Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса

При построении сопряжения двух дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса можно рассмотреть три случая: когда сопрягающая дуга радиуса R касается заданных дуг радиусов R₁и R₂ с внешней стороны (рисунок 36, а); когда она создает внутреннее касание (рисунок 36, б); когда сочетаются внутреннее и внешнее касания (рисунок 36, в).

Построение центра О сопрягающей дуги радиуса R при внешнем касании осуществляется в следующем порядке: из центра О₁радиусом, равным R + R₁, проводят вспомогательную дугу, а из центра O₂проводят вспомогательную дугу радиусом R + R₂. На пересечении дуг получают центр О сопрягаемой дуги радиуса R, а на пересечении радиусом R + R₁и R + R₂ с дугами окружностей получают точки сопряжения А и А₁.

Построение центра О при внутреннем касании отличается тем, что из центра О₁проводят вспомогательную окружность радиусом, равным R — R₁ а из центра О₂радиусом R — R₂. При сочетании внутреннего и внешнего касания из центра О₁проводят вспомогательную окружность радиусом, равным R — R₁, а из центра О₂— радиусом, равным R + R₂.

Рисунок 36 – Сопряжение окружностей дугой заданного радиуса

Сопряжение окружности и прямой линии дугой заданного радиуса

Здесь может быть рассмотрено два случая: внешнее сопряжение (рисунок 37, а) и внутреннее (рисунок 37, б). В том и в другом случае при построении сопрягающей дуги радиуса R центр сопряжения О лежит на пересечении геометрических мест точек, равно удаленных от прямой и дуги радиуса R на величину R₁.

При построении внешнего сопряжения параллельно заданной прямой на расстоянии R₁в сторону окружности проводят вспомогательную прямую, а из центра О радиусом,равным R + R₁,— вспомогательную окружность, и на их пересечении получают точку О₁— центр сопрягающей окружности. Из этого центра радиусом R проводят сопрягающую дугу между точками А и А₁, построение которых видно из чертежа.

Рисунок 37 - Сопряжение окружности и прямой линии второй дугой

Построение внутреннего сопряжения отличается тем, что из центра О проводят вспомогательную дугу радиусом, равным R — R₁.

Овалы

Плавные выпуклые кривые, очерченные дугами окружностей разных радиусов, называют овалами. Овалы состоят из двух опорных окружностей с внутренними сопряжениями между ними.

Различают овалы трехцентровые и многоцентровые. При вычерчивании многих деталей, например кулачков, фланцев, крышек и других, контуры их очерчивают овалами. Рассмотрим пример построения овала по заданным осям. Пусть для четырехцентрового овала, очерченного двумя опорными дугами радиуса R и двумя сопрягающими дугами радиуса r , заданы большая ось АВ и малая ось CD. Величину радиусов R u r надо определить путем построений (рисунок 38). Соединим концы большой и малой оси отрезком AС, на котором отложим разность СЕ большой и малой полуосей овала. Проведем перпендикуляр к середине отрезка AF, который пересечет большую и малую оси овала в точках О₁и О₂. Эти точки будут центрами сопрягающихся дуг овала, а точка сопряжения будет лежать на самом перпендикуляре.

Рисунок 38 – Построение овала

Лекальные кривые

Лекальныминазывают плоские кривые, вычерченные с помощью лекал по предварительно построенным точкам. К лекальным кривым относят: эллипс параболу, гиперболу, циклоиду, синусоиду эвольвенту и др.

Эллипспредставляет собой замкнутую плоскую кривую второго порядка. Она характеризуется тем, что сумма расстояний от любой ее точки до двух точек фокусов есть величина постоянная, равная большей оси эллипса. Построить эллипс можно несколькими способами. Например, можно построить эллипс по его большой АВ и малой CD осям (рисунок 39, а). На осях эллипса как на диаметрах строят две окружности, которые можно разделить радиусами на несколько частей. Через точки деления большой окружности проводят прямые, параллельные малой оси эллипса, а через точки деления малой окружности — прямые, параллельные большой оси эллипса. Точки пересечения этих прямых и являются точками эллипса.

Можно привести пример построения эллипса по двум сопряженным диаметрам (рисунок 39,б) MN и KL. Сопряженными два диаметра называют, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. На сопряженных диаметрах строят параллелограмм. Один из диаметров MN делят на равные части; на такие же части делят и стороны параллелограмма, параллельные другому диаметру, нумеруя их, как показано на чертеже. Из концов второго сопряженного диаметра KL через точки деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки эллипса.

Рисунок 39 – Построение эллипса

Параболойназывают незамкнутую кривую второго порядка, все точки которой равно удалены от одной точки — фокуса и от данной прямой — директрисы.

Рассмотрим пример построения параболы по ее вершине О и какой-либо точке В (рисунок 40, а). С этой целью строят прямоугольник ОABC и делят его стороны на равные части, из точек деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки параболы.

Можно привести пример построения параболы в виде кривой, касательной прямой с заданными на них точками А и В (рисунок 40, б). Стороны угла, образованного этими прямыми, делят на равные части и нумеруют точки деления. Одноименные точки соединяют прямыми. Параболу вычерчивают как огибающую этих прямых.

Рисунок 40 – Построение параболы

Гиперболой называют плоскую незамкнутую кривую второго порядка, состоящую из двух веток, концы которых удаляются в бесконечность, стремясь к своим асимптотам. Гипербола отличается тем, что каждая точка ее обладает особым свойством: разность ее расстояний от двух данных точек-фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами кривой. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, она называется равнобокой. Равнобокая гипербола широко применяется для построения различных диаграмм, когда задана своими координатами одна точка М (риссунок 40, в). В этом случае через заданную точку проводят линии АВ и KL параллельно координатным осям. Из полученных точек пересечения проводят линии, параллельные координатным осям. В их пересечении получают точки гиперболы.

Циклоидойназывают кривую линию, представляющую собой траекторию точки А при перекатывании окружности (рисунок 41). Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АА], отмечают промежуточное положение точки А. Так, в пересечении прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из центра О₁, получают первую точку циклоиды. Соединяя плавной прямой построенные точки, получают циклоиду.

Рисунок 41 – Построение циклоиды

Синусоидойназывают плоскую кривую, изображающую изменение синуса в зависимости от изменения его угла. Для построения синусоиды (рисунок 42) нужно разделить окружность на равные части и на такое же количество равных частей разделить отрезок прямой АВ = 2лR. Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии, в пересечении которых получают точки, принадлежащие синусоиде.

Рисунок 42 – Построение синусоиды

Эвольвентойназывают плоскую кривую, являющуюся траекторией любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Построение эвольвенты выполняют в следующем порядке (рисунок 43): окружность делят на равные части; проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону и проходящие через каждую точку деления; на касательной, проведенной через последнюю точку деления окружности, откладывают отрезок, равный длине окружности 2лR, который делят на столько же равных частей. На первой касательной откладывают одно деление 2лR/n , на второй — два и т. д.

Полученные точки соединяют плавной кривой и получают эвольвенту окружности.

Рисунок 43 – Построение эвольвенты

Вопросы для самопроверки

1 Как разделить отрезок на любое равное число частей?

2 Как поделить угол пополам?

3 Как разделить окружность на пять равных частей?

4 Как построить касательную из заданной точки к данной окружности?

5 Что называется сопряжением?

6 Как сопрячь две окружности дугой заданного радиуса с внешней стороны?

7 Что называется овалом?

8 Как строится эллипс?