Построение развертки пирамидальной поверхности. Метод триангуляции.

Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью.

Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности – плоских многоугольников.

Существует три способа построения развертки многогранных поверхностей:

1. Способ нормального сечения;

2. Способ раскатки;

3. Способ треугольника.

Пример 1. Развертка пирамиды

При построении развертки пирамида применяется способ треугольника. Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды и многоугольника - основания. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трем сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину ребер и сторон основания.

Алгоритм построения можно сформулировать следующим образом (рис.):

1.Определяют натуральную величину основания пирамиды (например методом замены плоскостей проекций);

2.Определяют истинную величину всех ребер пирамиды любым из известных способов (в данном примере натуральная величина всех ребер пирамиды определена методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды S);

3.Строят основание пирамиды и по найденным трем сторонам строят какую-либо из боковых граней, пристраивая к ней следующие (рис.).

Точки, расположенные внутри контура развертки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех ребер, по которым многогранник разрезан, на развертке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развертки.

Примером первой точки на рисунках служит точка К₀ и КОSАD, а иллюстрацией второго случая являются точки М₀ и М₀^*. Для определения точки К₀ на развертке пришлось по ее ортогональным проекциям найти длины отрезков АМ ( метод замены плоскостей проекций) и SК (метод вращения). Эти отрезки были использованы затем при построении на развертке сначала прямой S₀М₀ и, наконец, точки К₀.

Пример 2. Развертка призмы

В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. Преобразуют эпюр так, чтобы ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину.

Пересекая призму вспомогательной плоскостью α, перпендикулярной ее боковым ребрам (способ нормального сечения), строят проекции фигуры нормального сечения – треугольника 1, 2, 3, а затем определяют истинную величину этого сечения. На примере она найдена методом вращения.

В дальнейшем строям отрезок 1₀-1₀^*, равный периметру нормального сечения. Через точки 1₀, 2₀, 3₀ и 1₀^* проводят прямые, перпендикулярные 1₀-1₀^*, на которых откладывают соответствующие отрезки боковых ребер призмы, беря их с новой фронтальной проекции. Так, на перпендикуляре, проходящем через точку 1₀, отложены отрезки 1₀D₀=1₄D₄ и 1₀А₀=1₄А₄.

Соединив концы отложенных отрезков, получают развертку боковой поверхности призмы. Затем достраивают основание.