Распределения Максвелла и Больцмана

Распределение Максвелла (распределение молекул газа по скоростям). В равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) остаются неизменными, однако микросостояния — взаимное расположение молекул, их скорости — непрерывно изменяются. Из-за огромного количества молекул прак­тически нельзя определить значения их скоростей в какой-либо момент, но возможно, считая скорость молекул непрерывной случайной величиной, указать распределение молекул по скоростям. Выделим отдельную молекулу. Хаотичность движения позволяет, например, для проекции скорости v_x молекулы принять нормальный закон распределения. В этом случае, как показал Дж. К. Максвелл, плотность вероятности записывается следующим образом:

где т₀ — масса молекулы, T — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.

Аналогичные выражения могут быть получены для f(v_y) и f(v_z). На основании формулы (2.15) можно записать вероятность то­го, что молекула имеет проекцию скорости, лежащую в интервале от v до v_x + dv_x:

аналогично для других осей

Каждое из условий (2.29) и (2.30) отражает независимое событие. Поэтому вероятность того, что молекула имеет скорость, проек­ции которой одновременно удовлетворяют всем условиям, можно найти по теореме умножения вероятностей [см. (2.6)]:

Используя (2.28), из (2.31) получаем

Отметим, что из (2.32) можно получить максвелловскую функ­цию распределения вероятностей абсолютных значений скорости (распределение Максвелла по скоростям):

и вероятность того, что скорость молекулы имеет значение, лежа­щее в интервале от v до v + dv:

График функции (2.33) изображен на рисунке 2.5. Скорость, соответствующую максимуму кривой Максвелла, называют наивероятнейшей v_в. Ее можно определить, используя условие максимума функции:

или

откуда

Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) можно найти по общему правилу [см. (2.20)]. Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до ∞ (математические подробности опущены):

где М ⁼ M₀N_a — молярная масса газа, R = kN_A — универсальная ■вазовая постоянная, N_A — число Авогадро. При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и распределение молекул по v видоизменяется (рис. 2.6; Т₁ < Т₂).

Распределение Максвелла позволяет вычислить число молекул, скорости которых лежат в определенном интервале ∆v. Получим соответствующую формулу.

Так как общее число N молекул в газе обычно велико, то вероятность dP может быть выражена как отношение числа dN молекул, скорости которых заключены в некотором интервале dv, к общему числу N молекул:

Из (2.34) и (2.37) следует, что

Формула (2.38) позволяет определить число молекул, скорости которых лежат в интервале от v₁ до v_2. Для этого нужно проинтег­рировать (2.38):

либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от и₁ до v₂ (рис. 2.7).

Если интервал скоростей dv достаточно мал, то число молекул, скорости которых соответствуют этому интервалу, может быть рассчитано приближенно по формуле (2.38) или графически как площадь прямоугольника с основанием dv.

На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную како­му-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ если совершенно точно задана скорость, то интер­вал скоростей равен нулю (dv = 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е. ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед задан­ной. Это соответствует одному из положений теории вероятнос­тей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.

Распределение молекул по скоростям подтверждено различны­ми опытами.

Распределение Максвелла можно рассматривать как распреде­ление молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

Распределение Больцмана.Если молекулы находятся в ка­ком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих не­которым определенным значением потенциальной энергии.

Распределение частиц по потенциальным энергиям в си­ловых полях — гравитационном, электрическом и др. — называют распределением Больцмана.

Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п моле­кул от высоты h над уровнем Земли или от потенциальной энер­гии молекулы m₀gh:

Выражение (2.40) справедливо для частиц идеального газа. Графи­чески эта экспоненциальная зависимость изображена на рис. 2.8.

Такое распределение молекул в поле тяготения Земли можно ка­чественно, в рамках молекулярно-кинетических

объяснить тем, что на молекулы оказывают влияние два противоположных фактора: гравитационное поле, под действием которого все молекулы притягиваются к Земле, и молекулярно-хаотическое движение, стремящееся равномерно разбросать молекулы по всему , возможному объему.

В заключение полезно заметить некоторое сходство экспоненциальных членов в распределениях Максвелла и Больцмана:

Г ЛАВА 3

Математическая статистика

Методы математической статистики позволяют систематизи­ровать и оценивать экспериментальные данные, которые рассматриваются как случайные величины.

Основные понятия математической статистики

В главе 2 были рассмотрены некоторые понятия и закономер­ности, которым подчинены массовые случайные явления. Одной из практических задач, связанных с этим, является создание методов отбора данных (статистические данные) из большой совокупности и их обработки. Такие вопросы рассматриваются в мате­матической статистике.

Математическая статистика — наука о математиче­ских методах систематизации и использования статистиче­ских данных для решения научных и практических задач. Ма­тематическая статистика тесно примыкает к теории вероятностей и базируется на ее понятиях. Однако главным в математической статистике является не распределение случайных величин, а ана­лиз статистических данных и выяснение, какому распределению они соответствуют.

Предположим, что необходимо изучить множество объектов по какому-либо признаку. Это возможно сделать, либо проведя сплош­ное наблюдение (исследование, измерение), либо не сплошное, выбо­рочное.

Выборочное, т. е. неполное, обследование может оказаться предпочтительнее по следующим причинам. Во-первых, естест­венно, что обследование части менее трудоемко, чем обследование целого; следовательно, одна из причин — экономическая. Во-вто­рых, может оказаться и так, что сплошное обследование просто нереально. Для того чтобы его провести, возможно, нужно унич­тожить всю исследуемую технику или загубить все исследуемые биологические объекты. Так, например, врач, имплантирующий электроды в улитку для кохлеарного протезирования (см. § 6.5), должен иметь вероятностные представления о расположении улитки слухового аппарата. Казалось бы, наиболее достоверно та­кие сведения можно было получить при сплошном патологоанатомическом вскрытии всех умерших с производством соответствую­щих замеров. Однако достаточно собрать нужные сведения при выборочных измерениях.

Большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования, называется генеральной сово­купностью, а множество объектов, отобранных из нее, — выбо­рочной совокупностью, или выборкой.

Свойство объектов выборки должно соответствовать свойству объектов генеральной совокупности, или, как принято говорить, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Так, например, если целью является изучение состояния здо­ровья населения большого города, то нельзя воспользоваться вы­боркой населения, проживающего в одном из районов города. Ус­ловия проживания в разных районах могут отличаться (различ­ная влажность, наличие предприятий, жилищных строений и т. п.) и таким образом, влиять на состояние здоровья. Поэтому выбор­ка должна представлять случайно отобранные объекты.

Если записать в последовательности измерений все значения величины х в выборке, то получим простой статистический ряд. Например, рост мужчин (см): 171, 172, 172, 168, 170, 169, ... . Та­кой ряд неудобен для анализа, так как в нем нет последователь­ности возрастания (или убывания) значений, встречаются и по­вторяющиеся величины. Поэтому целесообразно ранжировать ряд, например, в возрастающем порядке значений и указать их повторяемость. Тогда статистическое распределение выборки:

Здесь x_i — наблюдаемые значения признака (варианта); n_i — Число наблюдений варианты x_i (частота); р_i* — относительная Частота. Общее число объектов в выборке (объем выборки)

всегo k вариант. Статистическое распределение — это совокупность вариант и соответствующих им частот (или относительных растет), т. е. это совокупность данных 1-й и 2-й строки или 1-й и 3-й строки в (3.1).

В медицинской литературе статистическое распределение, со­стоящее из вариант и соответствующих им частот, получило название вариационного ряда.

Наряду с дискретным (точечным) статистическим распределением, которое было описано, используют непрерывное (интер­вальное) статистическое распределение:

Здесь x_l _ ₁, x_i — 1-й интервал, в котором заключено количествен­ное значение признака; n_i — сумма частот вариант, попавших в этот интервал; р* — сумма относительных частот.

В качестве примера дискретного статистического распределения укажем массы новорожденных мальчиков (кг) и частоты (табл. 5).

Таблица 5

2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4

Общее количество мальчиков (объем выборки)

Можно это распределение представить и как непрерывное (интер­вальное) (табл. 6).

Таблица 6

2,65-2,75	2,75-2,85	2,85-2,95	2,95-3,05	3,05-3,15	…
					…

Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона и гистограммы.

Полигон частот — ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (х₁; п₁), (х₂; п₂), ... или для полигона относи­тельных частот — с координатами (x₁; р*), (х₂; р^*), ... (рис. 3.1). Рис. 3.1 относится к распределению, представленному в табл. 5.

Гистограмма частот — совокупность смежных прямоуголь­ников, построенных на одной прямой линии (рис. 3.2), основания

прямоугольников одинаковы и равны а, а высоты равны отноше­нию частоты (или относительной частоты) к а:

Таким образом, площадь каждого прямоугольника равна соответ­ственно

Следовательно, площадь гистограммы частот и площадь гистограммы относительных частот

Наиболее распространенными характеристиками статистическо­го распределения являются средние величины: мода, медиана и средняя арифметическая, или выборочная средняя.

Мода (Мо) равна варианте, которой соответствует наиболь­шая частота. В распределении массы новорожденных (см. табл. 5) Мо = 3,3кг.

Медиана (Me) равна варианте, которая расположена в середи­не статистического распределения. Она делит статистический (ва­риационный) ряд на две равные части. При четном числе вариант за медиану принимают среднее значение из двух центральных ва­риант. В рассмотренном распределении (см. табл. 5) Me = 3,4 кг. Выборочная средняя (х_в) определяется как среднее арифмети­ческое значение вариант статистического ряда:

Для примера (см. табл. 5)

Для характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего значения х_в вводят характеристику, называемую выборочной дисперсией, — среднее арифметическое квадратов отклонения ва­риант от их среднего значения:

Квадратный корень из выборочной дисперсии называют выбороч­ный средним квадратическим отклонением:

Для примера (см. табл. 5)