Определение устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде:

;

где общий коэффициент передачи системы К=К₁К₂К₃К₅= 475,2.

Найдем декремент затухания для звена по формуле:

.

Подставив численные значения, получим ξ=1,81.

Заметим, что , следовательно, звено апериодическое. Для апериодического звена второго порядка передаточную функцию можно преобразовать к виду:

;

где: ;

Т₆=0,078;

Т₇=0,863.

При этом передаточная функция всей системы принимает вид:

.

Кроме того , следовательно, можно строить асимптотическую ЛАЧХ не уточняя ее значение в области сопрягающей частоты.

Определим частоты сопряжения по формуле:

;

где - постоянная времени i-го звена.

Тогда, применив формулу для нахождения частот, получим:

;

подставив, численные значения, найдем:

Рассчитаем ординату для низкочастотной асимпто ты для звена согласно формуле до первой частоты сопряжения:

.

При построении ЛАЧХ звену будет соответствовать наклон , а звену наклон будет равен , звену будет соответствовать наклон , звену будет соответствовать наклон .

Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

Для звена ЛФЧХ будет вычисляться по формуле:

.

Для звеньев :

.

Значения результирующей ЛФЧХ найдем как:

Подставив численные значения в вышеприведенные формулы, рассчитаем необходимые значения. Результаты вычислений оформим
в виде таблицы 3.

Результаты вычислений отобразим на графике логарифмических характеристик разомкнутой системы (рисунок 8).

Таблица 3 – Расчет ЛФЧХ разомкнутой системы

частота	Звено 1	Звено 2	Звено 3	Звено 4	Звено 5	ΣΦ(ω)
ωТ1	Φ1(ω)	ωТ2	Φ2(ω)	ωТ3	Φ1(ω)	фт4	Φ4(ω)	ωТ5	Φ5(ω)
0,01			0,00863	-0,0086298	0,005	-0,005	0,00078	-0,00078	0,00065	-0,00065	-0,8628598
0,1			0,0863	-0,0860867	0,05	-0,0499584	0,0078	-0,0077998	0,0065	-0,0065	-8,6141256
			0,863	-0,711993	0,5	-0,4636476	0,078	-0,0778424	0,065	-0,064909	-75,538279
1,16			1,00108	-0,7859379	0,58	-0,5255838	0,09048	-0,0902343	0,0754	-0,075258	-84,626643
			1,726	-1,0456809		-0,7853982	0,156	-0,1547527	0,13	-0,129275	-121,18669
			8,63	-1,4554359		-1,3734008	0,78	-0,6624263	0,65	-0,576375	-233,0585
12,82			11,06366	-1,4806553	6,41	-1,4160375	0,99996	-0,7853782	0,8333	-0,694719	-250,77157
15,38			13,27294	-1,4955971	7,69	-1,441483	1,19964	-0,8759105	0,9997	-0,785248	-263,45967
			86,3	-1,5592094		-1,550799	7,8	-1,4432868	6,5	-1,418147	-342,13843
				-1,5696376		-1,5687963		-1,5579765		-1,555413	-358,20309

Рисунок 5 – Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).

В данном случае ЛФЧХ совершает один отрицательный переход при положительных значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о том, что замкнутая система неустойчива.

Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам

Построение ЛАЧХ исходной системы

Асимптотическую ЛАЧХ построим по передаточной функции исходной системы согласно методике, рассмотренной в п. 1.4 (рисунок 5).