, Штакельберга, Бертрана и Эджуорта [18, 20], в которых рассмотрены взаимоотношения только двух производителей (фирм).

Введем обозначения:

x₁, x₂ - объемы продукта проданные первым, x₃, x₄ - вторым производителем первому и второму потребителю соответственно;

p₁, p₂, p₃, p₄ - цены на продукт фиксированы, что позволяет рассматривать задачу (6.3.1)-(6.3.5) как линейную;

a₁, a₂, a₃, a₄ - затраты на производство продукта у обоих производителей;

p_q= c_q-a_q - прибыль от производства и продажи продукта у обоих производителей q=1, 2;

b , b , l=1,2 - минимальный и максимальный объем финансовых средств, которые могут выделить на покупку продукта от разных фирм первый и второй потребитель.

b_q - финансовые возможности фирмы при производстве продукта, q=1,2.

Базовую математическую модель рынка с двумя производителя и двумя потребителями (модель 2*2) в линейной постановке, (т. е. цены на некоторый период времени постоянны) с учетом введенных обозначений, представим в виде векторной задачи линейного программирования:

opt F(X)={max f₁(X) = p₁x₁ + p₂x₂, max f₂(X) = p₃x₃ + p₄x₄, (8.4.11)

min f₃(X) = p₁x₁ + p₃x₃ , min f₄(X) = p₂x₂ + p₄x₄}, (8.4.12)

при ограничениях b ≤ p₁x₁ + p₃x₃ ≤ b , b ≤ p₂x₂ + p₄x₄ ≤ b , (8.4.13)

a₁x₁+ a₂x₂ ≤ b₁, a₃x₃ + a₄x₄ ≤ b₂, (8.4.14)

x₁, x₂, x₃, x₄ ³ 0. (8.4.15)

Математическая модель рынка (8.6.1)-(8.6.5) может использоваться для различных рыночных структур, путем изменения соответствующих параметров, поэтому она названа базовой. Аналогично могут быть построены базовые модели большей размерности.

Для решения векторной задачи (8.4.11)-(8.4.15) используем алгоритмы, основанные на основе нормализации критериев и принципе гарантированного результата, представленные в четвертой части.

Методологию моделирования структуры рынка покажем на примерах совершенной и несовершенной конкуренции, которую проведем в два этапа: построение модели вида (8.4.11)-(8.4.15) и непосредственно моделирование.

В модели рынка в зависимости от изменения параметров модели - цены на товар и ресурсных затрат можно рассматривать:

а) модель с одинаковыми параметрами, что соответствует модели совершенной кон­куренции.

Пример 8.1. Модель совершенной кон­куренции. (См. практика 8.1).

б) модель олигополии, в которой параметры могут изменяться, т. е. у некоторых фирм имеется возможность доминирования над другими фирмами по ценам ресурсам и прочим параметрам.

Пример 8.2. Модель олигополии. (См. практика 8.2).

в) модель монополии, в которой имеется один критерий (8.4.11) производителей и множество критериев (8.4.12) потребителей;

Пример 8.3. Модель монополии. (См. практика 8.3).

модель монопсонии, в которой имеется и множество критериев (8.4.11) производителей и один критерий (8.4.12) потребителя рекомендуется рассмотреть самостоятельно.

Пример 8.4. Модель монопсонии. (См. практика 8.1).

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный федеральный университет» (ДВФУ)

Школа экономики и менеджмента

МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «РЕГИОНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И ТЕРРИТОРИАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ»

081100.62 «Государственное и муниципальное управление»

г. Владивосток

Практические занятия по дисциплине «Региональное управление и территориальное планирование» представлены восемью (по четыре в пятом и шестом семестре) контрольными работами, которые выполняются в соответствии с темами РПУД в компьютерных залах с использованием метода активного обучения – составление интеллект - картыработы в соответствии с разделами теоретической части курса, оформляется в виде контрольной и завершаются защитой.