Расчет уравнения состояния провода

Для определения зависимости напряжений, возникающих в проводе, от нагрузки и температуры составляется уравнение состояния провода. С помощью этого уравнения можно найти напряжения в проводе в любых требуемых условиях на основании известных напряжений, нагрузок и температур в начальном состоянии.

Выбор допускаемого напряжения провода производится на основе расчета критических пролетов.

Исходные данные для определения величины критических пролетов:

Режим	Без ветра и гололеда	С гололедом и ветром
Р, Н/м	11,1
g ×107 ,Н/м3	0,0327	0,059

L = 200м ; tэ = 10 °С ; t_ = - 35 °С; t+ = 35 °С ; a = 19,8 ×10^-6 град ^-1 ; Е = 7,7× 10⁴ Н/мм² [1]

Допустимое напряжение в материале провода устанавливается ПУЭ с учетом коэффициента запаса в процентах от предела прочности при растяжении s_р. Эти значения различны для режимов наибольшей нагрузки, наименьшей температуры и среднегодовой температуры [1]. Для сталеалюминевых проводов в режимах максимальной нагрузки и наименьшей температуры они равны 45%s_р, а в режиме среднегодовых температур – 30%s_р (см.табл.9, пр. А)

Предел прочности по растяжению s_р может быть найден по выражению

s_р = R / F, (2.14)

или по табл. 8 Приложения А s_р = 270 Н/мм² (для отношения А/С = 300/39 = 7,69

Допустимые напряжения составляют :

s_- = 0,45 s_р = 0,45 * 270= 122 Н/мм²

s₇ = 0,45 s_р = 0,45 * 270= 122 Н/мм²

s_э = 0,3 s_р = 0,3 * 270= 81 Н/мм²

Рассчитаем критические пролеты:

__________________ ________________________________

4,46 s_ √a Е (tэ - t_ ) – 0,325 s_ 4,46 ×122 Ö 19,8× 10^-6 7,7 ×10 ⁴ [9-(-23)] – 0,325 ×122

l_1к= ---------- -------------------------------- = --------------------------------------------------------------- =323м

g₁ Ö Е 0,0327 √ 7,7 ×10⁴

_____________________ _

4,9 s_г √ a Е (t_г - t_ )+ 0,119 s_г 4,9 ×122 √ 19,8 10^-6 7,7×10⁴ [(-5)-(-23)]+0,119 ×122

l_2к= ----------- -------------------------------= ------------ -------------------------------------------------- = 368м

g₁ Ö Е [(g₇ / g₁)² – 1,29 ] 0,0327 Ö 7,7× 10⁴[ (0,059 /0,0327)² – 1,29]

_________________ ___________________________

4,9 s_г √ a Е (t_г - t_Э )+ 0,405 s_г 4,9× 122 √19,8 10^-6 7,7× 10⁴[(-5)-9]+0,405×122

l_3к= --------- -------------------------------- = ------------ --------------------------------------- = 540 м

g₁ Ö Е [(g₇ / g₁)² – 2,82] 0,0327 Ö 7,7× 10⁴[ (0,059 /0,0327)² – 2,82]

Т.к. l_к1< l_к2 < l_к3 (323 < 368 < 540м ) и l< l_к1 (200 < 323), то уравнение состояния имеет вид

g²× L² Е g₁²× L² Е

s - ----------- = s_{_} - -------------- - aЕ ( t - t_ ), (2.15)

24× s² 24× s_²

Расчет проводится для режимов :

1) Максимальных температур (t+, g = g1).

2) Минимальных температур (t-, g = g1).

3) Среднегодовых температур (tэ, g = g1).

4) Гололеда (tг, g = g3).

5) Режима максимальных нагрузок (tг, g = g7).

Для примера произведем расчет уравнения состояния провода для режима максимальных температур, т.е. подставим t = t₊ ; g = g1 :

g₁ ²× L² Е g₁²× L² Е

s - ------------- = s_ - -------------- - aЕ ( t₊ - t_ ) (2.16)

24× s² 24× s_²

В общем случае уравнение состояния можно представить в виде кубического уравнения

s²(s + А) = В,

где А и В – коэффициенты кубического уравнения

g₁²×Е × L ² g₁ ²×Е × L ²

А = - s_ ₊ -------------- + aЕ ( t₊ - t_ ) В = --------------

24× s_² 24

0,0327 ² × 7,7 ×10⁴ × 200²

А = -122 + ------------------------------- + 19,8 ×10^-6 × 7,7× 10⁴ ×(35 – (-35)) = - 5,5

24 ×122²

0,0327 ² × 7,7× 10⁴ × 200²

В = --------------------------------- = 136946

s²(s + (-5,5)) = 136946

s³ - 5,5s² - 136946 =0

Решение кубичного уравнения. Решение Кардано.

s³ + аs² + bs + c = 0

a = A b = 0 c = -B

Подстановкой s = y – а/3 = у – А/3 уравнение приводится к неполному виду

y³ + py + q = 0,

где p = - а² / 3 + b = - А²/3 q = 2 ( a / 3 )³ - ab / 3 + c = 2( А/3)³ - В

Корень у₁, неполного кубичного уравнения равен :

у = C + D

3___________ 3 _________

C = Ö - q/2 + Ö F D = Ö - q/2 - Ö F

F = ( p / 3 )³ + ( q / 2 )²

p = - А²/3 = - (-5,5)² / 3 = - 10,1

q = 2( А/3)³ – В = 2(-5,5 / 3)³ - 136946= - 136958

F = ( p / 3 )³ + ( q / 2 )² = (- 10,1 /3)³ + (-136958/3)² = 4689391091

^{3 _______________ 3 _____}

С = Ö - q/2 + Ö F = Ö - (-136958 / 2) + Ö 4689391091 = 49,6

3___________ 3_________________________

D = Ö - q/2 - Ö F = Ö - (-137016/2)- Ö 4689391091 = 0,1

у = C + D = 49,6 + 0,1 = 49,7

s₊ = у – А/3 = 49,7 – ( -5,5 / 3 ) = 51,5 Н/мм² < 81 Н/мм² , следовательно провод выдержит напряжение.

Аналогично определяют напряжения в других режимах, в результате

s_ = 119 Н/мм² < 122 Н/мм²

s_э = 68,8 Н/мм² < 81 Н/мм²

s_г = 91,3 Н/мм² < 122 Н/мм²

s₇ = 91,6 Н/мм² < 122 Н/мм²

Во всех режимах напряжения в материале провода в пределах нормы.

Определение стрелы провеса провода

Одной из величин, определяющих высоту опор, является стрела провеса, поэтому определяем наибольшую и наименьшую стрелу провеса провода, а также строим кривые провисания провода в заданном пролете.

Исходные данные :

1. Температура гололеда tг = -5°C .
2. Напряжение в материале провода в режиме гололеда s₃ =s_Г = 91,3 Н/мм²_.
3. Модуль упругости материала Е = 7,7× 10⁴ Н/мм² .
4. Температурный коэффициент линейного расширения материала провода

a = 19,8 ×10^-6 град ^-1.

1. Удельная механическая нагрузка, обусловленная весом провода

g₁ = 0,0327 Н/м мм².

1. Удельная механическая нагрузка, обусловленная весом гололеда

g ₃= 0,0575 Н/м мм².

1. Максимальная температура t₊. = 35°С
2. Напряжение в материале в режиме минимальной температуры s_ = 119 Н/мм²
3. Напряжение в материале в режиме максимальной температуры s₊ =51,5 Н/мм²
4. Длина пролета L = 200 м._{_}

1. Определяем критическую температуру tк

t_К = t_г + s_г (1 - g₁ / g₃ ) /a Е (2.17)

91,3 (1 – 0,0327 / 0,0575)

t_К = -5 + -------------------------------------- = 21°С

19,8 ×10^-6 ×7,7×10⁴

1. Сравниваем критическую температуру tк с максимальной температурой :

Так как t_К = 27,3°С < 42°С, то наибольшая стрела провеса fнб будет при максимальных температурах.

1. Рассчитываем fнб и fнм .

fнб = f₃ = g₁ × L ² / 8× s₊ = 0,0327 × 200² /( 8 × 51,5) = 3,2м

fнм = g₁ × L ² / 8× s_{_} = 0,0327 × 200² /( 8 × 119) = 1,4м

4. Кривые провисания строятся по формуле вида

y = g x²/ 2 s (2.18)

и сводятся в таблицу 2.2. Ось Х = L/ 2 делится на равные отрезки

Таблица 2.2

Режимы	Х, м
y fнб (t+ , g1, s+),м		0,03	0,13	0,29	0,51	0,79	1,14	1,56	2,03	2,57	3,2
y fнм (t_ , g1, s_),м		0,01	0,06	0,12	0,22	0,35	0,5	0,68	0,88	1,12	1,38

По данным таблицы строим кривые провисания провода (см.рис.2.1) .

Рисунок 2.1 – Кривые провисания провода