С помощью единичной функции соответствие (1.3) можно записать в виде
.
Полагая здесь , снова получаем соответствие (1.2)
которое можно записать и так:
.
2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ
И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОРИГИНАЛА
Требования 1, 2, 3 наложены на функцию неслучайно. Только при таких условиях несобственный интеграл (1.1) сходится и, следовательно, определяет некоторую функцию
. Установлено, что условия 1-3, которые удовлетворяют оригиналы, являются достаточными условиями сходимости интеграла Лапласа. Но если
является оригиналом, то возникает вопрос, в какой области комплексной плоскости
интеграл Лапласа сходится, т.е. существует изображение
. Именно с таким вопросом мы столкнулись и дали на него ответ при отыскании изображения единичной и показательной функции, исходя из его определения. Ответ на эти вопросы дает следующая теорема.
Теорема (существования изображения).Если функция - является оригиналом, то ее изображение
определено для всех значений комплексного переменного
, удовлетворяющих условию
, т.е. в полуплоскости
, где
показатель роста функции
, и является аналитической функцией в этой области.
![]() | Геометрически теорему можно истолковать следующим образом. Если на комплексной плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Доказательство.Для доказательства первой части теоремы достаточно установить абсолютную сходимость интеграла Лапласа в области . Известно, что абсолютная величина интеграла не больше интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции, т.е.
.
По условию оригинал и, следовательно, выполняется условие 3, согласно которому
.
Кроме того,
Поэтому
.
Тогда
(2.1)
. Отсюда в силу признака сравнения вытекает сходимость интеграла Лапласа, а значит, существование изображения
для тех значений р, у которых
.
Доказательство второй части теоремы, а именно аналитичности функции в полуплоскости
сложнее и здесь не будет проведено. Оно основано на свойствах равномерно сходящихся интегралов.
Следствие (поведение изображения, на бесконечности). Если точка р стремится в бесконечность так, что , то изображение
.
Справедливость этого утверждения непосредственно следует из неравенства (2.1). Действительно, , но
, а поэтому
.
Приведенные теорема и следствие позволяют высказать следующее суждение: не всякая функция комплексного переменного р может служить изображением некоторого оригинала
. Из аналитичности функции
в полуплоскости
следует, что все особые точки
должны лежать левее прямой
(или на самой прямой). По этой причине функция
не является изображением: она имеет бесконечное число полюсов
на оси
. Функция
также не является изображением, так как
не стремится к нулю, когда
.
Обсудим полученные в п.1.2 операционные соотношения (1.2) и (1.3) в связи с приведенной теоремой. Правая часть формул–функция определена и аналитична при всех значениях р, кроме
, где она имеет полюс.