Построение развертки поверхности простейших геометрических тел

Построение разверток имеет большое практическое значение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из листового материала путем изгибания.

Разверткой поверхности называется фигура, полученная совмещением поверхности без складок и разрывов с плоскостью чертежа.

Не все поверхности можно совместить с плоскостью чертежа, поэтому те поверхности, которые можно совместить без разрывов и складок с плоскостью, называются развертывающимися, а поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью, называются неразвертывающимися.

К развертывающимся поверхностям относятся все многогранники, конические и цилиндрические поверхности.

Построение развертки поверхностей прямых призмы, цилиндра, конуса выполняется просто, без применения каких-либо специальных приемов. Для построения их разверток надо знать натуральную величину ребер, образующих и оснований.

На рисунках 91-94 показано построение разверток поверхностей простейших геометрических тел.

Развертка поверхности прямой трехгранной призмы (рисунок 91) состоит из трех прямоугольников, которые являются боковыми гранями, и двух треугольников – оснований призмы.

Рисунок 91 – Развертка поверхности прямой трехгранной призмы

Развертка поверхности прямого кругового цилиндра (рисунок 92) состоит из прямоугольника, высота которого равна высоте цилиндра, а ширина – длине окружности, равной окружности оснований цилиндра.

Рисунок 92 – Развертка поверхности прямого кругового цилиндра

Развертка поверхности трехгранной пирамиды (рисунок 93) представляет собой три треугольника – боковые грани – и еще один треугольник – основание пирамиды.

Рисунок 93 – Развертка поверхности трехгранной пирамиды

Развертка поверхности прямого кругового конуса (рисунок 94) представляет собой сектор, радиус которого равен длине образующей конуса.

Рисунок 94 – Развертка поверхности прямого кругового конуса

Угол α = 180⁰D/l,

где D – диаметр окружности основания, l – длина образующей конуса).

1.8.2 Построение развертки наклонных призматических,
цилиндрических и конических поверхностей

Для построения развертки наклонных поверхностей применяют раз-личные способы:

а) способ раскатки;

б) способ нормального сечения;

в) способ триангуляции (треугольников).

Способ раскатки используют в том случае, когда основание призмы или цилиндра на одной из плоскостей проекций изображается в натуральную величину, а ребра или образующие поверхностей параллельны другой плоскости проекций, т.е. также имеют натуральную величину.

Способ раскатки основан на последовательном совмещении всех граней призмы с плоскостью проекций. Для определения натуральной ве-личины граней используется вращение грани вокруг одной из ее сторон как линии уровня.

На рисунке 95 дано построение развертки поверхности наклонной трехгранной призмы способом раскатки.

Рисунок 95 – Построение развертки поверхности
наклонной трехгранной призмы способом раскатки

Ребра призмы параллельны плоскости проекций П₂, поэтому на эту плоскость они проецируются в натуральную величину. Основание призмы принадлежит горизонтальной плоскости проекций и на нее проецируется в натуральную величину.

Для построения развертки необходимо повернуть каждую грань призмы вокруг бокового ребра до положения, при котором она станет параллельной фронтальной плоскости проекций.

Раскатка боковой поверхности призмы начата с грани АВВ'А'. Чтобы повернуть ее вокруг ребра АА', как оси вращения, до положения, параллельного плоскости проекций П₂, из точек В₂ и В₂' проводят перпендикуляры и на них из точек А₂ и А₂' делают засечки раствором циркуля, равным натуральной величине стороны АВ основания призмы, т.е. ее горизонтальной проекции А₁В₁. Параллелограмм А₀В₀В₀'А₀' является натуральной величиной грани АВВ'А'.

Далее вращают следующую грань ВСС'В' призмы. За новую ось вращения принимают ребро ВВ'. Для этого из точек С₂ и С₂' проводят перпендикуляры и на них из точек В₂ и В₂' делают засечки раствором циркуля, равным ВС = В₁С₁.

Параллелограмм В₀С₀С₀'В₀' – натуральная величина грани ВСС'В'. Натуральная величина грани САА'С' построена аналогично. Соединив точки А₀В₀С₀А₀ и А₀'В₀'С₀'А₀' прямыми, получают развертку боковой поверхности и к ней пристраивают основания. Их строят как треугольники, по трем сторонам.

Способ нормального сечения применим в том случае, когда ребра призмы или образующие цилиндра параллельны одной из плоскостей проекций, т.е. проецируются на нее в натуральную величину.

На рисунке 96 дано построение развертки поверхности трехгранной наклонной призмы способом нормального сечения.

Рисунок 96 –Построение развертки поверхности
трехгранной наклонной призмы способом нормального сечения

Построения выполняют в следующем порядке:

1) призму пересекают нормальной (перпендикулярной к ее ребрам) плоскостью Г. Так как ребра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций и на нее проецируются в натуральную величину, то нормальная плоскость будет являться фронтально-проецирующей плоскостью;

2) строят проекции и определяют натуральную величину нормального сечения. На рисунке 96фронтальная проекция фигуры нормального сечения 1₂2₂3₂совпадает со следом плоскости Г. Натуральную величину фигуры сечения 1₁'2₁'3₁' строят способом плоскопараллельного перемещения. Для этого плоскость Г располагают параллельно горизонтальной плоскости проекций, чтобы фигура сечения проецировалась на плоскость проекций П₁ в натуральную величину;

3) натуральную величину фигуры нормального сечения на свободном поле чертежа разворачивают в прямую линию 1₀1₀ и через вершины сечения перпендикулярно линии 1₀1₀ проводят прямые;

4) на перпендикулярах по обе стороны откладывают длины соответствующих отрезков ребер призмы. Их величины измеряют от линии сечения до оснований в обе стороны и откладывают на перпендикулярах. Полученные точки А₀В₀С₀А₀ и А₀'В₀'С₀'А₀' соединяют отрезками прямых;

5) пристраивают к полученной фигуре основания. Их строят по тремсторонам.

Сущность способа триангуляции (треугольников) состоит в том, что каждая грань многогранника разбивается диагональю на два треугольника, далее определяют натуральную величину всех сторон треугольников, которые последовательно в натуральную величину вычерчиваются на свободном поле чертежа.

На рисунке 97 дано построение развертки поверхности наклонной призмы.

Рисунок 97 – Построение развертки поверхности

наклонной призмы способом триангуляции (треугольников)

Построение выполняют в следующем порядке:

1) каждую грань АВВ'А', ВСС'В' и САА'С' разбивают диагоналями на два треугольника. Затем определяют натуральную величину всех сторон треугольников, одной из сторон любого треугольника будет являться ребро призмы, второй – диагональ, а третьей – сторона основания наклонной призмы. Основание призмы принадлежит плоскости проекций П₁, поэтому проецируется на нее в натуральную величину;

2) все ребра призмы одинаковы, поэтому находят натуральную величину одного из ребер (АА') призмы любым из способов преобразования. В данном случае применяют способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной плоскости проекций П₁ и проходящей через точку А₁;

3) находят натуральную величину диагоналей способом плоскопараллельного перемещения;

4) на свободном поле чертежа последовательно в натуральную величину вычерчиваются треугольники А₀А₀'В₀', А₀В₀В₀', В₀В₀'С₀', В₀С₀С₀', С₀А₀С₀' и А₀А₀'С₀' по трем сторонам;

5) для построения полной развертки поверхности наклонной призмы к любой грани пристраивают два основания.