Геометрические тела и их отображение
Геометрическое тело рассматривают как множество всех принадлежащих ему точек, связанных между собой и ограниченных в пространстве соответствующим образом. Оно может перемещаться в пространстве без изменения взаимного положения его элементов.
В инженерной графике рассматриваются одномерные тела (отрезок линии), двухмерные (плоская фигура, отсек поверхности), трехмерные (любая объемная фигура). Основными предметами изображения на плоских чертежах являются трехмерные геометрические тела, окружающие нас в реальном трехмерном пространстве.
Сложные геометрические тела можно рассматривать и как состоящие из более простых трехмерных фигур, которые определяются основными формообразующими элементами пространства — точками, линиями, поверхностями.
Геометрические тела на чертежах получают методом отображения. Отображение геометрического тела — это понятие, в соответствии с которым каждой точке трехмерного пространства соответствует конкретная точка двухмерного пространства на чертеже. Отображение геометрических тел может быть выполнено на плоскость или какую-либо другую поверхность. В курсе инженерной графики рассматривается отображение геометрических тел на плоскость. Изображение геометрического тела на плоскости можно получить путем проецирования ее точек на эту плоскость.
Геометрическая связь между геометрическим телом, расположенным в пространстве, и его отображением на чертеже на плоскости устанавливаются по законам проецирования, которые базируются на принципе взаимно-однозначного соответствия.
Вопросы для самопроверки
1 Что называется чертежом?
2 Чем характеризуется евклидово пространство?
3 Что такое параллельность?
4 Каким методом на чертежах получают геометрические тела?
Изображение объектов трехмерного пространства
Метод проекций
Теоретические свойства построения чертежа в инженерной графике базируются на правилах построения изображений, основанных на методе проекций. Изображение объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования. Проецирование— это процесс, в результате которого получают изображения, представляющие собой проекции на плоскости.
Аппарат проецирования включает в себя изображаемые объекты — точки А, В, проецирующие лучи i и плоскость проекции п', на которой получается изображение объектов (рисунок 45). Процесс проецирования заключается в проведении проецирующих лучей через заданные точки до встречи с плоскостью проекций. Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций и определяет проекцию этой точки. Так, проекцией точки А является точка А', т. е. [i ~ A; i ^ п' = А']. Проекцией точки В является точка В', хотя проекция точки В, лежащей в плоскости п', совпала с самой точкой. Чтобы получить проекцию какой-либо фигуры, необходимо построить проекции ее характерных точек и соединить их на чертеже соответствующими линиями.
Рисунок 45 – Проецирование точек А и В
Способы проецирования
Построить проекции предметов на чертеже можно двумя способами: центральным и параллельным.
Сущность центрального способа проецирования заключается в том, что все лучи, проецирующие предмет, исходят из одной точки Р, называемой центром проекций (рисунок 46). Полученные проекции А', В', С' называются центральными проекциями точек А, В, С.
Рисунок 46 - Центральное проецирование
Сущность параллельного способа заключается в том, что все проецирующие лучи проходят параллельно наперед заданному направлению 5, а значит и друг другу (рисунок 47). Это можно уподобить случаю центрального способа проецирования, когда центр проекций S удален в бесконечность и все проецирующие лучи становятся параллельны- ми. При построении проекций А', В', С' этим способом они называются параллельными проекциями точек А, В, С.
Рисунок 47 – Параллельное проецирование
При проецировании совокупность проецирующих лучей образует различные геометрические фигуры. При проецировании прямой линии — это плоскость (рисунок 48) при проецировании ломаной линии — поверхность призмы или пирамиды (рисунок 49), при проецировании кривой линии — коническая или цилиндрическая поверхность.
В отличие от проецируемых фигур эти фигуры называют проецирующими.
Рисунок 48 – Проецирование прямой линии
Рисунок 49 – Проецирование ломаной лини
Свойства проекций
Проекции, полученные при центральном и параллельном проецировании, обладают рядом свойств.
Проекция точки есть точка.При заданном центре Р (.или направлении S) проецированию любой точки А пространства соответствует иа плоскости проекций п' единственная точка А'. При этом проекция точки В, лежащей в плоскости проекций, совпадает с самой точкой (рисунок 45).
Проекция прямой есть прямая.На рисунке 48 лучи, проецирующие прямую т, создают плоскость S, которая пересекает плоскость проекций п' по линии m', являющейся проекцией на плоскость n'; S ~ т; S п п = т'. Проекция прямой определена, если известны проекции хотя бы двух ее точек (рисунок 50).
Рисунок 50 –Проекция прямой
Если в пространстве прямая параллельна плоскости проекции п', то ее проекция параллельна самой прямой (рисунок 51). При этом при центральном проецировании проекции отрезков пропорциональны самим отрезкам, а при параллельном — равны им.
Рисунок 51 – Проекция прямой, параллельной плоскости проекций
При параллельном проецировании сохраняется отношение величин отрезков прямой и их проекций (рисунок 52):
АВ/ВС = А'В'/В'С.
Рисунок 52 – Отношение величин отрезков и их проекций
При параллельном проецировании проекции параллельных прямых есть прямые параллельные (рисунок 53). Если прямые т и п в пространстве параллельны, то и проецирующие их плоскости Sm и Sn тоже будут параллельны. При пересечении их с плоскостью проекций п' получаем т'|| п'.
Рисунок 53 – Параллельное проецирование параллельных прямых
Проекцией плоскости является плоскость проекций.Плоскость состоит из бесконечного множества точек. При проецировании этого множества проецирующие лучи заполняют все пространство, а их точки пересечения с плоскостью проекций п' — всю плоскость проекций.
Так как положение любой плоскости в пространстве определяется тремя ее точками, не лежащими на одной прямой, то проекция трех таких точек плоскости (рисунок 54) устанавливает однозначное соответствие между проецирующей плоскостью и плоскостью проекций n', которое позволяет определить проекции (рисунок 54) любой точки D или прямой этой плоскости.
Рисунок 54 – Проекция плоскости
Если плоскость параллельна плоскости проекций, то проекции ее плоских фигур при центральном проецировании подобны самим фигурам (рисунок 55, а), а при параллельном — равны им (рисунок 55,6). Если плоскость угла параллельна плоскости проекций, величина проекции угла и при центральном, и при параллельном проецировании равна натуральной величине. На рисунок 54, a угол ABC = уголA'B'C', так как АВС бесконечность А'В'С', а на рисунок 54, б угол ABC = углу А'В'С', так как АВС = А'В'С'.
Рисунок 55 – Проецирование плоскости, параллельной плоскости проекций
При параллельном проецировании проекции фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости j проекций (рисунок 56).
Рисунок 56 – Параллельное проецирование проекции фигуры
Прямые и плоскости (поверхности) могут занимать в пространстве проецирующее положение, если с ними совпадают проецирующие лучи. При центральном проецировании это прямые и плоскости, проходящие через центр проекций, пирамидальные и конические поверхности, у которых вершины совпадают с центром проецирования (рисунок 57)
Рисунок 57 – Центральное проецирование прямыми и плоскостями
При параллельном проецировании — это прямые и плоскости, параллельные направлению проецирования, призматические и цилиндрические поверхности, ребра и образующие которых параллельны направлению проецирования (рисунок 58)
Рисунок 58 - Параллельное проецирование прямыми и плоскостями
Все эти геометрические фигуры можно рассматривать состоящими из проецирующих лучей, каждый из которых изображается точкой. Отсюда следует, что проекциями прямых, плоскостей, поверхностей, занимающих проецирующее положение, есть точки или линии их пересечения с плоскостью проекций («вырожденные» проекции).
Ортогональные проекции
Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай проецирования параллельного, когда все проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций, но при прямоугольном проецировании проекция отрезка, если он не параллелен плоскости проекций, всегда меньше самого отрезка (рисунок 58). Это объясняется тем, что сам отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция — катетом: А'В' = ABcos a.
При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется в натуральную величину, когда обе стороны его параллельны плоскости проекций, и тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости проекций.
Теорема о проецировании прямого угла.Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой же угол.
Пусть дан прямой угол ABC, у которого сторона АВ параллельна плоскости п' (рисунок 59). Проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости п'. Значит, АВ _|_S, так как АВ _|_ ВС и АВ _|_ ВВ, отсюда АВ _|_ В'С'. Но так какАВ || А'В' _|_ В'С', т. е. на плоскости п' угол между А'В' и В'С равен 90°.
Рисунок 59 – Проецирование прямого угла
Обратимость чертежа.Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция А (рисунок 54) не определяет положение самой точки в пространстве, так как не известно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций п'. Любая точка проецирующего луча, проходящего через точку А, будет иметь своей проекцией точку А'. Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображение дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа. В данном курсе будут рассмотрены чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций (комплексные чертежи) и путем перепроецирования вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций (аксонометрические чертежи).
Аксонометрические проекции
В ряде случаев для пояснения прямоугольных проекций сложных деталей, машин и механизмов применяют аксонометрические проекции. С их помощью получают наглядное изображение предметов. Сущность аксонометрического проектирования заключается в том, что фигуру, связанную с пространственной системой координатных осей, вместе с этими осями координат проецируют на одну плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций. Подробно аксонометрические проекции рассмотрены далее.