Сборник олимпиадных задач по математике

Сборник олимпиадных задач по математике

Для 5 класса

( с ответами и решениями)

Содержание:

1. Разные задачи............................................................

2.Метод графов..............................................................

3.Табличный способ.......................................................

4.Задачи на переливание...............................................

5.Задачи на взвешивание..............................................

Задания на восстановление записей

вычисления.................................................................

Олимпиадные задачи ( дистанционные олимпиады,

конкурс "Кенгуру", "Математическая карусель")......

ГЛАВА 1: Разные задачи

Задача 1:

В пещере старый пират разложил свои сокровища в 3 цветных сундука, стоящих вдоль стены: в один - драгоценные камни, а в другой - золотые монеты, а в третий - оружие. Он помнит, что :
- красный сундук правее, чем драгоценные камни
- оружие правее, чем красный сундук.

В сундуке какого цвета лежит оружие, если зелёный сундук стоит левее, чем синий?

Решение :

ДК - зелёный
ЗC - красный
О - синий


Задача 2 :

Девять осликов за 3 дня съедают 27 мешков корма.
Сколько корма надо пяти осликам на 5 дней?

Решение :

1 шаг 9 осликов в 1 день - 27 : 3= 9м.
2 шаг 1 ослик в 1 день - 9 : 9 = 1 м.
3 шаг 5 осликов в 1 день - 5 * 1 = 5 м.
4 шаг 5 осликов за 5 дней - 5 * 5 = 25 м.

Задача 3 :

Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за 0,5 секунды.
Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой.
Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров

Решение :
1 шаг 240 : 3 = 80 (с) скакала мама Кенгуру
2 шаг сын за 0,5 с - 1 м, за 1 с - 2 м
3 шаг 80 * 2 = 160 (м) проскачет кенгурёнок за 80 с
4 шаг 240 - 160 = 80 (м) осталось проскакать кенгурёнку когда
мама уже под эвкалиптом
5 шаг 80 : 2 = 40 (с)
Ответ: 40 секунд.


Задача 4 :

На скотном дворе гуляли гуси и поросята.
Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84.
сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе?

Решение :
1 шаг Представьте, что все поросята подняли по две ноги вверх
2 шаг на земле осталось стоять 30 * 2 = 60 ног
3 шаг подняли вверх 84 - 60 = 24 ноги
4 шаг подняли 24 : 2 = 12 поросят
5 шаг 30 - 12 = 18 гусей
Ответ: 12 поросят и 18 гусей.

Задача 5

Инженер ежедневно приезжал на станцию в одно и то же время, и в то же время за ним подъезжала машина, на которой он ехал на завод.
Однажды инженер приехал на станцию на 55 мин раньше обычного.
Сразу пошел навстречу машине и приехал на завод на 10 мин раньше, чем обычно.
Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины?

Решение:

За 10 мин машина проходит путь, равный двойному расстоянию от станции до места встречи инженера с машиной.
Значит, путь от станции до места встречи машина проходит за 5 мин.
На месте встречи машина была за 5 мин до времени обычного приезда инженера на станцию, значит, путь от станции до места встречи инженер шел 55 мин - 5 мин = 50 мин.
Следовательно, скорость инженера в 50 : 5 = 10 раз меньше скорости машины.

Задача 6

В триседьмом царстве живут драконы.
У каждого дракона одна, две или три головы,
а) Может ли у 40 % драконов быть 60 % голов?
б) Может ли у 40 % драконов быть 70 % голов?

Решение:

а) Покажем, что у 40% драконов может быть 60% голов.
Пусть в этом царстве живет 100 драконов: 40 драконов с одной головой, 20 – с двумя головами и 40 – с тремя.
Тогда число голов у всех драконов равно
40 • 1 + 20 • 2 + 40 • 3 = 200.
При этом все 40 трехглавых драконов, что составляет 40% от общего числа драконов, имеют 40 • 3 = 120 голов, что составляет
120/200 • 100% = 60% от общего числа голов.
б) Пусть число драконов равно х, а общее число голов у них равно у.
Предположим, что какие-то 40% драконов имеют 70% голов.
Тогда, поскольку каждый из этих драконов имеет не более трех голов, то 0,7у = 3 • 0,4х.
С другой стороны, поскольку остальные 60% драконов имеют 30% голов и у каждого из них не менее одной головы, то 0,6х = 0,3y.
Но эти неравенства не могут выполняться одновременно, так как они равносильны соответственно 7у = 12х и 12x = 6у.
Поэтому у 40% драконов не может быть 70% голов.

Задача 7

В пещере старый пират разложил свои сокровища в 3 цветных сундука, стоящих вдоль стены: в один - драгоценные камни, а в другой - золотые монеты, а в третий - оружие. Он помнит, что :
- красный сундук правее, чем драгоценные камни
- оружие правее, чем красный сундук.

В сундуке какого цвета лежит оружие, если зелёный сундук стоит левее, чем синий?

Решение :

ДК - зелёный
ЗC - красный
О - синий

Задача 8

Девять осликов за 3 дня съедают 27 мешков корма.
Сколько корма надо пяти осликам на 5 дней?

Решение :

1 шаг 9 осликов в 1 день - 27 : 3= 9м.
2 шаг 1 ослик в 1 день - 9 : 9 = 1 м.
3 шаг 5 осликов в 1 день - 5 * 1 = 5 м.
4 шаг 5 осликов за 5 дней - 5 * 5 = 25 м.

Задача 9

Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за 0,5 секунды.
Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой.
Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров

Решение :

1 шаг 240 : 3 = 80 (с) скакала мама Кенгуру
2 шаг сын за 0,5 с - 1 м, за 1 с - 2 м
3 шаг 80 * 2 = 160 (м) проскачет кенгурёнок за 80 с
4 шаг 240 - 160 = 80 (м) осталось проскакать кенгурёнку когда
мама уже под эвкалиптом
5 шаг 80 : 2 = 40 (с)
Ответ: 40 секунд.

Задача 10

На скотном дворе гуляли гуси и поросята.
Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84.
сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе?

Решение :

1 шаг Представьте, что все поросята подняли по две ноги вверх
2 шаг на земле осталось стоять 30 * 2 = 60 ног
3 шаг подняли вверх 84 - 60 = 24 ноги
4 шаг подняли 24 : 2 = 12 поросят
5 шаг 30 - 12 = 18 гусей
Ответ: 12 поросят и 18 гусей.

ЗАДАЧА 11

Среди 100 одинаковых на вид монет есть несколько фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие - тоже, фальшивая монета легче настоящей. Имеются также весы (с двумя чашами без стрелки), на каждой чашке умещается только по одной монете. При этом весы слегка испорчены: если монеты разного веса, перевешивает более тяжёлая монета, а если одинакового - перевесить может любая чашка. Как с помощью этих весов найти хотя бы одну фальшивую монету?

Ответ: Разделим монетки на 33 кучки по 3 монетки + 1 монетка.
Каждое трио взвешиваем между собой, получим 3 неравенства, в результате которых увидим, либо каждая монетка будет по одному разу весить меньше от других двух, либо два раза будет весить меньше других двух.
1>2 (возможны такие варианты: н=н, ф=ф, 2-фальшивка)
1<3 (н=н, ф=ф, 1- фальшивка)
2>3 (н=н, ф=ф, 3- фальшивка)
такое возможно, если все три монетки имеют одинаковый вес вежду собой, то есть из них откладываем в сторонку любую одну
1<2(н=н,ф=ф,1-ф)
1<3(н=н,ф=ф,1-ф)
2>3(н=н,ф=ф,3-ф)
У 1 больше вероятностьть оказаться фальшивой, так что ее и откладываем.
И так проделываем с каждой из 33-х кучек, в результате отложим 11 монет +1, которая не попала ни в одну из кучек.
Эти 12 монет опять разделям на 4 кучки по 3 монетки, проделываем те же манипуляции, в результате получим 4 монетки, разделяем на 1 кучку+1, та монетка из кучки, которая окажется легче, вновь откладываем и сравниваем с одинокой монеткой. Та, которая легче и будет фальшивой.

ГЛАВА П Метод графов

Один из способов решения задач типа «Кто есть кто?» - метод графов.
Граф– это несколько точек, часть которых соединены друг с другом отрезками или стрелками (в этом случае граф называется ориентированным).

Рассмотрим метод графов на примере решения задачи:

Жила-была одна дружная семья: мама, папа и сын. Они все любили делать вместе. Но вот мультфильмы любили разные: «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Определите, какой мультфильм любит каждый из них, если мама, папа и любитель мультфильма «Покемоны» никогда не унывают, а папа и любитель мультфильма «Том и Джерри» делают зарядку по утрам?

Решение:

Рассмотрим множество людей: мама, папа, сын и множество мультфильмов «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Обозначим элементы этих двух множеств точками:

Сборник олимпиадных задач по математике - student2.ru


Если точке из одного множества соответствует точка другого множества, будем соединять эти точки сплошной линией, если не соответствует – то штриховой.
Заметим, что по условию задачи у человека только один любимый мультфильм.
Учитывая данные задачи, получаем следующую схему:

Сборник олимпиадных задач по математике - student2.ru


Из условия задачи следует, что нужно найти единственно возможное соответствие между элементами двух множеств.
Правило: если какая-то точка оказывается соединенной с двумя точками другого множества штриховыми линиями, то с третьей точкой она должна быть соединена сплошной.
Поэтому граф на рисунке будет выглядеть следующим образом:

Сборник олимпиадных задач по математике - student2.ru


Теперь мы установили, что папа любит мультфильм «Ну, погоди!», сын – «Покемоны». В обеих множествах остается только по одной точке, следовательно мама любит мультфильм «Том и Джерри». Задача решена.
Таким же способом можно находить соответствие между тремя множествами. Тогда при решении мы можем получить треугольники трех видов:
а) все стороны являются сплошными отрезками (решение задачи);
б) одна сторона – сплошной отрезок, а две другие – штриховые;
в) все стороны – штриховые отрезки.
Таким образом, нельзя получить треугольник, у которого бы две стороны были сплошными отрезками, а третья – штриховой отрезок.

Примеры задач:

Задача №1: "Пепси", "Кока-Кола", квас и "Спрайт":

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся «Пепси», «Кока-кола», квас и «Спрайт». Известно, что «Спрайт» и «Пепси» не в бутылке, сосуд с «Кока-колой» находится между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не «Кока-кола» и не «Спрайт». Стакан находится около банки и сосуда с «Пепси». Как распределены эти жидкости по сосудам?

Решение:

Из условий задачи получаем таблицу с запретами:

Сосуд Бутылка Стакан Кувшин Банка
Жидкость
«Пепси» - -   -
«Кока-кола»     - -
Квас        
«Спрайт» -     -


Так как каждая жидкость находится только в одном сосуде, то в в каждой строчке и каждом столбце может стоять только один «+». Вглянув на таблицу, можно сделать вывод, что «Пепси» в кувшине, а квас в банке. Получаем новую таблицу:

Сосуд Бутылка Стакан Кувшин Банка
Жидкость
«Пепси» - - + -
«Кока-кола»     - -
Квас - - - +
«Спрайт» -   - -


Теперь можно сказать, что «Спрайт» в стакане, а «Кока-кола» в бутылке.

Ответ:Квас в банке; «Пепси» в кувшине; «Кока-кола» в бутылке; «Спрайт» в стакане.

Задача №2: Любители музыки:

В клубе «Отдых» познакомились 3 любителя клубной музыки видов техно, хаус, рейв. Один говорит: «Вы какую музыку больше любите? Я техно люблю!». Другой ответил, что любит хаус, а третий сказал, что не любит ни техно, ни хаус, но зато обожает рейв. Интересно то, что все они были в банданах и рубашках черного, белого и желтого цветов, но цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А у любителя хаус ни рубашка, ни бандана не были белыми. А любитель рейв был в желтой рубашке. Определите цвет рубашек и бандан каждого из любителей клубной музыки.

Решение:

Заметим, что по условию задачи цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А так как у любителя хаус ни рубашка ни бандана не были белыми и любитель рейв был в желтой рубашке, то делаем вывод, что любитель техно может быть в рубашке и бандане только белого цвета.

Получаем граф:

Сборник олимпиадных задач по математике - student2.ru

Решение сводится к нахождению трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах. Значит у любителя хаус желтая бандана и черная рубашка (т.к. цвет совпадал только у любителя техно по усл.), а у любителя рейв черная бандана.

Сборник олимпиадных задач по математике - student2.ru

Ответ:У любителя техно рубашка и бандана белого цвета; у любителя хаус черная рубашка и желтая бандана; у любителя рейв желтая рубашка и черная бандана.

Задача №3: Три поросёнка:

Жили-были на свете три поросёнка, три брата: Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Построили они три домика: соломенный, деревянный и кирпичный. Все три брата выращивали возле своих домиков цветы: розы, ромашки и тюльпаны. Известно, что Ниф-Ниф живет не в соломенном домике, а Наф-Наф – не в деревянном; возле соломенного домика растут не розы, а тот, у кого деревянный домик, выращивает ромашки. У Наф-Наф аллергия на тюльпаны, поэтому он не выращивает их. Узнайте, кто в каком домике живет и какие цветы выращивает.

Решение:

Из условий задачи получаем граф:

Сборник олимпиадных задач по математике - student2.ru

Можно сделать вывод, что возле кирпичного домика растут розы, а возле соломенного – тюльпаны. А так как Наф-Наф живет не в деревянном домике, то он и не выращивает ромашки. А так как на тюльпаны у него аллергия, то он может выращивать только розы. Внесем эти данные в чертеж и получим:

Сборник олимпиадных задач по математике - student2.ru

Теперь стало ясно и то, что Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки. Методом исключения получаем, что Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны.

Ответ:Наф-Наф живет в кирпичном домике и выращивает розы; Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки; Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны.

Задача №4: Компьютерные игры:

В компьютерном классе на уроке информатики, во время отсутствия учителя, пять ребят – Максим, Настя, Саша, Рома, Сережа – отвлеклись от нужной работы и стали играть в такие игры: пасьянс «Паук», гонки, сапер, «Марио», тетрис. Каждый из них играл только в одну игру.
• Саша думал, что в «Марио» играет Настя.
• Настя предполагала, что Рома играет в тетрис, а Максим – в гонки.
• Рома считал, что Сережа играет в гонки, а Саша – в сапера.
• Максим думал, что Настя раскладывает пасьянс «Паук», а в «Марио» играет Рома.
В результате оказалось, что все они ошиблись в своих предположениях. Кто и во что играл?

Решение:

Таблица с известными запретами (исходя из условия задачи):

Имя Максим Настя Саша Рома Сережа
Игра
Пасьянс «Паук» - -      
Гонки - -   - -
Сапер     - -  
«Марио» - - - -  
тетрис   -   -  

Известно, что каждый из игравших играл только в одну, значит, в каждой строке и каждом столбце таблицы может стоять только один «+».
Из условий задачи следует, что Саша не играл в «Марио»; Настя не играла ни в тетрис, ни в гонки; Рома – ни в гонки, ни в сапера; Максим – ни в пасьянс «Паук», ни в Марио.
Так как все предположения ошибочны, то Настя не играет в «Марио», Рома – в тетрис, Максим – в гонки, Сережа – в гонки, Саша – в сапера, Настя – в пасьянс «Паук», Рома – в «Марио».
Используем правило, что если в строке (или столбце) все места, кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+». В строчке «гонки» можно поставить «+» напротив имени Саша, а в строчке «Марио» напротив имени Сережа. Получаем:

Имя Максим Настя Саша Рома Сережа
Игра
Пасьянс «Паук» - - -   -
Гонки - - + - -
Сапер     - - -
«Марио» - - - - +
тетрис   - - - -

Теперь становится ясно, что в пасьянс «Паук» играл Рома, в сапера – Настя, а в тетрис – Максим. Задача решена.

Ответ: Сережа играл в «Марио»; Рома – в пасьянс «Паук»; Саша – в гонки; Настя – в сапера; Максим – в тетрис.

Задача №5: Мушкетёры:

Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее:
• Атос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором.
• Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника.
• Стрелок хочет пригласить в гости Атоса.
• Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией.
Кто чем занимается?

Решение:

Таблица с известными запретами:

Занятие шпажист рукопашник танцор стрелок
Имя
Атос     - -
Портос   - - -
Арамис     -  
Д’Артаньян        

Известно, что каждый из четырех мушкетеров был лучшим только в одном деле. Следовательно, в каждой строчке и каждом столбце может стоять только один «+». Взглянув на таблицу, сразу можно сказать, что танцор – Д’Артаньян, шпажист – Портос. Вносим эти данные в таблицу. Получаем:

Занятие шпажист рукопашник танцор стрелок
Имя
Атос -   - -
Портос + - - -
Арамис -   -  
Д’Артаньян - - + -

Теперь можно сделать вывод, что стрелок – это Арамис, рукопашник – Атос.
Ответ: Арамис – стрелок; Д’Артаньян – танцор; Портос – шпажист; Атос – рукопашник.

ГЛАВА Ш Табличный способ

Табличный способ решения логических задач также прост и нагляден, но его можно использовать только в том случае, когда требуется установить соответствие между двумя множествами. Он более удобен, когда множества имеют по пять-шесть элементов. Рассмотрим табличный способ на примере решения задачи.

Рассмотрим табличный способ на примере решения задачи:

Четыре футбольных команды: итальянская команда «Милан», испанская – «Реал», российская – «Зенит», английская – «Челси» встретились в групповом этапе лиги чемпионов по футболу. Их тренировали тренеры из этих же четырех стран: итальянец Антонио, испанец Родриго, русский Николай, англичанин Джон. Известно, что национальность у всех четырех тренеров не совпадала с национальностью команд. Требуется определить тренера каждой команды, если известно:
а) Зенит не тренируется у Джона и Антонио.
б) Милан обещал никогда не брать Джона главным тренером.

Решение:

Решая задачу, мы заведомо знаем, что у каждой команды только один тренер.
Чтобы решить задачу табличным способом, нужно знать следующие правила:
1.В каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).
2.Если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то все остальные места должны быть заняты знаком «-».
Таким образом, решение будет доведено до конца, когда мы сумеем разместить по одному плюсу в каждом ряду и колонке, обозначив таким образом, тренеров всех четырех команд.
А теперь приступаем к решению задачи.
Нам известно, что ни у одной из команд национальность тренера и команды не совпадали, а также, что «Зенит» не тренируется у Джона и Антонио, значит у этой команды тренер не Джон и не Антонио; а «Милан» обещал никогда не брать Джона тренером, значит у команды «Милан» тренер не Джон. Если проставить соответствующие минусы, то таблица будет выглядеть так:

Команда Италия – «Милан» Испания – «Реал» Россия – «Зенит» Англия – «Челси»
Тренер
Итальянец Антонио -   -  
Испанец Родриго   -    
Русский Николай     -  
Англичанин Джон -   - -


Таким образом, становится ясно, что у «Зенита» тренер Родриго (методом исключения). Поставим «+» напротив Родриго в колонке «Зенит» и заполним свободные клетки в его ряду минусами:

Команда Италия – «Милан» Испания – «Реал» Россия – «Зенит» Англия – «Челси»
Тренер
Итальянец Антонио -   -  
Испанец Родриго - - + -
Русский Николай     -  
Англичанин Джон -   - -


Теперь можно сделать вывод, что тренер «Милана» – Николай. Поставим «+» напротив Николая и заполним свободные клетки в его ряду минусами. Теперь видно, что «Челси» тренирует Антонио, а «Реал» - Джон.
Ответ:

Российская команда «Зенит» тренируется у испанца Родриго; итальянская команда «Милан» тренируется у русского Николая; английская команда «Челси» тренируется у итальянца Антонио; испанская команда «Реал» тренируется у англичанина Марка.

ГЛАВА 1V Задачи на переливание

Рассмотрим еще один тип логических задач. Это задачи на переливания, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Все задачи на переливание можно представить двумя типами:

1. «Водолей» - задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.

2. «Переливашка» - задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую;

Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании определённой последовательности действий.

В задачах на переливание разрешены следующие операции:

  • заполнение жидкостью одного сосуда до краев;
  • переливание жидкости в другой сосуд или выливание жидкости;

При решении таких задач необходимо учитывать следующие замечания:

  • разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;
  • разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;
  • разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.

Каждую задачу на переливание таким методом можно решать двумя способами:

I. начать переливания с большего сосуда;

II. начать переливания с меньшего сосуда.

Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя.

- При решении задач первого типа («Водолей») можно использовать такой алгоритм. Запишите этот алгоритм в карточку для индивидуальной работы (Приложение 1).

Алгоритм I.

  1. Наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника.
  2. Перелить из большей емкости в меньшую емкость.
  3. Вылить жидкость из меньшей емкости.
  4. Повторить действия 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

- При решении задач второго типа («Переливашка») можно использовать следующий алгоритм. Запишите этот алгоритм в карточку для индивидуальной работы (Приложение 1).

Алгоритм II.

  1. Из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема.
  2. Перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость.
  3. Перелить жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.
  4. Повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не станет пустой.
  5. Если емкость промежуточного объема опустела, то повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

ЗАДАЧА Даны 2 кувшина вместимостью 8 и 5 литров. Имеется кран с водой и мойка для слива воды. Как с помощью этих двух кувшинов отмерить ровно 6 литров воды?

Сборник олимпиадных задач по математике - student2.ru

Задачу можно оформить в виде следующей таблицы:

 
8 л. (А) 0 л. 8 л. 3 л. 3 л. 0 л. 8 л. 6 л. 6 л.
5 л. (B) 0 л. 0 л. 5 л. 0 л. 3 л. 3 л. 5 л. 0 л.

Задача № 7

Отмерить 3 л, имея сосуд 5 л.
Какое наименьшее число переливаний потребуется для того, чтобы в четырехлитровую кастрюлю с помощью крана и пятилитровой банки налить 3 литра воды?

Решение

Наливаем кастрюлю.
Переливаем воду из кастрюли в банку.
Наливаем кастрюлю.
Доливаем полную банку, и в кастрюле остается 3 литра.

Задача № 8

Деление 10 л поровну, имея сосуды 3, 6 и 7 л.
Разделить на 2 равные части воду, находящуюся в 6-литровом сосуде (4 л) и в 7-литровом (6 л), пользуясь этими и 3-литровым сосудами.
Какое наименьшее количество переливаний потребуется?

Решение задачи 2.

В скобках – второй вариант решения.

  Сосуд 6 л Сосуд 3 л Сосуд 7 л
До переливания
Первое переливание 1 (4) 3 (3) 6 (3)
Второе переливание 1 (6) 2 (1) 7 (3)
Третье переливание 6 (2) 2 (1) 2 (7)
Четвертое переливание 5 (2) 3 (3) 2 (5)
Пятое переливание 5 (5) 0 (0) 5 (5)

Задача № 9.

Деление 8 л поровну, имея сосуды 8, 5 и 3 л.
Разделить на две равные части воду, находящуюся в полном 8 литровом сосуде, пользуясь этим и пустыми 5- и 3-литровыми сосудами.
Какое наименьшее количество переливаний потребуется?

Решение :


  Сосуд 8 л Сосуд 5 л Сосуд 3 л
До переливания
Первое переливание
Второе переливание
Третье переливание
Четвертое переливание
Пятое переливание
Шестое переливание
Седьмое переливание

Задача № 10:.

Деление 16 л поровну, имея сосуды 6, 11 и 16 л.
Разделить на две равные части воду, находящуюся в полном 16 литровом сосуде, пользуясь этим и пустыми 11- и 6-литровыми сосудами.
Какое наименьшее количество переливаний потребуется?

   
  Сосуд 16 л Сосуд 11 л Сосуд 6 л
До переливания
Первое переливание
Второе переливание
Третье переливание
Четвертое переливание
Пятое переливание
Шестое переливание
Седьмое переливание
Восьмое переливание
Девятое переливание
Десятое переливание
Одиннадцатое переливание
Двенадцатое переливание
Тринадцатое переливание
Четырнадцатое переливание

Задача № 11.

Два сосуда и кран с водой.
Какое наименьшее число переливаний необходимо для того, чтобы с помощью 7- и 11-литровых сосудов и крана с водой отмерить 2 л?


Если сначала наполнить 11-литровый сосуд, то потребуется 18 переливаний, а если 7-литровый, то, как следует из рисунка, – всего 14.

Сборник олимпиадных задач по математике - student2.ru

Задачи "на переливание" более чем увлекательные. Один из методов их решения - "от конца к началу". Нужно исходить из того, что надо получить.

Задача № 12.Как, пользуясь банками в 3 л и 5 л, набрать воды ровно 1 л?

Решение:

Сосуды Переливания
5 литров -
3 литра -

Задача № 13Как отмерить 4 л воды с помощью сосудов в 3 л и 5 л?

Решение:

Сосуды Переливания
5 литров - -
3 литра - - -

Задача № 14. Как, имея лишь два сосуда емкостью 5 л и 7 л, отмерить 6 л воды?

Решение:

Сосуды Переливание
7 литров - -
5 литров - - -

Задача № 15 Набрать 7 л воды из речки.

У подножья высокого холма, на берегу тихой речки был небольшой аул. Жили в нем два брата-охотника. Старшего брата звали Каалка, младшего Копчон. Отправляет старший брат младшего за водой и дает ему два бурдюка, вместимостью 8л и 5л и просит принести ровно 7л воды. Сможет ли Копчон выполнить просьбу старшего брата?

Решение:

Ходы 1 2 3 4 5 6 7
5 5 8 2 7
5 5 2 2 5

Задача № 15. Молоко из Простоквашино.


Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов?

Решение:


Переливаем из 8-литрового ведра 5 литров молока в 5-литровое. Переливаем из 5-литрового бидона 3 литра в 3-литровый бидон.
Переливаем их теперь в 8-литровое ведро. Итак, теперь 3-литровое ведро пусто, в 8-литровом 6 литров молока, а в 5-литровом - 2 литра молока.
Переливаем 2 литра молока из 5-литрового бидона в 3-литровый, а потом наливаем 5 литров из 8-литрового ведра в 5-литровый бидон. Теперь в 8-литровом 1 литр молока, в 5-литровом - 5, а в 3-литровом - 2 литра молока.
Доливаем дополна 3-литровый бидон из 5-литрового и переливаем эти 3 литра в 8-литровое ведро. В 8-литровом ведре стало 4 литра, так же, как и в 5-литровом бидоне. Задача решена.

сосуд 8 л сосуд 5 л сосуд 3 л
До переливания 8 0 0
Первое переливание 3 5 0
Второе переливание 3 2 3
Третье переливание 6 2 0
Четвертое переливание 6 0 2
Пятое переливание 1 5 2
Шестое переливание 1 4 3
Седьмое переливание 4 4 0


После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача № 16 Переливание

Имеется 3 сосуда: 8л 5л 3л.
Первый из них заполнен водой.
Нужно оставить ровно 4л. в первом сосуде.

8л 5л 3л 8л 5л 3л
8 0 0 3 5 0 3 2 3 6 2 0 6 0 2 1 5 2 1 4 3 4 4 0 8 0 0 5 0 3 5 3 0 2 3 3 2 5 1 7 0 1 7 1 0 4 1 3

Задача № 17 :Как отметить 4л воды с помощью сосудов в 3л и 5 л?

сосуды переливания
5 литров - -
3 литра - - -

Задача № 18 :Как, имя лишь два сосуда емкостью 5л и 7 л, отметить6л воды?

сосуды переливания
7 литров - -
5 литра - - -

.Задача № 19:

Каким образом из реки можно принести ровно 6л воды, если имеется только два ведра: одно – емкостью 4л. другое – 9л?

сосуды переливания
9 литров -
4 литра - - -

Задача № 20: Бидон емкостью 10л заполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5л в семилитровый бидон, используя при этом еще один бидон, вмещающий 3л.

сосуды переливания
10 литров
7 литров -
3 литра - - -

Задача № 21:Имея два бидона емкостью 4л и 5л, можно ли налить в ведро 3л воды. Если емкость ведра не менее 3л?

сосуды переливания
5 литров -
4 литров - -
3 литра и более - - - -

Наши рекомендации