Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

по курсу «Начертательная геометрия»

МОДУЛЬ №4

Тольятти 2007

УДК 514.18(076)

ББК 22.15.3

Н36

Рецензент:

к.т.н., доцент А.Г. Егоров (ТГУ).

Н36Начертательная геометрия. Модуль №4: учеб.-метод. Пособие / сост. Т.А. Варенцова, Г.Н. Уполовникова. – Тольятти : ТГУ, 2007.- 33 с.

Содержит полный теоретический материал для успешного освоения студентами курса «Начертательная геометрия». Учебный материал разбит на 4 модуля. Каждый модуль является логически завершенной частью, заканчивается контрольными вопросами и тестом с ответами для самоконтроля студента.

Для студентов технических специальностей высших учебных заведений

Рекомендовано к изданию методической комиссией автомеханического института Тольяттинского государственного университета

© Т.А. Варенцова, Г.Н. Уполовникова,

Составление, 2007

© Тольяттинский государственный

Университет, 2007

Содержание

Метрические задачи. Преобразование комплексного чертежа. 3

Метрические задачи. 3

Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости. 3

Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения. 8

Взаимная перпендикулярность двух плоскостей общего положения. 9

Построение плоскости, касательной к поверхности. 11

Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами. 14

Преобразование комплексного чертежа. 17

Способ замены плоскостей проекций. 18

Пространственная модель. 19

Плоский чертёж.. 20

Первая основная задача преобразования комплексного чертежа. 20

Вторая основная задача преобразования комплексного чертежа. 21

Третья основная задача преобразования комплексного чертежа. 23

Четвёртая основная задача преобразования комплексного чертежа. 25

Способ вращения вокруг проецирующей оси. 26

Решение четырех основных задач преобразованием комплексного чертежа способом вращения вокруг проецирующей оси. 29

Задача №1. 29

Задача №2. 31

Задача №3. 32

Задача №4. 33

Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа. 35

Решение позиционных задач с помощью преобразования комплексного чертежа. 41

Контрольные вопросы.. 44

Тест №1. 45

Тест №2. 45

Ответы к тесту №1. 46

Ответы к тесту №2. 46

Метрические задачи. Преобразование комплексного чертежа

Модуль №4 предполагает знакомство с задачами, связанными с различными измерениями: натуральных величин отрезков, углов, плоских фигур; расстояний между фигурами и т.д. Вы узнаете, как проще решать метрические и позиционные задачи, используя способы преобразования комплексного чертежа. Кроме того, используя знания, полученные в модулях 1-3, Вы научитесь решать сложные инженерные конструктивные задачи.

Метрические задачи

"Ведь между двух соседних точек

Прямая - самый краткий путь,

Иначе слишком много кочек

Необходимо обогнуть."

Л.Н.Мартынов

Как Вы думаете?

1. Что является кратчайшим расстоянием от точки до прямой, до плоскости?

2. Что является кратчайшим расстоянием между скрещивающимися прямыми, между двумя параллельными плоскостями?

3. На чертеже рис. 4-1 показан угол АВС. Присутствует ли на какой-нибудь плоскости проекций натуральная величина угла?

Рис. 4-1

Метрическими называются такие задачи, в условии или решении которых присутствуют геометрические фигуры или понятия, связанные с численной характеристикой.

Наиболее часто встречаются метрические задачи: на взаимную перпендикулярность геометрических фигур, на определение натуральной величины заданных отрезка или угла, на построение натурального вида плоской фигуры и т. п.

Из всего многообразия метрических задач выделяются две основные:

1. Первая основная метрическая задача - на перпендикулярность прямой и плоскости.

2. Вторая основная метрическая задача - на определение натуральной длины отрезка. Эта задача решается методом прямоугольного треугольника, который рассматривался в первом модуле.

Рассмотрим подробнее первую основную метрическую задачу.

Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости.

Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Задача: Через точку К Î S построить прямую n, перпендикулярную плоскости S(а || b). Анализ решения задачи проведём на пространственном чертеже, рис. 4-2.

Чтобы провести прямую n ^ S, нужно в этой плоскости взять две пересекающиеся прямые (на рис. 4-2 это р Ç m = К). Прямую n нужно строить перпендикулярно одновременно двум этим прямым.

Однако, если прямые р и m будут прямыми общего положения, то прямой угол к ним ни на одной плоскости проекций не спроецируется в натуральную величину. Согласно теореме опроецировании прямого угла (см. свойство 2 ортогонального проецирования, модуль №1) прямой угол спроецируется в натуральную величину на какую-нибудь плоскость проекций, если одна сторона прямого угла будет параллельной этой плоскости проекций. Поэтому, в качестве прямых р и m выгодно взять горизонталь h и фронталь f (рис. 4-3). Тогда прямой угол между n и h спроецируется в натуральную величину на П₁, а прямой угол между n и f - на П₂.

Рис. 4-3

Плоский чертёж: На рис. 4-4 плоскость S задана параллельными прямыми а и b. Точка К(К₂) принадлежит этой плоскости. Нужно построить n ^ S, n Î К.

Рис. 4-4

Согласно приведённым выше рассуждениям, в плоскости необходимо взять горизонталь и фронталь, затем, перпендикулярно каждой из них строить п. Построения начинаем с горизонтали (рис. 4-5).

Рис. 4-5

Через точку К₂ проводим h₂ ^ линиям связи, находим h₁, а на ней, с помощью линии связи, К₁. Так как n ^ h, то n₁ ^ h₁, поэтому проводим n₁ ^ h₁ через точку K₁.

Аналогично находим n₂ (рис. 4-6). Через точку К₁ проводим f₁ ^ линиям связи, находим f₂. Так как n ^ f, тo n₂ ^ f₂, поэтому проводим n₂ ^ f₂ через точку К₂.

Рис. 4-6

Полностью решение задачи представлено на рис. 4-7. Видимость прямой n не учитывалась.

Рис. 4-7

Алгоритмическая запись решения:

1. h Ì S, f Ì S, h Ç f = K.

2. K Î n Þ K₁ Î n₁, K₂ Î n₂.

3. n ^ h Þ n₁ ^ h₁;

4. n ^ f Þ n₂ ^ f₂.

Итак, чтобы задать на комплексном чертеже прямую n, перпендикулярную данной плоскости S, достаточно построить n₁ и n₂, расположив их в любом месте чертежа, чтобы n₁^h₁, n₂ ^ f₂, где h и f - горизонталь и фронталь плоскости, при условии, что h Ç f.

Если плоскость S занимает проецирующее положение, то прямая, перпендикулярная ей, является линией уровня (рис. 4-8, 4-9).

Рис. 4-8

Если S - горизонтально проецирующая:

S ^^ П₁ Þ h₁ = S₁, f ^^ П₁

n ^ h Þ n₁ ^ h₁; n ^ f Þ n₂ ^ f ₂; Þ n - горизонталь

Рис. 4-9

Если S - фронтально проецирующая:

S ^^ П₂ Þ f₂ = S₂, h ^^ П₂.

n ^ h Þ n₁ ^ h₁; n ^ f Þ n₂ ^ f₂; Þ n -фронталь

Чтобы лучше понять данное утверждение, нужно вспомнить , какие прямые являются линиями уровня в проецирующих плоскостях. Для этого посмотрите рис. 2-12 и 2-14 в модуле № 2.

Обратная задача.

Чтобы задать на чертеже плоскость, перпендикулярную данной прямой n, достаточно задать проекции горизонтали и фронтали этой плоскости так, чтобы f₂ ^ n₂, a h₁ ^ n₁. При этом, очевидно, должно выполняться условие h Ç f (рис. 4-10).

Рис. 4-10

Если прямая n является прямой уровня, то плоскость, перпендикулярная ей, занимает проецирующее положение (рис. 4-11, 4-12) и может быть задана своей главной проекцией S₁ или S₂.

Если прямая n - горизонталь (рис. 4-11), то плоскость S, перпендикулярная ей, является горизонтально проецирующей (S₁).

Рис. 4-11

Если прямая n - фронталь (рис. 4-12), то плоскость S, перпендикулярная ей, является фронтально проецирующей (S₂).

Рис. 4-12

Если прямая n занимает проецирующее положение, то плоскость, перпендикулярная ей, является плоскостью уровня (рис. 4-13, 4-14).

Прямая n - горизонтально проецирующая (рис. 4-13), S ^ n - горизонтальная плоскость уровня (S₂).

Рис. 4-13

Прямая n - фронтально проецирующая (рис. 4-14), S ^ n - фронтальная плоскость уровня(S₁).

Рис. 4-14