Кинематические параметры движения

Судна

Для точной оценки местоположения судна и особенностей его поведения при маневрировании необходимо прежде всего установить кинематическую связь между отдельными параметрами его движения .

В общем случае судно, как управляемая система, при произвольном движении обладает шестью степенями свободы. Однако, при решении практических задач управления водоизмещающими судами обычно исследуют лишь движение в горизонтальной плоскости, совпадающей с невозмущенной поверхностью воды.

Для удобства анализа изменения параметров движения судна обычно используют две системы прямоугольных координат (рис.2).:

Рис. 2. Кинематический параметры криволинейного движения судна

неподвижную, связанную с Землей – X_оOУ_о и подвижную, связанную с основными осями симметрии судна – XGУ.

Начало подвижной системы координат расположено в центре масс (G), ось X совпадает с диаметральной плоскостью судна (Д.П.) и имеет положительное направление в нос, а ось У – по нормали к ней и её положительное направление – в

сторону перекладки рулевого органа.

Неподвижная система координат расположена так, что положительное направление оси (X_о) берется в сторону первоначального (до начала маневра) прямолинейного движения судна, а ось У_о – по нормали к ней с положительным направлением также в сторону перекладки рулевого органа. Полагаем, что в начальный момент маневрирования обе системы координат совпадают.

Неподвижная система координат обычно используется только для определения местоположения судна в любой момент времени (точно также, как координаты судна в навигации) и построения траектории движения какой-либо точки на плоскости. Поскольку судно является не точечным объектом, а имеет линейные размеры, то его мгновенное положение в пространстве определяется дополнительными координатами:

- углом курса Ψ (или угол поворота), это угол между осью OX_о и диаметральной плоскостью судна (Д.П.);

- углом дрейфа β (угол между вектором линейной скорости в рассматриваемой точке и Д.П.; обычно в рассмотрение вводят ещё угол скорости это угол между осью OX_о и направлением касательной к траектории движения вектором линейной скорости. (В навигации этот угол называют путевым углом). Он удобен для определения координат траектории криволинейного движения.

Все эти углы связаны очевидным соотношением:

(1)

Известно, что движение судна, как и любого твердого тела, по произвольной траектории всегда может быть представлено как результат двух простых видов движения: поступательного с линейной скоростью , которая всегда направлена по касательной к траектории вращательного движения с угловой скоростью относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести судна.

Под угловой скоростью поворота судна понимают изменение угла курса в единицу времени т.е.

(2)

Дифференцируя по времени уравнение (1) с учетом (2) получим

(3)

Траекторию криволинейного движения судна всегда можно представить отрезком длины окружности определенного радиуса (или нескольких отрезков разной кривизны, если движение судна носит неустановившийся характер). Из курса аналитической геометрии известно, что радиус кривизны любой дуги определяется выражением:

(4)

где - элементарная длина дуги;

- элементарный угол поворота.

Применительно к траектории криволинейного движения величина определяет расстояние, пройденное судном, т.е.:

(5)

С учетом этого, выражение (4) можно представить в виде:

(6)

Преобразуя выражение (6) путем разделения переменных получим:

(7)

Подставляя (2) и (7) в уравнение (3) имеем:

(8)

Полученное выражение определяет связь между параметрами поступательного и вращательного движения судна по любой произвольной криволинейной траектории.

Оно широко используется в практике управления судном. Исследования показали, что доля величины в составе значения угловой скорости на судах внутреннего и река-море плавания не превышает 7 %. В связи с этим, с достаточной для практических целей точностью можно пользоваться упрощенным приближенным выражением

(9)

где - град/мин;

- км/ч;

- км;

которое позволяет с достаточной точностью проводить суда по криволинейным участкам определенного радиуса судового хода с заданной угловой скоростью.

Точность проводки увеличивается, если на судне в составе навигационного оборудования имеется прибор УСП (указатель скорости поворота).

Однако, при оценке безопасности движения не следует забывать, что угол дрейфа имеет разное значение для различных точек по длине судна.

Рассмотрим прямоугольный треугольник O₁PG(рис.2)

Так, для произвольной точки A справедливо выражение:

(10)

где и - соответственно абсцисса точки P и точки A

относительно центра масс судна G

С учетом того, что

(11)

выражение (10) можно представить в виде

(12)

Из выражения (12) нетрудно видеть, что при наложении рассматриваемой точки в носовой части судна от центра тяжести (увеличении аппликаты ХА) угол дрейфа уменьшается. Такая точка на диаметральной плоскости, в которой угол дрейфа равен нулю ( ) называется «полюсом поворота» (или «центром вращения» - Pivot Point) В этой точке направление вектора линейной скорости совпадает с Д.П. судна. Для всех точек, которые лежат впереди «полюса поворота» угол дрейфа имеет отрицательное значение.

При практическом маневрировании очень важно знать величину радиуса поворота кормового перпендикуляра судна, который определяет величину потребной акватории для разворота судна. Его величина определится из совместного решения прямоугольных треугольников по очевидному выражению

(13)

Поскольку скорости точек судна пропорциональны радиусам кривизны, то

(14)

Выражение (14) является математическим объяснением известного в среде судоводителей термина «раскатка кормы» (когда на повороте корма как бы «забегает»-«раскатывается» в сторону, противоположную повороту вокруг полюса поворота). При этом угол дрейфа в корме судна равен

(15)

В настоящее время существует достаточный разброс мнений о точном местонахождении полюса поворота. Более подробно данный вопрос будет рассмотрен ниже.

При практических расчетах управляемости возникает необходимость определения траектории движения судна, т.е. отыскания координат центра масс в неподвижной системе координат и угла курса в произвольный момент времени.

В этом случае, при известных значениях кинематических параметров движения имеем (см. рис.2)

(16)

Интегрируя выражение (16) с учетом (1) имеем:

;

(17)

Параметры движения могут быть определены не только в центре масс судна, но и в любой его точке А.

(18)