Распределения Максвелла и Больцмана
Распределение Максвелла (распределение молекул газа по скоростям). В равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) остаются неизменными, однако микросостояния — взаимное расположение молекул, их скорости — непрерывно изменяются. Из-за огромного количества молекул практически нельзя определить значения их скоростей в какой-либо момент, но возможно, считая скорость молекул непрерывной случайной величиной, указать распределение молекул по скоростям. Выделим отдельную молекулу. Хаотичность движения позволяет, например, для проекции скорости vx молекулы принять нормальный закон распределения. В этом случае, как показал Дж. К. Максвелл, плотность вероятности записывается следующим образом:
где т0 — масса молекулы, T — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.
Аналогичные выражения могут быть получены для f(vy) и f(vz). На основании формулы (2.15) можно записать вероятность того, что молекула имеет проекцию скорости, лежащую в интервале от v до vx + dvx:
аналогично для других осей
Каждое из условий (2.29) и (2.30) отражает независимое событие. Поэтому вероятность того, что молекула имеет скорость, проекции которой одновременно удовлетворяют всем условиям, можно найти по теореме умножения вероятностей [см. (2.6)]:
Используя (2.28), из (2.31) получаем
Отметим, что из (2.32) можно получить максвелловскую функцию распределения вероятностей абсолютных значений скорости (распределение Максвелла по скоростям):
и вероятность того, что скорость молекулы имеет значение, лежащее в интервале от v до v + dv:
График функции (2.33) изображен на рисунке 2.5. Скорость, соответствующую максимуму кривой Максвелла, называют наивероятнейшей vв. Ее можно определить, используя условие максимума функции:
или
откуда
Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) можно найти по общему правилу [см. (2.20)]. Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до ∞ (математические подробности опущены):
где М = M0Na — молярная масса газа, R = kNA — универсальная ■вазовая постоянная, NA — число Авогадро. При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и распределение молекул по v видоизменяется (рис. 2.6; Т1 < Т2).
Распределение Максвелла позволяет вычислить число молекул, скорости которых лежат в определенном интервале ∆v. Получим соответствующую формулу.
Так как общее число N молекул в газе обычно велико, то вероятность dP может быть выражена как отношение числа dN молекул, скорости которых заключены в некотором интервале dv, к общему числу N молекул:
Из (2.34) и (2.37) следует, что
Формула (2.38) позволяет определить число молекул, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2. Для этого нужно проинтегрировать (2.38):
либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от и1 до v2 (рис. 2.7).
Если интервал скоростей dv достаточно мал, то число молекул, скорости которых соответствуют этому интервалу, может быть рассчитано приближенно по формуле (2.38) или графически как площадь прямоугольника с основанием dv.
На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную какому-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ если совершенно точно задана скорость, то интервал скоростей равен нулю (dv = 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е. ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед заданной. Это соответствует одному из положений теории вероятностей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.
Распределение молекул по скоростям подтверждено различными опытами.
Распределение Максвелла можно рассматривать как распределение молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).
Распределение Больцмана.Если молекулы находятся в каком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих некоторым определенным значением потенциальной энергии.
Распределение частиц по потенциальным энергиям в силовых полях — гравитационном, электрическом и др. — называют распределением Больцмана.
Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п молекул от высоты h над уровнем Земли или от потенциальной энергии молекулы m0gh:
Выражение (2.40) справедливо для частиц идеального газа. Графически эта экспоненциальная зависимость изображена на рис. 2.8.
Такое распределение молекул в поле тяготения Земли можно качественно, в рамках молекулярно-кинетических
объяснить тем, что на молекулы оказывают влияние два противоположных фактора: гравитационное поле, под действием которого все молекулы притягиваются к Земле, и молекулярно-хаотическое движение, стремящееся равномерно разбросать молекулы по всему , возможному объему.
В заключение полезно заметить некоторое сходство экспоненциальных членов в распределениях Максвелла и Больцмана:
Г ЛАВА 3
Математическая статистика
Методы математической статистики позволяют систематизировать и оценивать экспериментальные данные, которые рассматриваются как случайные величины.
Основные понятия математической статистики
В главе 2 были рассмотрены некоторые понятия и закономерности, которым подчинены массовые случайные явления. Одной из практических задач, связанных с этим, является создание методов отбора данных (статистические данные) из большой совокупности и их обработки. Такие вопросы рассматриваются в математической статистике.
Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для решения научных и практических задач. Математическая статистика тесно примыкает к теории вероятностей и базируется на ее понятиях. Однако главным в математической статистике является не распределение случайных величин, а анализ статистических данных и выяснение, какому распределению они соответствуют.
Предположим, что необходимо изучить множество объектов по какому-либо признаку. Это возможно сделать, либо проведя сплошное наблюдение (исследование, измерение), либо не сплошное, выборочное.
Выборочное, т. е. неполное, обследование может оказаться предпочтительнее по следующим причинам. Во-первых, естественно, что обследование части менее трудоемко, чем обследование целого; следовательно, одна из причин — экономическая. Во-вторых, может оказаться и так, что сплошное обследование просто нереально. Для того чтобы его провести, возможно, нужно уничтожить всю исследуемую технику или загубить все исследуемые биологические объекты. Так, например, врач, имплантирующий электроды в улитку для кохлеарного протезирования (см. § 6.5), должен иметь вероятностные представления о расположении улитки слухового аппарата. Казалось бы, наиболее достоверно такие сведения можно было получить при сплошном патологоанатомическом вскрытии всех умерших с производством соответствующих замеров. Однако достаточно собрать нужные сведения при выборочных измерениях.
Большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования, называется генеральной совокупностью, а множество объектов, отобранных из нее, — выборочной совокупностью, или выборкой.
Свойство объектов выборки должно соответствовать свойству объектов генеральной совокупности, или, как принято говорить, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Так, например, если целью является изучение состояния здоровья населения большого города, то нельзя воспользоваться выборкой населения, проживающего в одном из районов города. Условия проживания в разных районах могут отличаться (различная влажность, наличие предприятий, жилищных строений и т. п.) и таким образом, влиять на состояние здоровья. Поэтому выборка должна представлять случайно отобранные объекты.
Если записать в последовательности измерений все значения величины х в выборке, то получим простой статистический ряд. Например, рост мужчин (см): 171, 172, 172, 168, 170, 169, ... . Такой ряд неудобен для анализа, так как в нем нет последовательности возрастания (или убывания) значений, встречаются и повторяющиеся величины. Поэтому целесообразно ранжировать ряд, например, в возрастающем порядке значений и указать их повторяемость. Тогда статистическое распределение выборки:
Здесь xi — наблюдаемые значения признака (варианта); ni — Число наблюдений варианты xi (частота); рi* — относительная Частота. Общее число объектов в выборке (объем выборки)
всегo k вариант. Статистическое распределение — это совокупность вариант и соответствующих им частот (или относительных растет), т. е. это совокупность данных 1-й и 2-й строки или 1-й и 3-й строки в (3.1).
В медицинской литературе статистическое распределение, состоящее из вариант и соответствующих им частот, получило название вариационного ряда.
Наряду с дискретным (точечным) статистическим распределением, которое было описано, используют непрерывное (интервальное) статистическое распределение:
Здесь xl _ 1, xi — 1-й интервал, в котором заключено количественное значение признака; ni — сумма частот вариант, попавших в этот интервал; р* — сумма относительных частот.
В качестве примера дискретного статистического распределения укажем массы новорожденных мальчиков (кг) и частоты (табл. 5).
Таблица 5
2,7 | 2,8 | 2,9 | 3,0 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 | 3,7 | 3,8 | 3,9 | 4,0 | 4,1 | 4,2 | 4,3 | 4,4 |
Общее количество мальчиков (объем выборки)
Можно это распределение представить и как непрерывное (интервальное) (табл. 6).
Таблица 6
2,65-2,75 | 2,75-2,85 | 2,85-2,95 | 2,95-3,05 | 3,05-3,15 | … |
… |
Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона и гистограммы.
Полигон частот — ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (х1; п1), (х2; п2), ... или для полигона относительных частот — с координатами (x1; р*), (х2; р*), ... (рис. 3.1). Рис. 3.1 относится к распределению, представленному в табл. 5.
Гистограмма частот — совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой линии (рис. 3.2), основания
прямоугольников одинаковы и равны а, а высоты равны отношению частоты (или относительной частоты) к а:
![]() |
![]() |
![]() |
Таким образом, площадь каждого прямоугольника равна соответственно
Следовательно, площадь гистограммы частот и площадь гистограммы относительных частот
Наиболее распространенными характеристиками статистического распределения являются средние величины: мода, медиана и средняя арифметическая, или выборочная средняя.
Мода (Мо) равна варианте, которой соответствует наибольшая частота. В распределении массы новорожденных (см. табл. 5) Мо = 3,3кг.
Медиана (Me) равна варианте, которая расположена в середине статистического распределения. Она делит статистический (вариационный) ряд на две равные части. При четном числе вариант за медиану принимают среднее значение из двух центральных вариант. В рассмотренном распределении (см. табл. 5) Me = 3,4 кг. Выборочная средняя (хв) определяется как среднее арифметическое значение вариант статистического ряда:
Для примера (см. табл. 5)
Для характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего значения хв вводят характеристику, называемую выборочной дисперсией, — среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их среднего значения:
Квадратный корень из выборочной дисперсии называют выборочный средним квадратическим отклонением:
Для примера (см. табл. 5)