Основные элементарные функции
Говорят, что на множестве точек плоскости
задана функция
, если каждой точке
поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений комплексного переменного
. Мы будем рассматривать только такие функции, для которых множества
и
являются областями, причем
называется областью определения, а
областью значений функции
.
Задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций действительных переменных
,
:
, (3.1)
где ,
.
Это позволяет свести изучение функции комплексного переменного к изучению двух функций действительных переменных.
Геометрически заданную на D однозначную функцию можно рассматривать как отображение точек области D плоскости z в некоторую область G плоскости w. В этом отображении и проявляются свойства функции
(рис. 3.1).
Точки z, линии , области
называют прообразами точек
, линий
и областей
соответственно, а w,
,
называют образами при отображении
.
Если в плоскости z кривая задана неявным уравнением
, то для нахождения уравнения ее образа
в плоскости w при отображении, осуществляемом функцией
, достаточно
исключить x и y из уравнений
![]() |
Если кривая задана параметрически уравнениями
или
,
, то можно получить параметрические уравнения
, представив действительную и мнимую части
как функции параметра t:
.
Комплексное число называется пределом функции
при
, если для любого
найдется
такое, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
. В этом случае пишут
.
Существование , где
, равносильно существованию
и
, причем
.
Функция называется непрерывной в точке
, если она определена в точке
и ее окрестности и
, где
конечное комплексное число.
Функция, непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке
, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были непрерывными функциями в точке
.
Отметим, что понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного. Свойства пределов и непрерывных функции действительного переменного остаются в силе для функций комплексного переменного.
Приведем некоторые элементарные функции комплексного переменного.
Дробно - рациональная функция
,
. (3.2)
в частности, многочлен .
Показательная функция
, (3.3)
которая в отличие от функции действительного переменного является периодической функцией с периодом , т.е.
.
3. Тригонометрические функции
,
, (3.4)
,
(3.5)
Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии. В отличие от тригонометрических функций действительного аргумента модули функции и
могут быть больше 1.
4. Гиперболические функции
,
, (3.6)
,
. (3.7)
Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:
. (3.8)