Особые параллели и точки на них являются границами видимости кривой на соответствующих проекциях сферы
Поверхности вращения второго порядка
Это поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг оси, лежащей в плоскости симметрии кривой.
Эллипсоид вращения
Образуется вращением эллипса вокруг оси (рис. 2-85).
Рис. 2-85
Эллипсоид сжатый
Эллипс вращается вокруг малой оси (рис. 2-86)
Рис. 2-86
Эллипсоид вытянутый
Эллипс вращается вокруг большой оси (рис. 2-87)
Рис. 2-87
Параболоид вращения
Образуется вращением параболы вокруг её оси (рис. 2-88).
Рис. 2-88
Параболоид применяется в прожекторах и фарах автомобилей, где используются фокальные свойства параболы; если в фокусе параболы поместить источник света, то световые лучи, отражаясь от параболы, будут распространяться параллельно друг другу (рис. 2-88-1). На этом же свойстве основано и действие звукоуловителей и радиотелескопов.
Рис. 2-88-1
Гиперболоид вращения
Образуется вращением гиперболы вокруг её оси.
Различают однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения.
Однополостный (рис. 2-89) образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси (рис-2.90). Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (рис. 2-91).
Рис. 2-89
Определитель однополостного гиперболоида S (l, i ^ П1)
Рис. 2-90
Определитель однополостного гиперболоида (образующая - прямая линия). Образующая и ось скрещивающееся прямые. Эту поверхность относят и к линейчатым поверхностям
S (l, i ^ П1, l ° i) (рис. 2-91).
Рис. 2-91
Двуполостный гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси.
Рис. 2.93.
Один из способов (рис. 2-92) построения однополостного гиперболоида: т.к. горизонтальные проекции всех образующих должны касаться проекции горловой окружности, то каждое последующее положение прямолинейной образующей можно создавать проведением касательных к проекции окружности горла.
Рис. 2-92
Выдающийся русский инженер В.Г. Шухов (1921г) предложил использовать однополостный гиперболоид для строительства прочных и технологичных конструкций (радиомачт, водонапорных башен, маяков).
Алгоритм построения, если поверхность задана параллелями и расстоянием (l) от экватора до горла (рис. 2-92):
1. Разбить горловую (А,В,С...) и нижнюю (1,2,3,..) параллели на 12 равных частей;
2. Из точки 41 провести образующие так, чтобы они были касательными к горловой параллели (т.е. через В1 и Е1), на горизонтальной проекции верхней параллели получим точку Р1, которая определит положение верхней параллели на фронтальной проекции. Эти образующие и на П2 пройдут через те же точки (42, В2, Е2).
3. Для остальных точек построение повторить.
Только три поверхности вращения второго порядка имеют в качестве образующей прямую линию. В зависимости от расположения этой прямой относительно оси, можно получить три вида линейчатых поверхностей вращения второго порядка:
1. цилиндр, если образующая параллельна оси вращения x2 + y2 = R2;
2. конус, если образующая пересекает ось вращения k2(x2 + y2) – z2 = 0;
3. однополостный гиперболоид вращения, если ось и образующая скрещиваются
(x2 + y2) / a2 – z2 / d2 = 0